求三角函數(shù)最值的常見(jiàn)方法

張亞嬌

1．山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué)方山高中，山西 方山 033100；2．山西師范大學(xué)教育科學(xué)研究院，山西 臨汾 041000

求三角函數(shù)最值的常見(jiàn)方法

張亞嬌1，2

1．山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué)方山高中，山西 方山 033100；2．山西師范大學(xué)教育科學(xué)研究院，山西 臨汾 041000

屬于基本初等函數(shù)的三角函數(shù)和其他數(shù)學(xué)知識(shí)有著密切聯(lián)系且被應(yīng)用到很多方面，要更好地掌握三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)就需要對(duì)求其最值的方法進(jìn)行歸納。本文通過(guò)對(duì)典型例題進(jìn)行分析，歸納總結(jié)了一些求三角函數(shù)最值的方法和技巧，主要包括直接求解、轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合等方法，并對(duì)它們的使用方法作了簡(jiǎn)單的說(shuō)明。

三角函數(shù)；最值；單調(diào)性

對(duì)三角函數(shù)最值的求解是求解函數(shù)最值中較為重要的一部分，在歷年高考中也多被用作主要考點(diǎn)。本文主要對(duì)三角函數(shù)最值問(wèn)題的一些求解方法和技巧進(jìn)行了系統(tǒng)的歸納總結(jié)，并列舉一些具有象征性的例題作簡(jiǎn)要的分析，借以說(shuō)明其求解的方法和技巧。

一、求三角函數(shù)最值的常見(jiàn)方法

(一)利用三角函數(shù)的定義及其符號(hào)規(guī)律求解

分析：解答本題時(shí)首先要考慮三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律，分四個(gè)象限。

綜上所述，函數(shù)f(x)的最大值為4，最小值為-2。

(二)利用三角函數(shù)的有界性求解，即利用|sinx|≤1，|cosx|≤1來(lái)求解

(三)利用函數(shù)的單調(diào)性求解

(四)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)y=kx+b(c

例4：求函數(shù)y=a+bsinx(b≠0)的極值。

分析：由于|sinx|≤1，因此題目其實(shí)是要求一次函數(shù)y=a+bx1(-1≤x≤1)的條件極值，其中x1=sinx，這里的約束條件是由sinx的值域給出的。

解：1)當(dāng)b>0時(shí)，ymax=a+b，ymin=a-b．

2)當(dāng)b<0時(shí)，ymax=a-b，ymin=a+b．

上面所總結(jié)的求三角函數(shù)最值的方法只是一些比較常見(jiàn)的方法，可能并不適用于所有的問(wèn)題。有些題目比較特殊，不能用上述任何方法來(lái)求解，而有些題目則可以用好幾種方法來(lái)求解。在具體的解題過(guò)程中，我們要注意具體情況具體對(duì)待，選擇最簡(jiǎn)潔最合適的方法來(lái)解題。比如下面這道題：

求三角函數(shù)最值時(shí)需要注意的幾個(gè)方面：

1．求三角函數(shù)最值的方法有配方法、化歸法、換元法、基本不等式法、數(shù)形結(jié)合法等；2．三角函數(shù)的最值一般是在一定的范圍內(nèi)取得的，所以解題時(shí)一定要注意題目中給定未知數(shù)的范圍；3．在對(duì)函數(shù)式進(jìn)行三角變換和代數(shù)換元時(shí)要注意函數(shù)之間的等價(jià)性以及正、余弦函數(shù)的有界性；4．題目中含有參數(shù)的情況下，要注意考慮參數(shù)對(duì)求解最值時(shí)的作用和影響。

[1]課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)教材研究開(kāi)發(fā)中心編．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)4(必修)[M]．北京：人民教育出版社，2004．

張亞嬌(1990-)，女，漢族，山西方山人，工作單位：山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué)方山高中，讀研單位：山西師范大學(xué)教育科學(xué)研究院，學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))專(zhuān)業(yè)。

G633．6

A

1006-0049-(2017)02-0169-01