學(xué)習(xí)橢圓的一點(diǎn)體會

涂崇斌

橢圓的定義是第一次接觸圓錐曲線的定義，它對今后的雙曲線、拋物線起著示范作用，下面談?wù)勗趯W(xué)習(xí)過程中的幾點(diǎn)體會.

課堂上，老師首先提出衛(wèi)星軌道問題、海爾·波特彗星的出現(xiàn)的時(shí)間問題、油罐箱的平面圖問題、圓錐被一個(gè)平面所截得到的截面等等，引起了我們思考和探索的興趣；然后用一根細(xì)繩實(shí)際操作，畫出圖形，從而引出橢圓的定義——到兩個(gè)定點(diǎn)距離和為定值（大于兩點(diǎn)的距離）的點(diǎn)軌跡是橢圓；最后提出怎樣從數(shù)學(xué)理論上求得曲線的軌跡方程呢？

按照求軌跡的五個(gè)基本步驟：（1）建系設(shè)點(diǎn)，（2）列出幾何條件，（3）坐標(biāo)化，（4）化簡，（5）檢驗(yàn).

建系的標(biāo)準(zhǔn)是好操作，計(jì)算簡潔，方程看起來簡潔優(yōu)美，同時(shí)將數(shù)學(xué)的對稱性體現(xiàn)出來，從而讓我們體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.

設(shè)坐標(biāo)[F1（-c，0）]，[F2（c，0）].

找滿足的關(guān)系式：[|PF1|+|PF2|=2a].

即[（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a].

即[（x+c）2+y2]=[2a-][（x-c）2+y2].

即[（x+c）2+y2=4a2-4a（x-c）2+y2+（x-c）2+y2]

即[a（x-c）2+y2=a2-cx].

再平方整理得，[（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）].

為計(jì)算簡便，令[b2=a2-c2]，[b2x2+a2y2=a2b2]，[x2a2+y2b2=1]. 得到一個(gè)非常好看的曲線方程.

這就是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：[x2a2+y2b2=1].

在化簡過程中，發(fā)現(xiàn)如果兩邊同除以[a]，會得到

[a（x-c）2+y2=a2-cx]

[?（x-c）2+y2=a-cax=ca（a2c-x）]

[?（x-c）2+y2a2c-x=][ca.] （1）

（1）式的幾何意義是什么呢？

思考后得出結(jié)論：到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線[x=a2c]的距離的比值為定值[ca]，其軌跡是橢圓.

再挖掘下去呢？在這個(gè)過程中再看看.

[b2x2+a2y2=a2b2?a2y2=a2b2-b2x2?y2=b2-b2a2x2=b2a2（a2-x2）?y?y（a+x）（a-x）=b2a2?ya+x?ya-x=b2a2]

[?yx-（-a）?yx-a=-b2a2.] （2）

（2）式的幾何意義又是什么呢？

動點(diǎn)[（x，y）]到兩個(gè)定點(diǎn)[（-a，0）（a，0）]的斜率之積為常數(shù)，此常數(shù)[∈-∞，-1?-1，0].

由此引申出常見軌跡為橢圓的三種形式.

1. 平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等于定長的點(diǎn)的軌跡是橢圓. （定長>兩點(diǎn)間的距離）

2. 平面上，到一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離之比為定值（[0

3. 平面上，到兩個(gè)定點(diǎn)的斜率之積為常數(shù)（常數(shù)[∈-∞，-1?-1，0]）的點(diǎn)的軌跡是橢圓.

于是前面的問題得到了解釋. 為什么每隔76年可看到彗星出現(xiàn)？怎么樣預(yù)測時(shí)間？原來其軌跡是一個(gè)橢圓，結(jié)合物理知識，預(yù)測時(shí)間就不成問題了.

用一個(gè)與圓錐、圓柱的母線斜交的平面截圓柱， 得到一條截口曲線，截口曲線為什么是橢圓，其原因是它滿足橢圓的定義.

再回歸課本得到常見軌跡為橢圓的幾種常見題型：

1. 一動圓與圓[M：]x2+y2+6x+5=0外切， 同時(shí)與圓[N：]x2+y2-6x-91=0相切，求動圓圓心的軌跡方程.

2. 圓[M：][（x+3）2+y2=16]， A[（3，0）]，P是圓上任意一點(diǎn). 線段AP的垂直平分線l和半徑MP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡.

3. 如下圖， 矩形ABCD中， |AB|=8， |BC|=6， E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)， R，S，T是線段OF的四等分點(diǎn)， R′，S′，T′是線段CF的四等分點(diǎn). 證明：直線ER與GR′，ES與GS′，ET與GT′的交點(diǎn)L，M，N都在橢圓[x216+y29]=1上.

原來平常的一個(gè)數(shù)學(xué)式子可以挖掘出這么多知識！只要認(rèn)真鉆研課本，理解原始定義，前后貫通，嚴(yán)謹(jǐn)推理，細(xì)心計(jì)算，就可以讓我們體會數(shù)學(xué)的奧秘！