中學(xué)生數(shù)學(xué)直覺的意義與培養(yǎng)

張磊

摘要 數(shù)學(xué)直覺是對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)概念、定理、公式、結(jié)論等沒有通過嚴(yán)格的演繹推理和邏輯思維活動(dòng)就能產(chǎn)生直觀感知的一種認(rèn)識(shí)能力。學(xué)生一旦有了某個(gè)知識(shí)的數(shù)學(xué)直覺，就可加深對(duì)該知識(shí)的理解，既提升了學(xué)生的形象思維。又對(duì)抽象思維予以支撐，有利于認(rèn)清數(shù)學(xué)本質(zhì)。在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、增強(qiáng)直覺感知，展示實(shí)物模型、提升直覺能力，尋找數(shù)學(xué)原型、加深直覺認(rèn)識(shí)等方式，來培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維能力。

關(guān)鍵詞 中學(xué)生 數(shù)學(xué)直覺 培養(yǎng)

一、培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺的意義

所謂數(shù)學(xué)直覺，就是對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)概念、定理、公式、結(jié)論等沒有通過嚴(yán)格的演繹推理和邏輯思維活動(dòng)就能產(chǎn)生直觀感知的一種認(rèn)識(shí)能力。有了這種數(shù)學(xué)直覺能力，才能對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有一個(gè)整體認(rèn)識(shí)，才能認(rèn)清其本質(zhì)而不犯錯(cuò)。

數(shù)學(xué)家萊布尼茨曾把認(rèn)識(shí)真理的能力稱作直覺；心理學(xué)家弗洛伊德認(rèn)為直覺是一種潛意識(shí)，它是一切創(chuàng)造活動(dòng)的基礎(chǔ)。認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知的過程，就是一個(gè)自我建構(gòu)的過程。人的大腦會(huì)根據(jù)已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，對(duì)新知進(jìn)行加工和重新組合，以形成一個(gè)新的結(jié)構(gòu)體系，而要熟知這個(gè)新結(jié)構(gòu)，就必須要對(duì)剛納入的新知有一個(gè)直覺的認(rèn)識(shí)。學(xué)生通過自己的親身體驗(yàn)和領(lǐng)悟才會(huì)有直觀的感覺，留下的印象也更加深刻，可能還會(huì)體驗(yàn)到成功的喜悅，從而更能激發(fā)起對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。所以，學(xué)生一旦在腦中有了某個(gè)知識(shí)的數(shù)學(xué)直覺，不僅可加深學(xué)生對(duì)此知識(shí)的理解，特別是某些抽象性強(qiáng)、難于理解的概念、法則與結(jié)論等，還可增強(qiáng)學(xué)生的形象思維，并對(duì)抽象思維予以支撐。

二、培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺的方式

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。”因此從新課程實(shí)施以來，工作在第一線的數(shù)學(xué)教師也基本上接受了這些新的教學(xué)理念。比如對(duì)于概念、定理、公式等的新授課都能安排局部探究和小組合作，盡量在課堂上調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，并能將學(xué)生合作與獨(dú)立思考綜合起來運(yùn)用。當(dāng)然，還有動(dòng)手實(shí)踐、直觀感知、操作確認(rèn)等學(xué)習(xí)方法，這給數(shù)學(xué)直覺的培養(yǎng)方式指明了方向。

1.創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，增強(qiáng)直覺感知

當(dāng)學(xué)生難以發(fā)現(xiàn)所學(xué)知識(shí)結(jié)論間的關(guān)系或規(guī)律時(shí)，可通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手操作實(shí)踐，以體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，增強(qiáng)對(duì)所學(xué)知識(shí)的直覺感知。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是實(shí)驗(yàn)者借助于一些道具或儀器，通過自己動(dòng)手進(jìn)行親自感受與體驗(yàn)，并在一定思維活動(dòng)下得出的規(guī)律和結(jié)論或者驗(yàn)證了某項(xiàng)猜想和理論的探究活動(dòng)。當(dāng)然，這些數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)除了動(dòng)手操作外還一定要有思維活動(dòng)的參與。正因?yàn)閿?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生自己的操作實(shí)踐，所以可形成最初的直觀感知，繼而通過思考想象，再到發(fā)現(xiàn)、歸納、猜想，使學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過程，便于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，增強(qiáng)數(shù)學(xué)直覺。

案例1 讓橢圓“圓”形畢露

在橢圓的第1課時(shí)教學(xué)中，大多數(shù)高中數(shù)學(xué)教師采用的基本流程是：教師先用繩子畫橢圓，再歸納出橢圓定義，然后建立橢圓方程，教師講解例題與練習(xí)。筆者發(fā)現(xiàn)按照教材編寫的順序進(jìn)行教學(xué)時(shí)，學(xué)生總有一種莫名其妙的感覺：那就是所學(xué)的橢圓與圓毫無關(guān)系?？杉热粺o關(guān)系，為什么“橢圓”中有個(gè)“圓”字呢？由于“橢圓”給人的感覺是一個(gè)長圓形，是由圓“壓扁”或“伸長”而成的，那教師為什么不提圓呢？所以，學(xué)生心中覺得這個(gè)橢圓純粹是“空降”而來，既沒有人情味也感到不合常理，從而產(chǎn)生一種不自然感，也降低了學(xué)生對(duì)橢圓的直覺認(rèn)識(shí)。為此，筆者認(rèn)為在引入上不妨進(jìn)行實(shí)驗(yàn)改進(jìn)。

引入時(shí)的實(shí)驗(yàn)可這樣設(shè)計(jì)：先讓同桌兩個(gè)同學(xué)合作，用一條細(xì)繩子在紙上按住兩端點(diǎn)畫出橢圓，然后讓同學(xué)探究：當(dāng)兩端點(diǎn)離得越來越近和越來越遠(yuǎn)時(shí)橢圓的形狀變化。

通過學(xué)生的實(shí)驗(yàn)操作就會(huì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩端點(diǎn)越來越近時(shí)，畫出的橢圓越來越圓，當(dāng)兩端點(diǎn)重合時(shí)就變成了圓；而當(dāng)兩端點(diǎn)離得越來越遠(yuǎn)時(shí)，畫出的橢圓就越扁。這樣學(xué)生就會(huì)自己研究出橢圓與圓的關(guān)系，從而對(duì)橢圓的得出不會(huì)感到突然，也增強(qiáng)了對(duì)橢圓的直觀認(rèn)識(shí)，同時(shí)還為橢圓離心率e=c/a的大小影響橢圓形狀的知識(shí)埋下了伏筆：橢圓越圓，e就越小，當(dāng)e=0時(shí)就變了圓；橢圓越扁，e越大，當(dāng)c→a時(shí)，e→1。有了這樣的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)圓與橢圓的形狀及e的范圍在（0，1）有了直觀感受，學(xué)生通過自己的實(shí)驗(yàn)操作而產(chǎn)生的印象遠(yuǎn)比老師空洞說教要深刻得多。

2.展示實(shí)物模型，提升直覺能力

在講授一個(gè)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，尤其是抽象性比較強(qiáng)學(xué)生一時(shí)難以理解或不能想象的知識(shí)時(shí)，就要聯(lián)系學(xué)生生活中可見到的實(shí)物，以幫助學(xué)生理解，增加直觀性。筆者認(rèn)為教師通過實(shí)物模型的展示是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺的一個(gè)不錯(cuò)選擇，因?yàn)榫唧w的實(shí)物模型可以降低抽象程度，提升直觀形象。特別是在講授立體幾何知識(shí)時(shí)，更需要用實(shí)物模型來直觀認(rèn)知，再通過實(shí)驗(yàn)操作來確認(rèn)，這樣才能消除學(xué)生初中所學(xué)的平面幾何帶來的認(rèn)知障礙，增強(qiáng)學(xué)生的空間想象能力。所以中學(xué)教師在面對(duì)學(xué)生較難理解的三維空間的立體圖形時(shí)，最佳的教學(xué)策略便是多提供一些具體的實(shí)物模型，并讓學(xué)生自己也動(dòng)手做一做，尤其是遇到翻折類的題型時(shí)，一定要讓學(xué)生多動(dòng)手操作以增強(qiáng)直觀形象，提升直覺能力。

案例2 棱柱歐氏定義的反例

筆者在聽中學(xué)教師講授棱柱定義這節(jié)課時(shí)，一般都會(huì)讓學(xué)生判斷這樣一個(gè)命題：“有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱”。而學(xué)生往往會(huì)認(rèn)為是對(duì)的，此時(shí)教師就會(huì)給出一個(gè)如圖1的反例，以此來說明該命題的錯(cuò)誤，從而佐證教材上的棱柱定義是正確的。但事實(shí)上這個(gè)反例是有缺陷的，因?yàn)橐话闱闆r下的多面體都是指凸多面體，而該反例卻是凹的，因此數(shù)學(xué)程度好的學(xué)生會(huì)質(zhì)疑，從而就很難判斷上述命題的真假。

其實(shí)，有數(shù)學(xué)史知識(shí)的教師應(yīng)該知道，這個(gè)命題就是2000多年前的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中下的棱柱定義，簡稱歐氏定義。當(dāng)然現(xiàn)在知道這個(gè)定義是不對(duì)的，但就是這個(gè)錯(cuò)誤的定義卻得到了歷史上許多數(shù)學(xué)家的認(rèn)可，并整整統(tǒng)治了2000多年，其原因就是長時(shí)間找不到歐氏定義的反例。也許中學(xué)教師會(huì)認(rèn)為圖1的反例并不是很難，數(shù)學(xué)家怎么會(huì)想不到呢？問題就在于這個(gè)反例是凹的，可能當(dāng)時(shí)歐幾里得就已經(jīng)知道這個(gè)例子了，但他并不認(rèn)可，因此只有找到一個(gè)凸的反例才具有說服力。數(shù)學(xué)家們整整花了2000多年，直到20世紀(jì)初才找到，該反例便是圖2。很明顯，這個(gè)凸的反例學(xué)生根本想不到，這就需要教師自己動(dòng)手做這個(gè)反例的實(shí)物模型，用事實(shí)說話來提升學(xué)生的直覺能力。

用實(shí)物模型來展現(xiàn)，可以讓學(xué)生感到既直觀明了又生動(dòng)具體，從而使一些結(jié)論深刻地印在學(xué)生的腦海里。如案例2，學(xué)生看到這個(gè)凸的反例實(shí)物時(shí)一定會(huì)留下深刻印象的。事實(shí)上，數(shù)學(xué)中除了立體幾何外，還有一些比較抽象的概念也可借助實(shí)物模型來理解，如向量的概念，可用學(xué)生手中的“筆”來替代：筆尖表示向量方向，筆身表示向量的模，筆的移動(dòng)表示向量的平移，這樣學(xué)生就會(huì)很快理解與“數(shù)”不同的“向量”；任意角的概念，可用學(xué)生身上的“手表”或教室里的“鐘”等實(shí)物來展現(xiàn)，就會(huì)讓學(xué)生很快突破以前所學(xué)的角范圍所帶來的束縛。

3.尋找數(shù)學(xué)原型，加深直覺認(rèn)識(shí)

“隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生積累的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法就成為了學(xué)生的‘?dāng)?shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。這些現(xiàn)實(shí)應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的素材，選用這些素材，不僅有利于學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，還能夠更好地揭示相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)，構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)”。根據(jù)對(duì)“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的詮釋，筆者認(rèn)為可從學(xué)生的已有生活常識(shí)出發(fā)，去尋找數(shù)學(xué)知識(shí)的原型，以加深直覺認(rèn)識(shí)。

數(shù)學(xué)原型，就是指產(chǎn)生數(shù)學(xué)概念、法則、定理等知識(shí)的生活來源，或已得到論證的數(shù)學(xué)知識(shí)來作為直覺認(rèn)識(shí)的一種模型。實(shí)際上，學(xué)生在前面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也一直在利用數(shù)學(xué)原型，比如通過“向東向西”“零上零下溫度”（數(shù)學(xué)原型）來形成“相反意義的量”，繼而來進(jìn)一步理解“正負(fù)數(shù)”和“正負(fù)數(shù)加減法則”；因式分解可由小學(xué)里學(xué)過的數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解作為數(shù)學(xué)原型來理解等等。

高中數(shù)學(xué)中的一些概念、性質(zhì)和公式等也可通過尋找數(shù)學(xué)原型來幫助理解。比如：三角函數(shù)的單位圓定義，就以游樂場中的摩天輪作為數(shù)學(xué)原型：你坐在那里的位置就相當(dāng)于單位圓上的一個(gè)點(diǎn)，然后當(dāng)摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)后，如何來表示你的位置？以這樣的生活現(xiàn)實(shí)來幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的本質(zhì)：刻畫具有周期性現(xiàn)象的圓周運(yùn)動(dòng)的函數(shù)模型。學(xué)生有了摩天輪作為單位圓的數(shù)學(xué)原型后，自然就會(huì)直觀認(rèn)識(shí)到Isinal，Icosxl的值不能超過1，有了這樣的數(shù)學(xué)直覺，也就不會(huì)犯算出sina=2還作為答案的錯(cuò)誤情況。再比如一些抽象函數(shù)，當(dāng)具有性質(zhì)f（x）f（y）=f（x+y），f（xy）==f（x）+f（y）時(shí)，則前者可用指數(shù)函數(shù)f（x）=a^x作為模型，后者可用對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=log_ax作為模型。這樣讓學(xué)生用已熟悉的具體函數(shù)作為數(shù)學(xué)原型就好理解，也容易解題了。這就是典型的應(yīng)用數(shù)學(xué)原型來加深學(xué)生的直覺認(rèn)識(shí)。

三、培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺須注意的問題與原則

1.培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺須注意的問題

（1）目的性不明

培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺是為了增強(qiáng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的直觀認(rèn)識(shí)，也是讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，認(rèn)清數(shù)學(xué)本質(zhì)。如果僅僅是為了體現(xiàn)直觀性，而忽視數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和邏輯性，尤其是脫離數(shù)學(xué)的本質(zhì)，對(duì)學(xué)生無任何幫助。

（2）缺乏科學(xué)性，盲目培養(yǎng)

不管是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)還是數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中的原型，都是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀詮釋，即都能正確地刻畫數(shù)學(xué)知識(shí)。如果教師提供的模型并不能讓學(xué)生很好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，甚至是錯(cuò)誤的，不僅不能培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺，而且還會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生。

2.培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺的原則

（1）適用性原則

不管設(shè)計(jì)的是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，還是提供實(shí)物模型和數(shù)學(xué)原型，都要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知程度來考慮，只有正確反映數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀教學(xué)才適用于學(xué)生，也有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)。

（2）直觀性原則

教師讓學(xué)生完成某個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，再現(xiàn)某數(shù)學(xué)知識(shí)或展示某個(gè)模型，都要讓學(xué)生感到直觀形象，從而使學(xué)生能完成從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的順利過渡，提高學(xué)生的抽象思維能力，同時(shí)也加深了直覺印象。

（3）探究性原則

學(xué)生做完數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)后或在教師提供模型后，還要讓學(xué)生繼續(xù)探究，或觀察發(fā)現(xiàn)或歸納總結(jié)等。如案例2，當(dāng)學(xué)生看到實(shí)物模型后，還可深入探究怎樣得到這個(gè)反例，如可通過“補(bǔ)形”或“切割”等方法，這就需要推理和數(shù)學(xué)思維。如果抽象的推理以具體實(shí)驗(yàn)或模型為依托，學(xué)生在研究實(shí)驗(yàn)與模型的過程中就可獲得解決問題的啟發(fā)與靈感。

要讓學(xué)生在內(nèi)心真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)和接納新知，就必須要先對(duì)該知識(shí)有一個(gè)直覺感知，然后再在大腦中形成一個(gè)整體認(rèn)識(shí)，繼而上升到抽象層面。發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題往往比解決問題更重要，而“發(fā)現(xiàn)”靠的并不都是邏輯思維，直觀性的思維和直覺能力有時(shí)更能出奇制勝。而在課堂上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺，可使許多抽象和沉悶的概念、公式、定理、結(jié)論更易理解。

[責(zé)任編輯 郭振玲]