基于網(wǎng)格搜索與模擬退火算法的地震定位數(shù)值模擬反演

丁晶　張明東

摘 要：地震定位是地震學(xué)中最經(jīng)典、最基本的問題之一，提高地震定位的精度也一直是地震學(xué)應(yīng)用與研究的重要目標(biāo)之一。文章主要介紹了幾種線性與非線性地震定位反演算法，其中包括了Geiger經(jīng)典算法、網(wǎng)格搜索法、模擬退火法等。并對網(wǎng)格搜索與模擬退火進(jìn)行了數(shù)值模擬試驗(yàn)，分析了它們的定位優(yōu)點(diǎn)與不足之處。

關(guān)鍵詞：地震定位；網(wǎng)格搜索；模擬退火；數(shù)值模擬

1 概述

地震定位是地震學(xué)中最經(jīng)典、最基本的問題之一。對于研究諸如地震活動構(gòu)造，地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)，震源的幾何構(gòu)造等此類地震學(xué)中的基本問題有重要意義。此外，基于準(zhǔn)確快速的地震定位的地震速報(bào)，對于震后的減災(zāi)、救災(zāi)工作也是至關(guān)重要的。因此，地震學(xué)家一直在不斷改進(jìn)或提出新的定位方法。地震定位指的是根據(jù)地震觀測臺站對地震到時的觀測，來確定地震震源的坐標(biāo)以及發(fā)震時刻。

2 方法

2.1 線性定位方法

經(jīng)典定位方法及線性計(jì)算地震定位方法是Geiger在1912年提出的利用高斯-牛頓法進(jìn)行地震定位的一種方法，通過n個地震臺站得到的到時數(shù)據(jù)t1，t2，......，tn來反演得到震源的相關(guān)參數(shù)即（x0，y0，z0），構(gòu)建罰函數(shù)？準(zhǔn)（t0，x0，y0，z0）=（ti-（t0+f（t0，x0，y0，z0）））2。即為觀測數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)的到時殘差的平方和，其中f為反演震源位置到第i個地震臺站的到時，通過反演構(gòu)建的G（模型矩陣），利用最小二乘法得到與實(shí)際數(shù)據(jù)最接近的模型，并通過泰勒展開的方法將根號提出，將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題：d=Gm的形式。

2.2 非線性定位方法

由于單事件和多事件定位法都是基于Geiger的線性地震定位算法，它在很多情況下都會出現(xiàn)問題，比如說為了將非線性問題轉(zhuǎn)換為線性問題的過程中會省略二階以上的項(xiàng)不一定合理。非線性定位方法能夠很好地解決在求目標(biāo)函數(shù)極小值時避免其陷入局部極小點(diǎn)的問題。

2.2.1 網(wǎng)格搜索法

當(dāng)反演模型參數(shù)的數(shù)目較少，則我們可以利用網(wǎng)格搜索法來尋找最佳的模型參數(shù)：

（1）首先要確定我們要反演的每一個模型參數(shù)的大概范圍。

（2）對任一需要反演的模型數(shù)據(jù)在對應(yīng)的搜索范圍內(nèi)分成若干段，從而得到分割各個區(qū)段模型參數(shù)分割點(diǎn)的參數(shù)值。

（3）由各個參數(shù)的分割點(diǎn)構(gòu)成了一個模型空間的點(diǎn)陣，總點(diǎn)數(shù)為各模型參數(shù)分割點(diǎn)數(shù)相乘。

（4）對模型空間中的每一個點(diǎn)用其相應(yīng)的模型參數(shù)逐個進(jìn)行正演，并計(jì)算相應(yīng)的誤差函數(shù)。

（5）選取誤差函數(shù)最小的點(diǎn)對應(yīng)的模型參數(shù)值作為反演的結(jié)果，或在其附近再進(jìn)行一次網(wǎng)格搜索，一直循環(huán)下去，直至達(dá)到預(yù)期的精度。

該方法思路清晰，易于理解，進(jìn)行分層次的網(wǎng)格搜索可以減少搜索的總數(shù)，并且能夠達(dá)到較高的精度。

2.2.2 模擬退火法

模擬退火算法，該反演算法屬于直接反演，它是一種非線性反演，它的好處在于能夠避免使反演陷入失配函數(shù)的次極小，或者說是模型的后驗(yàn)概率密度分布函數(shù)的次極大，或稱局部極大值而不是全局的最大值，算法思想來源于模擬液體冷卻而結(jié)晶時的物理過程，當(dāng)液體物質(zhì)冷卻的速度足夠慢，以致使物質(zhì)時時處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，這時物質(zhì)總是處于最低能態(tài)。但是如果冷卻過程過快，就有可能會使物質(zhì)進(jìn)入亞低能態(tài)，這時物質(zhì)的結(jié)晶就不完全，處于類似玻璃的亞穩(wěn)態(tài)。

模擬退火實(shí)質(zhì)是現(xiàn)代蒙特卡洛法，它是一個不斷尋優(yōu)過程，同樣是一個非線性的尋優(yōu)過程，在最優(yōu)化過程中，擬合度隨迭代次數(shù)的增加呈現(xiàn)跳躍起伏，但總體趨勢是變大（或變?。?。正是因?yàn)槟M退火允許擬合度變小（或擬合誤差變大），可以使模型從局部最優(yōu)值中跳出，達(dá)到全局最優(yōu)化的模型。

3 實(shí)驗(yàn)?zāi)M

本文通過實(shí)驗(yàn)?zāi)M的方式，來評估網(wǎng)格搜索法與模擬退火法定位的精度。首先先人為的給定一個震源位置，通過正演的方式求得各個臺站的到時情況，再通過這些得到的數(shù)據(jù)，利用網(wǎng)格搜索法與模擬退火法來反演得到地震震源。比較兩者的精度，由于在地震定位中，深度的定位是最難的，主要是因?yàn)榈卣鹨话愣及l(fā)生在地下幾到幾百公里的范圍內(nèi)，而我們的地震計(jì)一般都放在山洞或者接近于地表的觀測井中，所以不能夠很好的包圍震源。這就造成了在我們的反演計(jì)算中無法很好的約束震源深度，因此也就很難判斷哪個定位程序得到的深度更精確，因?yàn)槲覀儫o法檢測。所以我們一般通過對某一地區(qū)震源分布的認(rèn)識來認(rèn)定某一深度更為合理，因此在本文中假定震源深度為10km。

4 討論與總結(jié)

影響地震定位精度的主要因素有：臺網(wǎng)布局、震相數(shù)據(jù)、定位方法、地殼結(jié)構(gòu)等等。而使用“網(wǎng)格搜索”后，“臺網(wǎng)布局”、“定位方法”即可以不再考慮，只要給定正確的震相數(shù)據(jù)及合適的地下結(jié)構(gòu)模型，“網(wǎng)格搜索法”就一定能找出真實(shí)解，只要你的搜索的范圍足夠大，它總能夠搜到合適的解，但是他的弊端也很明顯，就是需要耗費(fèi)大量的時間和計(jì)算資源，對于大規(guī)模的數(shù)據(jù)計(jì)算，時間成本是非常大的。

模擬退火算法是近年發(fā)展起來的一種全局最優(yōu)化的算法，它的主要優(yōu)點(diǎn)在于不需要求目標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及解大量的矩陣方程組，就能夠得到一個全局最優(yōu)解，而且易于加入約束條件，程序的編寫也較為簡單。目前該算法可以用來解決非線性地球物理反問題，如波形反演、疊前偏移速度分析等非線性反演中，并取得了較好的效果。

但是模擬退火法的本質(zhì)是一種現(xiàn)代的蒙特卡洛法，所以反演必須在全空間進(jìn)行搜索，要求得全局極小，而且對于初始模型的依賴程度較高。根據(jù)我們的理論和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)可知模擬退火法要比蒙特卡洛法計(jì)算效率更高。

分別對上述（表1）的定位問題進(jìn)行多次模擬退火試驗(yàn)，迭代次數(shù)依次為2w次、6w次、10w次、20w次、30w次和100w次，可以看到增加迭代次數(shù)可以增加模擬退火法的反演精度。但是由于初始模型是隨機(jī)產(chǎn)生的，所以在模擬退火的過程中可能會出現(xiàn)一些誤差值（當(dāng)初始模型遠(yuǎn)離實(shí)際反演值時會增加反演值的誤差），但是在大量的重復(fù)試驗(yàn)中會趨于一個穩(wěn)定值。

而網(wǎng)格搜搜法雖然反演的精度很高，但是相比較于模擬退火，它需要花費(fèi)更多的時間和計(jì)算資源，因此在實(shí)際的定位反演中并不常用。

隨著非線性反演算法和線性化反演算法的發(fā)展，單一的地球物理資料的反演法已無法適應(yīng)當(dāng)前形勢的要求，因此將模擬退火算法與其它線性化反演算法甚至是其它非線性反演算法進(jìn)行結(jié)合，進(jìn)行混合優(yōu)化反演，是地球物理反演法值得關(guān)注的研究方向。

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作者簡介：丁晶（1990，12-），男，于2012年7月起就職于天津市地震局，從事地震信息網(wǎng)絡(luò)與地震數(shù)據(jù)處理應(yīng)用工作，2016年9月至今在中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)地球物理專業(yè)攻讀碩士研究生學(xué)位（委培）。

張明東，男，就職于天津市地震局。