數(shù)學(xué)教學(xué)中合情推理策略的使用
——以“除數(shù)是整數(shù)的除法”為例

緣起

《小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版）》2017年第7-8期《數(shù)學(xué)教學(xué)中合情推理策略的使用：挑戰(zhàn)與機(jī)遇》一文，以“討論吧”話題“我的想法錯(cuò)在哪里”為案例，從數(shù)學(xué)分析、認(rèn)知分析和教學(xué)分析三個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中合情推理策略的使用進(jìn)行了深入的研究，反復(fù)閱讀之后，我受益匪淺。正如文中所說，合情推理是人類常見的一種思維方式，教師應(yīng)抓住其有利的方面為教學(xué)所用。下面我以人教版教材五年級(jí)上冊(cè)“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”一課為例，談一下我對(duì)合情推理策略的使用的理解。

學(xué)前調(diào)研

2017年4月，我們?cè)谒哪昙?jí)下學(xué)期（學(xué)生提前預(yù)習(xí)的可能性小）對(duì)一個(gè)班的學(xué)生進(jìn)行了一次學(xué)前調(diào)研，調(diào)研的題目是筆算332÷4 和 22.4÷4。 結(jié)果顯示，46名學(xué)生中，第一類22名學(xué)生（約占47.8%）正確計(jì)算出了22.4÷4的結(jié)果；第二類18名學(xué)生（約占39.1%）計(jì)算 22.4÷4的得數(shù)是5……2.4；第三類6名學(xué)生（約占13%）為無效解答或其他答案。

學(xué)生并非白紙一張！問卷顯示：第一類學(xué)生說“沒學(xué)過”，但都認(rèn)為小數(shù)除法也應(yīng)該像整數(shù)除法那樣算，得到56，然后點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，就是5.6。如有的學(xué)生說：“我無視小數(shù)點(diǎn)，先按整數(shù)除法來做?！钡诙悓W(xué)生都說：“余下來的小數(shù)不夠除，所以要余2.4。”

注意，以上兩類學(xué)生都運(yùn)用了合情推理！雖然學(xué)生還沒有學(xué)過小數(shù)除法，但他們都從整數(shù)除法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，憑借直覺和經(jīng)驗(yàn)，類比得出“小數(shù)除法應(yīng)該像整數(shù)除法那樣除”。

誠然，學(xué)生運(yùn)用合情推理來推測(cè)小數(shù)除法的筆算方法，具有一定的局限性，第一類學(xué)生只知道得5.6，但說不出這樣算的道理，第二類學(xué)生認(rèn)為余下的2.4不能往下除。但是，當(dāng)學(xué)生運(yùn)用合情推理的時(shí)候，如果老師不進(jìn)行有效的引導(dǎo)，學(xué)生思維的火花就容易被澆滅，錯(cuò)過了本該進(jìn)行推理能力培養(yǎng)的最佳時(shí)機(jī)。

另外，既然學(xué)生已經(jīng)有從整數(shù)除法過渡到小數(shù)除法的能力，能不能改變一下教學(xué)思路，不要再“千篇一律”的先從現(xiàn)實(shí)情境抽象出問題，然后再列式計(jì)算、總結(jié)算法？能不能發(fā)揮學(xué)生的積極主動(dòng)性，從學(xué)生合情推理的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)實(shí)施教學(xué)？基于以上思考，我進(jìn)行了如下的教學(xué)設(shè)計(jì)：

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、合情推理，遇到問題

師：同學(xué)們，請(qǐng)大家先筆算兩道題。

（出示：332÷4= ，22.4÷4= ，學(xué)生試算，然后展示）

師：第一題是一道整數(shù)除法（出示 332÷4的解答過程），大家的意見高度一致。第二題是小數(shù)除法，大家的意見有些不一致，下面請(qǐng)這幾位同學(xué)談?wù)勊南敕ā?/p>

生：我先商 5，余 2.4，余數(shù)比除數(shù)小，沒法往下除了，所以商5余2.4。

生：我先無視小數(shù)點(diǎn)的存在，按照整數(shù)除法去除，商56，然后我覺得應(yīng)該再點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，所以商5.6。

師：對(duì)于這兩種算法，你有什么想說的？

生：余下的2.4，還能不能繼續(xù)往下除？

生：為什么要在56里點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)？這里面有什么道理？

師：同學(xué)們，今天我們就帶著這兩個(gè)問題來學(xué)習(xí)“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”。

二、借助具體，理解道理

1.回到情境。

師：怎么解決這些問題呢？讓我們回到生活中去，想一想，什么時(shí)候會(huì)遇到 22.4÷4的情況呢？

（師出示問題情境：在為希望小學(xué)獻(xiàn)愛心活動(dòng)中，第一小組的4名學(xué)生買了一個(gè)書包，用去22.4元錢，平均每名學(xué)生應(yīng)拿多少錢）

師：（課件出示：一張20元，一張 2元，四張 1角的錢）把22.4元怎么分，才能平均分成4份？每份是多少錢呢？同桌兩個(gè)人互相說一說。

2.交流分法。

生：我先把20元除以4得5元，再把2.4元換算成24角，平均分成4份，每份是0.6元，合起來就是5.6元。

生：我先把22.4元看成224角，224÷4=56（角），再把 56 角變成5.6元。

……

3.理解道理。

（1）解決“余下的 2.4 能不能往下除”的問題。

師：同學(xué)們，生活中的問題我們會(huì)解決了，那么，現(xiàn)在再看之前大家列的除法豎式，余下的2.4還能往下除嗎？商過56后為什么還有再點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)？下面以四人小組為單位交流一下。

（學(xué)生交流后匯報(bào)）

生：還能往下除，我把2.4元換算成24角，24角÷4就可以除了。

師：還有不同的解釋嗎？

生：我把2.4米換算成24分米，這樣就可以繼續(xù)往下除了。

生：把2.4換算成24個(gè)十分之一，就可以往下除了。

生：不夠除時(shí)，可以換算成更小的單位，這樣就可以往下除了。

……

（2）解決“56 里為什么要點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)”的問題。

師：現(xiàn)在明白為什么56里面要點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)了嗎？

生：先用 20元除以 4，商 5元；余下的24角，再除以4，得6角，也就是0.6元。所以要點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，最后商5.6元。

師：如果不看情境，如何解釋呢？

生：先用 20÷4，商 5；余下的2.4，也就是 24個(gè)十分之一，再除以4，得6個(gè)十分之一，也就是0.6，所以，應(yīng)該在5的右下角點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。

師：說得太棒了，誰能像他那樣指著豎式再說一遍？

生：22.4÷4，先商 5，余 2，把4落下來，24表示24個(gè)十分之一，再除以4，得6個(gè)十分之一，6要寫在十分位上，所以，在5的右下角點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，再商6。