兩端彈性支承裂紋管道的非線性動(dòng)力學(xué)特性

包日東， 梁 峰

(沈陽化工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，沈陽 110142)

兩端彈性支承裂紋管道的非線性動(dòng)力學(xué)特性

包日東， 梁 峰

(沈陽化工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，沈陽 110142)

研究?jī)啥藦椥灾С休斄鞴艿篮瑘A周方向裂紋時(shí)的非線性動(dòng)力學(xué)特性。首先，推導(dǎo)出裂紋管道的模態(tài)函數(shù)與局部柔度系數(shù)，然后運(yùn)用Galerkin離散技術(shù)將管道運(yùn)動(dòng)方程在模態(tài)空間中展開，采用非線性動(dòng)力學(xué)仿真方法得到管道系統(tǒng)響應(yīng)隨各參數(shù)變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖。數(shù)值結(jié)果表明，這種兩端彈性支承的特殊邊界裂紋管道在參數(shù)激勵(lì)、自激勵(lì)和外激勵(lì)聯(lián)合作用下，表現(xiàn)出豐富的非線性動(dòng)力學(xué)特性，分別出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)、概周期運(yùn)動(dòng)、陣發(fā)性混沌和混沌等多種響應(yīng)形式。

彈性支承；裂紋管道；非線性動(dòng)力學(xué)特性；分岔；混沌

管道輸送在能源、化工、航空、動(dòng)力等工業(yè)領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用，是流體輸送的最主要方式。管道輸送的安全運(yùn)行關(guān)系著與之相連接裝置的安全，裂紋是較典型的一種損傷形式，裂紋的出現(xiàn)將改變管道結(jié)構(gòu)的剛度、阻尼和質(zhì)量，從而導(dǎo)致管道系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的改變。

無裂紋兩端簡(jiǎn)支輸流管道在脈動(dòng)內(nèi)流作用的動(dòng)力學(xué)特性，已有許多文獻(xiàn)報(bào)道了其研究進(jìn)展[1-4]；近年來對(duì)于含裂紋兩端簡(jiǎn)支輸流管道的動(dòng)力學(xué)特性的研究也多有文獻(xiàn)報(bào)道。HE等[5]在沒有考慮管內(nèi)流體影響前提下，研究了裂紋管道的應(yīng)力集中因子和局部柔度系數(shù)；YOON等[6]研究了兩端簡(jiǎn)支裂紋管道在移動(dòng)載荷作用下的頻率特性和位移響應(yīng)；蔡逢春等[7]研究了含裂紋兩端簡(jiǎn)支管道在振蕩流作用下的非線性動(dòng)力特性，其模型考慮了瞬變呼吸裂紋和幾何非線性。無裂紋端部既非簡(jiǎn)支又非固支的特殊支承邊界輸流管道的動(dòng)力學(xué)特性，作者以前進(jìn)行了較深入的研究[8-10]，而對(duì)于這種特殊支承邊界的含裂紋輸流管道的研究，還未見有相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道。

兩端簡(jiǎn)支管道由于各種原因其端部支撐可能松動(dòng)而處于彈性支承狀態(tài)。本文研究這種兩端彈性支撐特殊邊界的輸流管道含有圓周方向非貫穿裂紋時(shí)的非線性動(dòng)力特性。

1 裂紋梁模態(tài)函數(shù)與局部柔度系數(shù)

1.1 模態(tài)函數(shù)

如圖1所示，考慮含有一條裂紋的梁，xc是圖示坐標(biāo)系裂紋坐標(biāo)，K1和K2是端部彈性支承系數(shù)，從裂紋處將梁分成2段，在裂紋處用扭轉(zhuǎn)彈簧組裝起來。裂紋梁的模態(tài)函數(shù)可分段表示為：

(1)

(2)

圖1 兩端彈性支承裂紋管道模型Fig.1 Model of a fluid conveying pipe with crack under elastic supporting

兩端彈性支承裂紋管道在端部應(yīng)滿足線性彈性支承的邊界條件，在裂紋處應(yīng)滿足位移、彎矩、剪力和轉(zhuǎn)角四個(gè)協(xié)調(diào)條件：

(3)

將式(1)～(2)及其各階導(dǎo)數(shù)代入邊界條件和協(xié)調(diào)條件式(3)，可得：

(4)

式中:C為裂紋引起的局部柔度系數(shù)。考慮兩端對(duì)稱支承的情形，即：

K1=K2=K

令：

可得：

(5)

式(5)構(gòu)成關(guān)于Ai(i=1,2,…,8)的線性方程組，求解該方程組，可以唯一確定系數(shù)Ai，由此得到裂紋管道的兩段模態(tài)函數(shù)。

1.2 局部柔度系數(shù)

在純彎矩作用下由外壁部分圓周裂紋引起的局部柔度系數(shù)為[3-5]：

(6)

圖2 裂紋管道截面Fig.2 Section of the cracked pipe

進(jìn)一步將局部柔度系數(shù)化為無量綱形式：

(7)

2 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程及離散

圖1所示兩端受線性彈簧支承的輸流管道，考慮管道軸線伸長(zhǎng)而產(chǎn)生的非線性軸向力、支承基礎(chǔ)的簡(jiǎn)諧激勵(lì)、管內(nèi)流體流速和壓力的脈動(dòng)作用，其無量綱形式的運(yùn)動(dòng)方程為[9,10]：

(8)

式中:各符號(hào)的意義參見文獻(xiàn)[9-10]。

設(shè)方程(8)的解為：

(9)

將式(9)代入式(8)可得

(10)

方程(10)兩邊同乘以φj(ξ),(j=1,2)，然后在區(qū)間[0，1]上進(jìn)行積分，得到

(11)

進(jìn)一步將系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程(11)化為：

(12)

式中:

R=-M-1C,S=-M-1K,

(13)

式中:

rij，sij(i,j=1,2)為矩陣R，S的元素，Q1，Q2為向量Q用狀態(tài)參數(shù)表示的元素。

3 非線性動(dòng)力學(xué)特性分析

仿真參數(shù)取α=0.005，β=0.5，Γ=2，p=2，u=4，k=50，d=Di/De=0.925 9，a/δ=0.5，θc=2θ=π/6，ξc=0.5，h=0.1，μ=0.1，ρ=0.1，γ=5，ζ=50，κ=5π，?=5π，ω=5π。當(dāng)討論某參數(shù)對(duì)固有頻率和臨界流速的影響時(shí)，該參數(shù)取變化的值(圖中的橫坐標(biāo))，有變化的參數(shù)值已標(biāo)注于圖中。

圖3 系統(tǒng)響應(yīng)隨流速變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.3 Bifurcation diagram and maximal Lyapunov exponent of pipe system for flow velocity

圖3所示為系統(tǒng)響應(yīng)隨平均流速變化的分岔圖和對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖。從圖中看出，當(dāng)流體流速較小時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)是周期運(yùn)動(dòng)，隨著流速的增大，系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)分岔，流速u=3.8時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)混沌，爾后，隨著流速的進(jìn)一步增大，系統(tǒng)響應(yīng)交替出現(xiàn)陣發(fā)性混沌和p-k運(yùn)動(dòng)。

圖4 θc=2π時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)隨流速變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.4 Bifurcation diagram and maximal Lyapunov exponent of pipe system for flow velocity under condition of θc=2π

圖5 系統(tǒng)響應(yīng)隨彈性支承系數(shù)k變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.5 Bifurcation diagram and maximal Lyapunov exponent of pipe system for elastic supporting coefficient k

圖4所示為裂紋角θc=2π即管道圓周方向貫穿時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)隨流速變化的分岔圖和對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖。從圖4(a)和圖4(b)可以看出，u<2.5時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)為周期1運(yùn)動(dòng)；u∈[2.5,3.5]區(qū)間時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)為陣發(fā)性混沌運(yùn)動(dòng)；流速u在[5.15,5.35]的窄小區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)為混沌運(yùn)動(dòng)；流速u>5.35后，系統(tǒng)響應(yīng)又表現(xiàn)為陣發(fā)性混沌運(yùn)動(dòng)。

圖5顯示的是系統(tǒng)響應(yīng)隨彈性支承系數(shù)k變化的分岔圖和相應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖。從圖中可以得出，隨著管道端部彈性支承系數(shù)的變化，系統(tǒng)響應(yīng)分別出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)、周期運(yùn)動(dòng)、擬周期運(yùn)動(dòng)、陣發(fā)性混沌等多種響應(yīng)形式。k∈[20,22]∪[30,37]∪[38,46]∪[78,80]的各區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)響應(yīng)為混沌；k∈[22,23.5]∪[26,28]∪[37,38]∪[65,67]的各區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)響應(yīng)為周期運(yùn)動(dòng)；k∈[23.5,26]∪[46,65]的二個(gè)區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)為擬周期運(yùn)動(dòng)形式，除上述的各區(qū)內(nèi)的彈性支承系數(shù)外的其它彈性支承系數(shù)，系統(tǒng)響應(yīng)則表現(xiàn)為陣發(fā)性混沌響應(yīng)形式。

圖6 系統(tǒng)響應(yīng)隨裂紋圓周角θc變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.6 Bifurcation diagram and maximal Lyapunov exponent of pipe system for angle of crack

圖6顯示的是系統(tǒng)響應(yīng)隨裂紋圓周角θc變化的分岔圖和對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖。從圖中得出，裂紋圓周角θc<π/8時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)為混沌運(yùn)動(dòng)，裂紋圓周角7π/8<θc<9π/8區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)陣發(fā)性混沌現(xiàn)象，裂紋角除上述外的其它二個(gè)區(qū)間內(nèi)則表現(xiàn)為P-3和P-1運(yùn)動(dòng)形式。

圖7 系統(tǒng)響應(yīng)隨裂紋相對(duì)深度a/δ變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.7 Bifurcation diagram and maximal Lyapunov exponent of pipe system for depth of crack

圖7顯示的是系統(tǒng)響應(yīng)隨裂紋相對(duì)深度a/δ變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖。從圖中看出，裂紋相對(duì)深度a/δ<0.42時(shí)，除在a/δ=0.2附近的窄小范圍內(nèi)出現(xiàn)周期響應(yīng)外，表現(xiàn)出了混沌響應(yīng)的特性；裂紋相對(duì)深度處于0.420.95區(qū)間時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)則為周期運(yùn)動(dòng)形式；裂紋相對(duì)深度處于0.75

4 結(jié) 論

通過研究?jī)啥耸芫€彈簧支承的彈性支承輸流管道含圓周非貫穿裂紋，并在自激勵(lì)-參數(shù)激勵(lì)-外激勵(lì)作用下的系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性，主要分析了平均流速u、端部彈性支承系數(shù)k、裂紋圓周角θc、裂紋相對(duì)深度a/δ對(duì)該系統(tǒng)非線性動(dòng)態(tài)特性的影響。隨著這些參數(shù)的變化，系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)特性，分別出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)、概周期運(yùn)動(dòng)、陣發(fā)性混沌和混沌多種響應(yīng)形態(tài)。

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Nonlinear dynamic characteristics of a cracked pipe conveying fluid under two-end elastic supports

BAO Ridong, LIANG Feng

(School of Energy and Power Engineering, Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang 110142, China)

The nonlinear dynamical characteristics of a two-end elastically supported pipe with circular crack conveying fluid were studied. Firstly, the expressions of vertical vibration modal functions and the local flexibility coefficients of the cracked pipe were derived. Then, its equations of motion were discretized in the modal space with Galerkin method. Bifurcation diagrams and the maximum Lyapunov exponents of the pipe system responses versus various parameters were acquired by using the nonlinear dynamic simulation technique. The simulation results showed that the cracked piping system has abundant nonlinear dynamical characteristics; it exhibits multiple response forms, such as, periodic motion, quasiperiodic motion, intermittent chaos and chaotic motion and so on.

elastic supports; cracked pipe; non-linear dynamic characteristics; bifurcation; chaos

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275315)

2015-10-22 修改稿收到日期：2016-01-06

包日東 男，博士，教授，1967年6月生

O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.01.010