測量單位觀念的內涵及其教育價值

孫建

筆者有一次聽《分米的認識》一課，課畢，表示1分米有多長時，幾個舉手表示的學生，雙手張開，比肩要寬。當老師追問1分米等于幾厘米時，學生們齊聲回答10厘米。然而，他們并沒有據此調整兩手間距離的意識，足見缺少空間表象支撐的進率顯蒼白。由此可見，對測量單位、圖形測量的認識和教學需要深入研究。

測量單位觀念的內涵

測量即計量，指把一個量與一個作為標準的同類量進行比較的過程。其中作為標準的同類量即測量單位，表示測量標準的大小，是刻畫圖形大小的核心要素。圖形測量是一種操作過程，在操作過程中教學測量單位重心在于概念與方法的生成、經驗與思想的積淀，從而形成良好的單位觀念。本研究提出的測量單位觀念，具體內涵包括三個方面，以下逐一具體說明。

理解統一測量單位的必要性、形成測量單位表象，逐步建立主單位守恒。比較為測量提供了經驗和基礎，也提出了現實需求：統一測量單位。測量使不同位置上物體的間接比較便捷了，統一測量單位又使間接比較與交流變得通暢。國產客機C919的上百萬個零部件由全球200多家企業(yè)提供，統一的測量單位至關重要。測量單位是以測量單位表象為基礎的。測量單位表象也就是長度單位、面積單位、體積單位的標準圖形在人腦中再現所形成的形狀及大小。形成測量單位表象，才能準確把握數量。測量單位表象的形成表現為三個層面：一是根據單位名稱能聯想到相近的替代物，例如由1立方厘米，能想到一節(jié)手指或一粒櫻桃的樣子和大??；二是根據單位名稱能聯想到幾何模型，例如由1平方分米，能在頭腦中想象出或在紙上畫出1分米乘1分米的正方形；三是面對實物或圖形時能聯想到適當的單位圖形去劃分。守恒的建立與發(fā)展是兒童測量能力發(fā)展的重要因素，主單位守恒是單位建立的重要方面。

兒童關于長度、面積、體積的守恒存在較大差異。皮亞杰和英海爾德研究認為兒童在7.5至12歲已具有長度守恒的觀念，兒童這時能夠用任意長的物體作為普通的測量工具；兒童獲得了測量時被分成的各部分長度守恒的概念。也就是二、三年級學生能夠使用非標準或標準單位測量物體的長度，物體的位置變化時他們能做出長度不變的判斷。并且，他們能對較長物體分段測量。（如圖1）用左面的這根鐵絲分別折成了右面不同的樣子。二年級81.5%的學生認定它們同樣長，但是能說明“同一個鐵絲無論怎樣折，長度不變”的學生只有30.3%；三年級91.1%的學生認定同樣長，78.9%的學生能從長度守恒角度做出判斷。這說明8至8.5歲兒童已基本建立起長度守恒，因此真正有意義的測量是從三年級學生開始的。

關于面積的守恒性，皮亞杰研究認為“（兒童）面積守恒性出現的時間與長度守恒性相同”，達到的水平表現為兩個層面：一個層面是“利用疊置的方法”，用“若干個較小的圖形分別正好符合或覆蓋兩個圖形，那么這兩個圖形的面積必定相等?！币簿褪怯脴藴驶蚍菢藴拭娣e單位密鋪被測量的圖形，從而比較它們的大小；另一個層面是“利用單位進行測量”，也就是比照給定的測量單位（形狀、大?。?，在被測圖形上劃分、標記，然后數出個數來。在這個層面上，學生甚至可以對給定的單位進行簡單的再分，這是學生面積守恒性的良好表現。例如：在比較下面圖2中A、B兩部分面積的大小時，三年級79.7%學生把A中兩個三角形拼合成一個小正方形，將B中連通區(qū)域用線條劃分，從而數出小正方形，完成比較。由此可見，三年級學生能依據“圖中小正方形邊長相等”推斷出“每個小正方形面積相等”，即確定了面積單位，并能依據面積單位的空間形象對圖形進行劃分。

關于體積守恒，皮亞杰研究指出：兒童到12歲左右才能出現體積守恒概念。“兒童掌握了當外表的長度、寬度和高度改變時，內部體積或積木中所包含的‘房間空間是不變的這一觀念。”即內部體積守恒這種類型。12歲以后，“這時兒童已能夠根據三個維度的長度之間的關系來測量體積了?！奔磳炔矿w積的測量由數出體積單位個數上升到依據三個維度的長度與體積單位關系的智慧水平；“體積的守恒性也擴展到被占有的或被排開的水的體積的守恒?！奔赐獠矿w積守恒，也就是內部空間與外部空間是守恒的，內部體積單位數與排開的外部的水、空氣的體積相等。例如：將同樣的假山石放入水箱中（如圖3）。雖然水面上升的高度不同，但是78.3%的五年級學生能夠根據假山石的體積不變推定排開的水的體積不變，他們初步理解了體積守恒。

提高學生測量水平

發(fā)展同維度下單位之間的聯系，構建不同維度間測量單位之間的關系守恒，形成測量單位系統。測量單位間的聯系包括：同一維度下測量單位間的進率和不同維度測量單位間的乘法結構的關系守恒。長度單位是守恒的，一方面表現為主單位（米）的長度守恒；另一方面表現為單位之間的關系守恒。長度單位間的進率選擇十進制，使測量中的運算與數的運算一致，使測量結果的表示、單位換算十分簡潔。面積單位、體積單位是長度單位在二維、三維空間量度的積，即乘法結構。因此，由長度單位間的十進制可以得到面積單位間百進制、體積單位間千進制關系。單位和進率構成測量單位系統。兒童大多是在相應守恒概念建立的初期甚至稍早時就開始學習長度、面積或體積測量。劃分或復制等操作活動對不同年齡兒童、不同維度測量的影響程度如何？下面的調研可以反映出一些信息。

下面三組圖形中，（2）號圖形是（1）號圖形的幾倍？先填一填，再在圖上畫一畫。并在空白處寫出你的思考或你的發(fā)現。

由下表縱向觀察，同年齡兒童劃分一維、二維、三維圖形的水平差異顯著；橫向觀察，隨兒童年齡的增長，劃分面積、體積的能力明顯提高，四年級達到峰值，五年級學生部分轉化為運用計算測量圖形的大小，因而劃分的數據減少。由此可見，通過劃分（或復制）是構建單位聯系、形成單位系統、保持單位守恒的有效途徑，并且利于促成守恒性上升到計算水平。

合理選擇測量單位，正確測量或估測。在具體的問題情境中恰當地選擇測量單位進行測量。在明確實際測量的對象后，選擇恰當的測量單位決定著測量結果的準確程度和實用價值。比如，用平方厘米去估計一片樹葉的面積就夠用了，用它去逼近圓的面積，卻難以感悟“兩邊夾”的數學原理；用立方分米（升）測量兒童每天的飲水量比較適度，用它統計家庭用水就過于繁瑣。學生在親身實踐中不斷積累正確使用工具測量、估測的經驗，面對實際問題才能體會測量單位的現實意義，面對實際物體才能切實感受測量單位的大小，測量單位的表象、測量單位的聯系和系統才能不斷修正，進而達到守恒。

培養(yǎng)學生測量單位觀念的價值

發(fā)展量化意識，突出“單位”思想 在測量單位觀念建立的過程中，學生獲得的經驗和建立的觀念，在其他量的研究中會發(fā)揮作用并使這種認識逐步發(fā)展到：任何量的量化，都必須有標準，而且標準必須統一。這使“單位”思想在量化中的核心地位得到普遍確立，從而在角度、貨幣、時間、重量等常見量的研究中主動尋找標準，探索創(chuàng)造單位，發(fā)展量化思維。建立測量單位表象的方法和經驗也會促進學生借助實物或圖形建立角度、時間、貨幣、重量單位表象或感知的實踐與探索活動，逐步把感性認識上升為理性認識，形成量的抽象性與思維形象性的融合，單位思想不斷深入，量的感覺不斷發(fā)展。

培養(yǎng)聯想類比，發(fā)展數學思維 在長度單位系統的構建過程中，應用某一單位沿直線方向復制或再分，產生新單位并形成相鄰單位間的進率。學習面積單位時，依據面積單位與長度單位之間的關系，用面積單位向平面內兩個維度擴展或再分；學習體積單位時，用體積單位向空間內三個方向堆積或再分，產生新單位，推導相鄰單位間的進率。在這樣的過程中，由長度單位系統中獲得的經驗聯想到面積、體積單位系統的構建中，這種思維方法就是類比。類比方法在貨幣、時間以及重量等量的學習中還將發(fā)揮作用并得到進一步發(fā)展，進而促進數學思維的發(fā)展。

促進空間觀念的發(fā)展 用實物、模型或圖形建立單位表象；用長度單位復制、面積單位密鋪、體積單位堆積等活動建立單位系統并在估測、測量實踐活動中，圖形測量的單位觀念得到不斷培養(yǎng)和發(fā)展。同時，良好的測量單位觀念可以促進空間觀念的發(fā)展。這主要體現在以下幾方面：一是對圖形測量的能力得到提高；二是由實物或模型抽象出幾何圖形的形狀更具相似性、圖形的結構特征更清晰；三是對圖形的位置、圖形的運動的刻畫更準確；四是根據幾何圖形想象出所描述的實際物體匹配性更強；五是由語言描述產生聯想畫出的圖形更接近原型。

參考文獻

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（作者單位：北京教育學院豐臺分院）