強(qiáng)超弱緊生成Banach空間不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)

張 吉 超， 張 文

( 1.湖北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 湖北 武漢 430068；2.廈門大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 福建 廈門 361005 )

強(qiáng)超弱緊生成Banach空間不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)

張 吉 超*1， 張 文2

( 1.湖北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 湖北 武漢 430068；2.廈門大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 福建 廈門 361005 )

主要研究Banach空間的不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì),并給出一種全新的證明方法.首先利用超冪方法證明范數(shù)一致G光滑在凸集本身以及它的超冪上是相等的，然后利用反證法證明凸集在范數(shù)一致G光滑下對(duì)非擴(kuò)張映射具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì),最后證明了每個(gè)強(qiáng)超弱緊生成的Banach空間在再賦范意義下滿足每個(gè)弱緊凸集具有超不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)．

超弱緊集；不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)；Banach空間

0 引 言

文獻(xiàn)[1]主要運(yùn)用超冪方法先證明凸集具有超正規(guī)結(jié)構(gòu)，然后結(jié)合凸集的超弱緊性得出該文中一個(gè)主要結(jié)果，即根據(jù)Kirk等[2]結(jié)論(一個(gè)具有正規(guī)結(jié)構(gòu)的Banach空間中每個(gè)弱緊凸集對(duì)非擴(kuò)張映射具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì))證明了每個(gè)強(qiáng)超弱緊生成空間在再賦范意義下滿足每個(gè)弱緊凸集具有超不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，此結(jié)論實(shí)質(zhì)是Kirk等[2]結(jié)論的一個(gè)應(yīng)用．本文將從超冪空間出發(fā)，運(yùn)用超冪方法以及Maury[2]或者Goebel[3]關(guān)于弱緊凸集不具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)的構(gòu)造方法，結(jié)合集合之間有限表示的結(jié)論，先去研究Banach空間中有界閉凸集的超不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)以及范數(shù)在凸集上一致G光滑的超性質(zhì)，然后利用反證法直接去證明主要結(jié)論，避免去證明凸集的超正規(guī)結(jié)構(gòu)，以期加強(qiáng)和推廣超冪方法以及不動(dòng)點(diǎn)理論中經(jīng)典方法的應(yīng)用，另一方面豐富凸集超不動(dòng)點(diǎn)理論的內(nèi)容．

1 預(yù)備知識(shí)

Banach空間的超性質(zhì)是Banach空間理論重要組成部分之一，常見的超性質(zhì)空間有超自反空間、超不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)空間、超正規(guī)結(jié)構(gòu)空間等，具有超性質(zhì)的空間均以空間之間有限表示概念為橋梁，目的是通過有限維空間性質(zhì)來研究整個(gè)空間性質(zhì)，因此空間之間有限表示概念在研究空間的超性質(zhì)中起著重要作用．在1972年，James[4]首先提出空間之間有限表示的概念和超自反空間的概念．

定義1 設(shè)X和Y是兩個(gè)Banach空間，稱Y在X中有限表示，如果對(duì)每個(gè)>0和每個(gè)有限維子空間F?Y，存在一個(gè)有限維子空間E?X和一個(gè)線性映射T：F→E滿足，即Banach-Mazur距離d(E，F(xiàn))<1+．

定義2 稱Banach空間X為超自反空間，如果對(duì)每個(gè)Banach空間Y在X中有限表示滿足Y是自反空間．

文獻(xiàn)[5]首先把定義1中的線性子空間和線性映射分別用單形和仿射映射來代替，然后提出如下集合之間有限表示概念，利用集合之間有限表示的概念，最后給出了超弱緊集的概念以及它的性質(zhì)．

定義4 設(shè)X和Y是兩個(gè)Banach空間，C?X，D?Y是兩個(gè)非空子集，稱D在C中有限表示，如果對(duì)每個(gè)>0和每個(gè)頂點(diǎn)在D中的n-單形SD，存在頂點(diǎn)在C中的n-單形SC和一個(gè)仿射映射T：SD→SC滿足

(1-；

x，y∈SD

定義5 設(shè)C是Banach空間X中的一個(gè)非空有界閉凸子集，稱C?X為相對(duì)超弱緊集，如果任意Banach空間Y中的每個(gè)非空有界凸子集D在C中有限表示滿足D是相對(duì)弱緊集．

性質(zhì)1 (1)Banach空間X中的一個(gè)有界凸子集是相對(duì)超弱緊集當(dāng)且僅當(dāng)它的弱閉包是超弱緊集；

(2)Banach空間X是超自反空間當(dāng)且僅當(dāng)BX是超弱緊集；

(3)Banach空間X中每個(gè)緊凸子集是超弱緊集；

(4)超自反空間中每個(gè)非空有界凸子集是相對(duì)超弱緊集；

(5)超弱緊集是弱緊集．

顯然集合之間有限表示概念可以看作是空間之間有限表示概念的推廣或局部化，而超弱緊集正好是超自反空間概念的局部化概念或推廣概念．文獻(xiàn)[5-6]繼續(xù)深入研究超弱緊集的性質(zhì)與特征，證明了Banach空間X中的一個(gè)有界閉凸集A是超弱緊集與集A具有有限指標(biāo)性質(zhì)(此概念可見文獻(xiàn)[7])、集A具有有限對(duì)偶指標(biāo)性質(zhì)(此概念可見文獻(xiàn)[8])、集A具有Δ-凸函數(shù)近似性質(zhì)(此概念可見文獻(xiàn)[9])等更多其他數(shù)學(xué)家給出的概念是等價(jià)的；關(guān)于更多超自反空間局部化概念或者推廣概念可見文獻(xiàn)[10-13]．

類似于超弱緊集的概念和強(qiáng)超弱緊生成空間[14]的概念，文獻(xiàn)[1]給出了如下凸集具有超不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)的概念和強(qiáng)超弱緊生成空間的概念．在此之前，先介紹凸集具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)的概念[2]．

定義6 設(shè)C是Banach空間X中的一個(gè)非空有界閉凸集，稱C具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，如果對(duì)每個(gè)非空閉凸子集D?C和每個(gè)非擴(kuò)張映射T：D→D滿足T具有不動(dòng)點(diǎn)，即存在x∈D滿足Tx=x．

定義7 設(shè)C是Banach空間X中的一個(gè)非空有界閉凸集，稱C具有超不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，如果對(duì)每個(gè)Banach空間Y中的非空有界閉凸集D在C中有限表示滿足D具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)．

定義8 稱Banach空間X是強(qiáng)超弱緊生成空間，如果存在一個(gè)凸的超弱緊子集C?X使得對(duì)每個(gè)弱緊子集K?X和>0，存在正整數(shù)n∈N滿足K?nC+BX，有時(shí)也稱超弱緊集C強(qiáng)生成Banach空間X．

文獻(xiàn)[1，6]證明了如下強(qiáng)超弱緊生成空間與空間在再賦范之間的關(guān)系，在此之前，先回顧文獻(xiàn)[8]中范數(shù)一致G光滑概念．

或者等價(jià)于當(dāng)t→0時(shí)，有

定理1 每個(gè)強(qiáng)超弱緊生成空間都存在一個(gè)等價(jià)的范數(shù)使得此范數(shù)限定在每個(gè)弱緊凸集上是M-一致G光滑．

空間的超性質(zhì)與它的超冪空間緊密聯(lián)系在一起，例如：一個(gè)Banach空間X是超自反空間當(dāng)且僅當(dāng)它的超冪空間是自反空間，下面回顧一下空間超冪的構(gòu)造．

設(shè)U是N上的自由超濾子，Banach空間X的超冪空間

其中

和

其中(xn)U是(xn)的等價(jià)類．

設(shè)C是Banach空間X中的一個(gè)非空有界閉凸集，記

顯然，X通過x→(x)U等距嵌入到(X)U的一個(gè)子空間和集合C通過x→(x)U等距嵌入到(C)U的一個(gè)子集．

關(guān)于集合的超冪與集合本身有如下結(jié)論．

命題1 設(shè)C是Banach空間X中的一個(gè)非空有界閉凸集，U是N上的自由超濾子，則(C)U在C中有限表示．

命題2 設(shè)C、D分別是Banach空間X、Y中的非空有界閉凸集，如果D在C中有限表示，則存在N上的一個(gè)自由超濾子U和一個(gè)仿射等距T：aff(D)→aff(C)滿足T(D)?(C)U．

2 主要結(jié)果

命題3 設(shè)C是Banach空間X中的一個(gè)非空有界閉凸集，則下列條件等價(jià)：

(1)C具有超不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)；

(2)對(duì)N上某個(gè)自由超濾子U，(C)U具有超不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)；

(3)對(duì)N上每個(gè)自由超濾子U，(C)U具有超不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)；

(4)對(duì)N上每個(gè)自由超濾子U，(C)U具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)．

證明 (1)?(3)：對(duì)任意Banach空間中的非空有界閉凸集E在(C)U中有限表示，由命題1知(C)U在C中有限表示以及有限表示的傳遞性，從而可得E在C中有限表示．根據(jù)C具有超不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)知E具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，從而可得(3)是成立的．

(3)?(4)和(3)?(2)?(1)是顯然的．

(4)?(1)：假設(shè)C不具有超不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，則存在一個(gè)非空的有界凸集D在C中有限表示且滿足D不具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)．根據(jù)命題2知存在N上的一個(gè)自由超濾子U和一個(gè)仿射等距T：aff(D)→aff(C)滿足T(D)?(C)U，這與(C)U具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)相矛盾，故結(jié)論成立．

下列構(gòu)造(關(guān)于弱緊凸集對(duì)非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì))是證明過程中關(guān)鍵步驟之一，設(shè)C是Banach空間X中的一個(gè)非空弱緊凸集和存在一個(gè)非擴(kuò)張映射T：C→C不具有不動(dòng)點(diǎn)，則通過Zorn引理知，存在一個(gè)最小的弱緊凸子集K?C滿足K不是單個(gè)元素且K對(duì)T是不變的．根據(jù)Banach壓縮映象定理知K中包含T的一個(gè)近似不動(dòng)點(diǎn)序列(xn)，即

根據(jù)上述構(gòu)造，文獻(xiàn)[3]證明了如果(xn)是T的一個(gè)近似不動(dòng)點(diǎn)序列，則

(1)

其中x∈K．

ρM(t)=ρ(M)U(t)

證明 因?yàn)镸?(M)U，所以對(duì)任意的t∈R，顯然ρM(t)≤ρ(M)U(t)成立．

對(duì)任意的(xi)U∈S(X)U，(yi)U∈(M)U，其中t∈R，令

取i∈J，有

設(shè)η→0，則對(duì)任意的t∈R，有ρ(M)U(t)≤ρM(t)．

綜合上述可得ρM(t)=ρ(M)U(t)．

證明 假設(shè)M對(duì)非擴(kuò)張映射不具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，則存在一個(gè)最小的弱緊凸子集K?M滿足K不是單個(gè)元素且K對(duì)T是不變的．設(shè)(xn)是T的一個(gè)近似不動(dòng)點(diǎn)序列，不妨假設(shè)diamK=c和序列(xn)弱收斂到0∈K，通過式(1)知，對(duì)任意的x∈K，有

特別地

設(shè)t∈(0，1)，序列(xm)是序列(xn)的一個(gè)子序列，則

即

因?yàn)镵是M的一個(gè)非空凸子集，所以對(duì)xm，0∈K，有(1-t)xm+t×0∈K．結(jié)合范數(shù)的下半連續(xù)性知

即

設(shè)m→∞，則

即

因此

推論1 超自反空間在再賦范后具有超不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)．

證明 由性質(zhì)1以及超自反空間是由它的閉單位球強(qiáng)生成空間知：結(jié)論是成立的．

3 結(jié) 語

本文從反證法入手，結(jié)合超冪空間的性質(zhì)，證明了某類空間在再賦范意義下具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)．此結(jié)論一方面是經(jīng)典結(jié)論的推廣，豐富了不動(dòng)點(diǎn)理論的內(nèi)容；另一方面在其他數(shù)學(xué)分支(如方程解的存在性等)有著廣泛的運(yùn)用．

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[14] SCHLüCHTERMANN G, WHEELER R F. On strongly WCG Banach spaces [J]. Mathematische Zeitschrift, 1988, 199:387-398.

Fixed-point property of strongly super weakly compact generated Banach spaces

ZHANG Jichao*1, ZHANG Wen2

( 1.School of Science, Hubei University of Technology, Wuhan 430068, China； 2.School of Mathematical Sciences, Xiamen University, Xiamen 361005, China )

The fixed-point property of Banach space is studied and a new proof method is given. Firstly, the ultraproduct method is used to prove that the uniformlyG-differentiable norms are equivalent under convex sets and its ultraproduct. Then, by means of counter-proof, it is proven that convex sets have the fixed-point property for nonexpansive mappings under the uniformlyG-differentiable norm sense. Finally, it is shown that every strongly super weakly compact generated Banach space can be renormed so that every weakly compact convex set has super fixed-point property.

super weakly compact set; fixed-point property; Banach space

1000-8608(2017)01-0100-05

2016-07-10；

2016-12-16．

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471270)；福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015J01022)；廈門大學(xué)校長(zhǎng)基金資助項(xiàng)目(20720160010).

張吉超*(1982-)，男，博士生，E-mail:156880717@qq.com；張 文(1977-)，男，副教授，E-mail:wenzhang@xmu.edu.cn.

O177.2

A

10.7511/dllgxb201701014