基于Lp范數(shù)廣義變分正則化圖像濾波*

王益艷

(四川文理學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院 達(dá)州 635000)

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基于Lp范數(shù)廣義變分正則化圖像濾波*

王益艷

(四川文理學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院 達(dá)州 635000)

傳統(tǒng)變分PDE方法,如基于L2范數(shù)調(diào)和模型,全變分TV模型和廣義TV模型等。在濾除噪聲的同時(shí),不能有效地保留邊緣等細(xì)節(jié)。針對(duì)該不足,提出了一種基于Lp范數(shù)(1≤p≤2)的廣義變分濾波模型,采用差曲率作為自適應(yīng)的調(diào)整參數(shù),實(shí)現(xiàn)了圖像的各向異性處理。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該算法比傳統(tǒng)變分PDE能更有效地檢測(cè)邊緣與平坦區(qū)的孤立噪聲點(diǎn),能有效地克服階梯效應(yīng)并保留局部細(xì)節(jié)信息,在主觀視覺效果和客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)兩方面都更具明顯優(yōu)勢(shì)。

圖像濾波; 差曲率; 各向異性;Lp范數(shù)

Class Number TP391

1 引言

圖像在獲取和傳輸?shù)冗^程中,會(huì)受到各種因素的影響,比如大氣狀況、成像設(shè)備與物體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)等[1],從而引起圖像失真,導(dǎo)致圖像質(zhì)量退化。因此,在對(duì)圖像進(jìn)行后續(xù)處理(如邊緣檢測(cè)、分割、識(shí)別等)[2]之前,必須先進(jìn)行濾波預(yù)處理。傳統(tǒng)的濾波方法包括均值濾波、高斯濾波等,但這兩種方法雖然能在一定程度上能去噪聲,但也容易導(dǎo)致圖像細(xì)節(jié)模糊?；谧兎諴DE的方法是目前圖像處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn),已被廣泛應(yīng)用于圖像濾波、修復(fù)、分割、超分辨率重建等各領(lǐng)域[3]。從擴(kuò)散的角度分析,基于L2范數(shù)的調(diào)和模型本質(zhì)是各向同性的[4],與傳統(tǒng)高斯濾波器的濾波效果基本等價(jià)[5]。全變分模型[6～7]只沿著邊緣方向擴(kuò)散,滿足各向異性,能在去噪的同時(shí)較好地保護(hù)邊緣細(xì)節(jié),但該模型在平坦區(qū)域存在“階梯”效應(yīng)[8]。后來,Song等[9]提出一種基于Lp范數(shù)(1≤p≤2)的廣義TV去噪復(fù)原模型,該模型可看成是前面兩種模型的一種折中形式,其濾波效果容易受常數(shù)p的影響。針對(duì)該不足,文獻(xiàn)[10]采用梯度作為邊緣檢測(cè)算子計(jì)算p參數(shù),對(duì)傳統(tǒng)方法進(jìn)行改進(jìn)。該方法根據(jù)圖像的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征,可自適應(yīng)選取p參數(shù)的值,在一定程度上提高了圖像濾波效果。但由于其采用梯度作為圖像的邊緣檢測(cè)算子,而梯度對(duì)噪聲不具有魯棒性[11]。因此,其復(fù)原效果還有進(jìn)一步提升的空間?；诖?提出了一種基于Lp范數(shù)(1≤p≤2)的廣義變分濾波模型,采用差曲率作為自適應(yīng)的調(diào)整參數(shù),實(shí)現(xiàn)了圖像的各向異性處理。該算法能有效地檢測(cè)邊緣與平坦區(qū)的孤立噪聲點(diǎn),進(jìn)一步克服階梯效應(yīng)并更好保留局部細(xì)節(jié)信息,仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該方法比傳統(tǒng)變分PDE在主觀視覺效果和客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)兩方面都更具明顯優(yōu)勢(shì)。

2 本文方法

文獻(xiàn)[12]提出的邊緣檢測(cè)算子是基于梯度|▽u|的,它不能有效地識(shí)別邊緣和灰度漸變區(qū)及去除平坦區(qū)內(nèi)的強(qiáng)噪聲,基于此,本文采用基于差曲率的檢測(cè)算子,其定義如下

S=||uηη|-|uξξ||

(1)

其中uηη和uξξ分別表示u在η和ξ方向上的二階導(dǎo)數(shù),表達(dá)式如下

(2)

(3)

而η為圖像的梯度方向,ξ為與η垂直的切線方向,分別表示為

(4)

差曲率算子的具體性能[13]如表1所示。

表1 差曲率算子性能

引入S算子后,新的自適應(yīng)變分模型如下

(5)

其中,上式第1項(xiàng)為正則項(xiàng),第2項(xiàng)為數(shù)據(jù)保真項(xiàng),λ為拉格朗日乘子。p函數(shù)的值域應(yīng)該滿足:在圖像平坦區(qū)域,自適應(yīng)選取去噪效果較好的L2范數(shù),則p函數(shù)的值應(yīng)趨于2;在圖像的邊界、紋理處,自適應(yīng)選取較好保留局部細(xì)節(jié)的L1范數(shù),p函數(shù)的值應(yīng)趨于1。因此,根據(jù)表1中S算子在平坦區(qū)域和邊緣區(qū)的取值大小關(guān)系,p函數(shù)應(yīng)當(dāng)為一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù),本文選取如下表達(dá)式:

(6)

其中,Gσ表示對(duì)圖像進(jìn)行高斯平滑。

該模型的歐拉-拉格朗日方程為

-▽(|▽u|p(S)-2▽u)+λ(u-u0)=0

(7)

引入時(shí)間步長(zhǎng),其對(duì)應(yīng)的梯度下降流為

(8)

將式(8)在二維局部坐標(biāo)(η,ξ)下展開為

+λ(u0-u)

(9)

引入新的變量,將式(9)改寫為

(10)

其中,

(11)

上式中α和β分別為切線方向梯度方向的擴(kuò)散系數(shù)。在圖像邊緣處,S值較大,p(S)趨于1,此時(shí)β趨于0,圖像僅沿切線方向擴(kuò)散,擴(kuò)散項(xiàng)趨于TV模型,可較好地保持邊緣;在圖像平坦區(qū)及灰度漸變區(qū),S值較小,p(S)趨于2,此時(shí)α≈β,圖像具有各向同等擴(kuò)散性能,擴(kuò)散項(xiàng)趨于調(diào)和模型可消除階梯效應(yīng)。

與傳統(tǒng)復(fù)原模型相比,該模型切線方向的擴(kuò)散系數(shù)總是為正,因此能更好地識(shí)別平坦區(qū)和灰度漸變區(qū)。同時(shí),此方法從圖像結(jié)構(gòu)來說是局部自適應(yīng)的,克服了整幅圖像都采用同一擴(kuò)散模型的缺點(diǎn)。

采用半點(diǎn)格式的中心差分[14]來離散化式(10)中的PDE,其迭代形式可表示為

(12)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為論證本文方法的濾波效果,采用均方根誤差(RMSE)和峰值信噪比(PSNR)進(jìn)行量化評(píng)價(jià)。其表達(dá)式分別為

(13)

(14)

式中,g表示大小為C×L的原始圖像,f表示濾波后的圖像。RMSE值越小,PSNR值越大,圖像濾波效果越好。

實(shí)驗(yàn)一:分別以彗星圖像和liftingbody圖像為測(cè)試對(duì)象,對(duì)原始圖像分別加入σ=10和σ=15的噪聲。將L2范數(shù)模型[4]、TV模型[7]、Song模型[9]、Zhang模型[12]和本文方法進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn),濾波圖像的主觀視覺效果如圖1和圖2所示,各種模型下峰值信噪比(PSNR)和均方根誤差(RMSE)如表2所示。

圖1 各種模型的彗星圖像濾波效果比較(σ=10)

圖2 各種模型的liftingbody 圖像濾波效果比較(σ=15)

測(cè)試對(duì)象彗星圖像(σ=10)liftingbody圖像(σ=15)RMSEPSNRRMSEPSNRL2范數(shù)模型10．097328．04719．956828．1684TV模型6．085332．70517．297530．8678Song模型4．883934．93774．757734．5829Zhang模型5．039734．18644．986634．1747本文方法4．512235．35854．438535．1859

通過上述實(shí)驗(yàn)可知,L2范數(shù)模型[4]濾波后圖像存在一定的模糊,TV模型[7]濾波后圖像在平坦區(qū)出現(xiàn)了“階梯”效應(yīng),而Song[9]、張紅英[12]提出的改進(jìn)模型雖然比傳統(tǒng)模型的濾波效果有所提高,但本文方法無論是主觀視覺效果,還是客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)都是最佳。

4 結(jié)語

針對(duì)傳統(tǒng)變分PDE模型存在的不足,提出了一種基于Lp范數(shù)(1≤p≤2)的廣義變分濾波模型,采用差曲率作為自適應(yīng)的調(diào)整參數(shù),實(shí)現(xiàn)了圖像的各向異性處理。該算法能有效的檢測(cè)邊緣與平坦區(qū)的孤立噪聲點(diǎn),進(jìn)一步克服階梯效應(yīng)并更好保留局部細(xì)節(jié)信息,實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明,該方法比傳統(tǒng)變分PDE在主觀視覺效果和客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)兩方面都更具明顯優(yōu)勢(shì)。關(guān)于模型參數(shù)的選取及該模型在彩色圖像恢復(fù)中的應(yīng)用將是今后研究的重點(diǎn)。

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Image Restoration Based on LpNorm Generalized Variational Regularization

WANG Yiyan

(School of Physics and Mechanical & Electronic Engineering, Sichuan University of Arts and Science, Dazhou 635000)

The traditional variational PDE methods, such as harmonic model based onL2norm, total variation(TV) model and the generalized TV model have shortcoming that can not effectively retain edge details during filtering noise. In this paper, a generalized variational filtering method is proposed based onLpnorm model, the differential of curvature is adopted as the adaptive adjustment parameters to realize image anisotropy processing. Simulation results show that the algorithm can effectively detect isolated noise point edge with the flat area, and overcome the staircase effect and preserve the local details. Meanwhile, the proposed method have more obvious advantages both subjective visual effect and objective evaluation than the traditional variational PDE methods.

image filtering, differential curvature, anisotropy,Lpnorm

2016年7月16日,

2016年8月23日

四川省教育廳自然科學(xué)一般項(xiàng)目(編號(hào):16ZB0355);達(dá)州市科技計(jì)劃應(yīng)用基礎(chǔ)研究項(xiàng)目(編號(hào):KJJ2015001)資助。

王益艷,男,碩士,講師,研究方向:圖像處理與模式識(shí)別。

TP391

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.01.029