數(shù)學(xué)建模在電子電器爬電距離和電氣間隙測(cè)量中的應(yīng)用

姚 磊，陳燦坤，許來(lái)春，周映虹，蔣 虹

（1.威凱檢測(cè)技術(shù)有限公司，廣州 510663； 2.廣東工業(yè)大學(xué)，廣州 510006）

引言

隨著科技和生活的發(fā)展，人們對(duì)電氣類(lèi)產(chǎn)品的便攜性要求越來(lái)越高，小型、輕便、易攜帶的產(chǎn)品越來(lái)越受歡迎，但是產(chǎn)品體積越小，爬電距離和電氣間隙會(huì)成為電氣產(chǎn)品安全事故的主要誘因，也更值得引起我們的關(guān)注。在全國(guó)各類(lèi)產(chǎn)品抽查和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估活動(dòng)中，爬電距離和電氣間隙都是高風(fēng)險(xiǎn)和常出現(xiàn)的不合格項(xiàng)目。因此眾多電子電氣類(lèi)產(chǎn)品檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)中均有專(zhuān)門(mén)針對(duì)爬電距離和電氣間隙的考核要求，在國(guó)內(nèi)、外比對(duì)活動(dòng)中，我們經(jīng)常能夠碰到揉進(jìn)去各種考點(diǎn)后對(duì)指定部位確定最短爬電路徑和電氣間隙。

另外爬電距離和電氣間隙的測(cè)量不僅僅是對(duì)高工作電壓部位的要求，同樣對(duì)于低壓電路甚至是安全特低電壓供電的產(chǎn)品，同樣也應(yīng)該設(shè)置足夠的爬電距離和電氣間隙，很多人會(huì)認(rèn)為Ⅲ類(lèi)器具內(nèi)部都是安全特低電壓，直接觸摸都沒(méi)有危險(xiǎn)，即便不能設(shè)置足夠的爬電距離和電氣間隙也不會(huì)出現(xiàn)大的危險(xiǎn)。比如2016年三星手機(jī)發(fā)生了多起著火事件（圖1），據(jù)公開(kāi)的Galaxy Note7 安全事故原因的調(diào)查結(jié)果，三星以及參與調(diào)查的幾家第三方機(jī)構(gòu)認(rèn)為，Galaxy Note7 的“爆炸”并不是手機(jī)本身的設(shè)計(jì)問(wèn)題，而是手機(jī)電池的設(shè)計(jì)和制造過(guò)程存在缺陷。較早出現(xiàn)安全問(wèn)題的Galaxy Note7，主要采用的是來(lái)自SDI的電池（圖2）。

圖2可以清晰的看到，在外部引起電池電極變形后，導(dǎo)致了電池電極之間的爬電距離和電氣間隙減小到安全限值以下，引起電池短路，從而導(dǎo)致了著火事件的發(fā)生，給人身構(gòu)成很大的安全威脅,企業(yè)也因此遭受巨大的經(jīng)濟(jì)損失。

因此在產(chǎn)品設(shè)計(jì)、研發(fā)、小試、中試、定型、上市前合格評(píng)定和上市后市場(chǎng)監(jiān)督各階段，爬電距離和電氣間隙都是重點(diǎn)要考慮的問(wèn)題。而確定“最短的”爬電距離和電氣間隙路徑是問(wèn)題的關(guān)鍵，下文就從測(cè)量的角度給出了一種建立三維模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)模型計(jì)算爬電距離和電氣間隙的方法。

1 實(shí)際樣品如何建立三維模型

1.1 爬電距離和電氣間隙影響因素

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的定義，電氣間隙是兩個(gè)導(dǎo)電部件之間，或一個(gè)導(dǎo)電部件與器具的易觸及表面之間的空間最短距離；爬電距離是兩個(gè)導(dǎo)電部件之間，或一個(gè)導(dǎo)電部件與器具的易觸及表面之間沿絕緣表面測(cè)量的最短路徑。

圖1 手機(jī)著火事故案例

測(cè)量需要考慮如下影響因素：

1）海拔高度：空氣可以作為一種輔助的絕緣，一般電氣設(shè)計(jì)基本能夠滿(mǎn)足2 000 m海拔高度的正常運(yùn)行，當(dāng)海拔繼續(xù)增高，空氣變得稀薄，空氣絕緣的能力會(huì)降低；另外空氣密度降低后，依靠空氣作為散熱介質(zhì)的器具會(huì)發(fā)生溫升比正常海拔高，這樣會(huì)加速絕緣材料的老化，降低材料的絕緣性能，所以對(duì)于高海拔使用的器具要設(shè)計(jì)足夠的爬電距離和電氣間隙。

2）材料類(lèi)型：在諸多影響因素中，絕緣材料的種類(lèi)是對(duì)爬電距離影響很大的一個(gè)因素。對(duì)于絕緣材料，利用“相比漏電起痕指數(shù)（CTI）進(jìn)行分組”，當(dāng)絕緣表面沉積一定量的污染物時(shí)，帶電部件之間的漏電流的閃爍釋放的能量使絕緣表面損傷，這種損傷逐漸積累下會(huì)在絕緣面形成導(dǎo)電通道，需要我們對(duì)絕緣材料組別進(jìn)行考慮。

3）污染等級(jí)：爬電距離和電氣間隙的設(shè)置需要考慮絕緣部位的微觀環(huán)境以及器具的宏觀環(huán)境，污染等級(jí)按照嚴(yán)酷程度分為1、2、3、4級(jí)污染等級(jí)，過(guò)小的電氣間隙可由固體微粒、灰塵和水完全跨接，因此當(dāng)污染可能會(huì)在微觀環(huán)境出現(xiàn)時(shí)，要規(guī)定最小的電氣間隙。

圖2 SDI電池異常和正常的電池負(fù)極對(duì)比圖

4）工作電壓和過(guò)電壓類(lèi)別：確定被測(cè)部位間的工作電壓，并且需要根據(jù)工作電壓確定額定脈沖電壓的影響，在直接由低壓電網(wǎng)供電的電氣設(shè)備分成了四個(gè)過(guò)電壓類(lèi)別：過(guò)電壓類(lèi)別Ⅳ、Ⅲ、Ⅱ、Ⅰ，根絕過(guò)電壓類(lèi)別考核最小電氣間隙是否足夠。

5）跨接：跨接因素也是考慮污染物沉積的影響，尤其在小尺寸的“間隙”和一定角度下的“槽”，因?yàn)槿菀桌鄯e導(dǎo)電灰塵，導(dǎo)致沿污染物表面形成爬電路徑，因此需要重點(diǎn)考慮這些部位。

6）通過(guò)中介物：除了上述影響因素外，我們?cè)谶M(jìn)行實(shí)際測(cè)量時(shí)，也要考慮此兩點(diǎn)中間的導(dǎo)電部件，很多時(shí)候中間的一個(gè)或多個(gè)導(dǎo)電部件會(huì)作為爬電路徑，間接的降低了待測(cè)部位的爬電距離和電氣間隙。

1.2 對(duì)于跨過(guò)圓弧面的爬電距離的一點(diǎn)思考

在IEC 60664-1 Insulation Coordination for Equipment within Low-voltage Systems-Part 1: Principles,requirements and tests標(biāo)準(zhǔn)中，用了11個(gè)圖例描述了一些需要跨接的案例，并且在IECEE/CB SCHEME/CTL DECISION國(guó)際電工委員會(huì)CB體系CB實(shí)驗(yàn)室決議0717、590號(hào)文件中，分別對(duì)于跨接情況進(jìn)行了延伸解釋和規(guī)定了80 °角跨接的要求，但是對(duì)于圓弧表面是否需要跨接，并沒(méi)有做出明確的規(guī)定。

筆者認(rèn)為，在水平放置的PCB板上，小圓孔（直徑小于標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的X值）可以“看作”是沒(méi)有底的間隙“gap”，不是槽“groove”；而大圓孔視為槽groove，而不是間隙gap，因?yàn)镮EC 60664-1，IECEE/CB/CTL/DSH0590, 0717 要求是凹槽“recess”才考慮可能的跨接。

因此對(duì)于圖3中的情況，小圓孔直徑小于X值，則視小孔為一個(gè)間隙，最短爬電距離直接由A到B,小圓孔直接跨接。對(duì)于大圓孔（直徑大于或等于標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的X值），爬電路徑需要沿著圓弧表面進(jìn)行，而不進(jìn)行X值的跨接（圖4）。

如圖4所示，在BCD圓弧上，由B和D分別向C做輔助線，夾角θ大于90 °，所以這里不符合“小于80 °”跨接條件，因此此段爬電路徑是沿著B(niǎo)CD圓弧。如果圓的直徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于X值的時(shí)候，X的跨接長(zhǎng)度放到圓弧上只是很小的一段，此時(shí)，無(wú)限大的圓弧的這一小段無(wú)限接近于直線了，這也印證了為何大孔上的圓弧爬電距離不跨接。

1.3 運(yùn)用AutoCAD建立三維模型輔助分析

筆者參加了2017年IECEE/CB SCHEME/PTP國(guó)際電工委員會(huì)CB體系能力驗(yàn)證提供者IFM組織的17e11-Creepage and Clearance項(xiàng)目，本次比對(duì)樣品尺寸非常小，用一元的硬幣對(duì)比可以很直觀的反應(yīng)樣品尺寸（圖5，白色框圖內(nèi)為樣品測(cè)試區(qū)域），這種小尺寸電路板更接近實(shí)際高集成、多層PCB電路板的結(jié)構(gòu)。測(cè)量爬電距離和電氣間隙有如下難點(diǎn)：

圖3 直徑小于標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的X值（直接跨接）

圖4 直徑大于等于標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的X值（不跨接）

圖5 比對(duì)樣品正反面圖

1）用傳統(tǒng)的測(cè)量方法如游標(biāo)卡尺、千分尺不能測(cè)到爬電路徑上的值，并且在如此小的尺寸下準(zhǔn)確度不能保證；

2）另外對(duì)于圓弧上的爬電距離，用傳統(tǒng)的測(cè)量工具不能直接測(cè)量；

3）確定爬電路徑需要考慮正、反面帶電部件的相對(duì)位置；

4）導(dǎo)電部位之間的爬電距離路徑有多種可能。

筆者采用三維制圖工具AutoCAD來(lái)生成樣品的三維模型并輔助計(jì)算。具體過(guò)程如下：

先選擇樣品的一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)作為坐標(biāo)的原點(diǎn)，對(duì)于樣品上的關(guān)鍵位置點(diǎn)一一測(cè)量坐標(biāo)值，按照測(cè)量坐標(biāo)在AutoCAD中畫(huà)出樣品等尺寸的三維模型（圖6），值得注意的是，在進(jìn)行背面關(guān)鍵位置坐標(biāo)測(cè)試的時(shí)候需要選擇同一個(gè)原點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，這樣可以減少因坐標(biāo)原點(diǎn)不同帶來(lái)兩面圖形有相對(duì)便宜的情況出現(xiàn)。

測(cè)量足夠的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，建立三維模型，為后續(xù)的計(jì)算奠定基礎(chǔ)。比如利用AutoCAD強(qiáng)大的透視圖功能，可以很清晰的看到上、下兩面導(dǎo)電部位的相對(duì)位置（圖7），方便確定爬電路徑，另外利用AutoCAD中的尺寸標(biāo)注功能，能夠快捷地測(cè)量到空間中的尺寸或者角度信息，大大的節(jié)約了計(jì)算過(guò)程中數(shù)據(jù)的獲取時(shí)間。

在進(jìn)行完樣品等尺寸三維建模后，我們也對(duì)AutoCAD圖形中的尺寸和樣品實(shí)際尺寸進(jìn)行了對(duì)比，事實(shí)證明，二者偏差非常的小，證明我們后續(xù)基于三維模型中抓取的數(shù)據(jù)真實(shí)有效。

筆者認(rèn)為這個(gè)圖形和實(shí)體尺寸的驗(yàn)證環(huán)節(jié)非常重要，因?yàn)楹罄m(xù)計(jì)算中用的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)均需要從圖形中抓取，數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性直接決定了后面計(jì)算工作是否有意義！

2 數(shù)學(xué)建模在圓弧面計(jì)算爬電距離的應(yīng)用

上述討論明確了圓弧上是否需要跨接以及何時(shí)跨接的問(wèn)題，并運(yùn)用AutoCAD進(jìn)行了樣品的實(shí)際尺寸三維建模，接下來(lái)我們就舉例說(shuō)明跨過(guò)圓弧的爬電距離和電氣間隙的計(jì)算方法。

2.1 對(duì)于一個(gè)未知數(shù)的數(shù)學(xué)建模和計(jì)算

根據(jù)三維模型，舉例計(jì)算導(dǎo)電部件T2到背面圓弧上B1點(diǎn)的爬電距離，如圖8。

已知θ在0-17 °范圍內(nèi)變化（在三維模型上直接測(cè)量所得），CB=1.116 mm，BB1=1.378板厚度，α角實(shí)測(cè)38 °，∠ABC =α+θ/2，圓直徑D=4.52 mm。建立計(jì)算T2到B1點(diǎn)的爬電距離L數(shù)學(xué)模型。

其中AB1為沿著圓弧表面的曲線長(zhǎng)度，S為AB弧長(zhǎng)，把圓展開(kāi)平面如圖9：

根據(jù)三角形余弦定理：

圖6 樣品等尺寸三維模型

圖7 樣品透視圖（正反兩面的相對(duì)位置）

其中：

T2到B1爬電距離L ：

已知θ在0-17 °范圍變化，函數(shù)L可以對(duì)θ求導(dǎo)，求極值，過(guò)程較復(fù)雜。

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可以1 °為步長(zhǎng)，對(duì)上述公式窮舉出所有取值下L的值，并畫(huà)出曲線如圖9，圖中可以看到在θ=12 °的時(shí)候，T2到背面圓弧上B1點(diǎn)爬電距離最小值為2.299 7 mm。

同理，電氣間隙的求取類(lèi)似于上述處理方法，只是把AB1作為A和B1點(diǎn)之間的空間直線來(lái)計(jì)算即可得到，此處不再贅述。

2.2 對(duì)于兩個(gè)未知數(shù)的數(shù)學(xué)建模和計(jì)算

上個(gè)例子B1點(diǎn)是在圓弧上的一個(gè)點(diǎn)，所以在數(shù)學(xué)建模的時(shí)候只有θ一個(gè)未知數(shù)，在求解分析的時(shí)候相對(duì)較簡(jiǎn)單，下面再舉例介紹以下圓周以外的點(diǎn)如何用數(shù)學(xué)模型計(jì)算爬電距離和電氣間隙。

已知正面T7到背面T9的爬電路徑為A-B-C1-D1，B和C1點(diǎn)是在∠EOF之間的圓周上的任一點(diǎn)，且∠EOF=32.094 °，α是BO與AO之間的夾角，β是C1O1與D1O1之間的夾角，（α+β）≤∠EOF，BB1=1.378 mm（PCB板厚度），圓半徑R=2.26 mm。根據(jù)以上在三維模型中測(cè)得的參數(shù)，建立計(jì)算A到D1點(diǎn)的爬電距離數(shù)學(xué)模型L。

其中BC1為沿著圓弧表面的曲線長(zhǎng)度把圓展開(kāi)平面如圖12。

樣品正面A到圓上B的距離，由余弦定理得：

圖8 導(dǎo)電部件T2到背面圓弧上B1點(diǎn)的爬電路徑模型

圖9 圓展開(kāi)到一個(gè)平面求取沿圓弧面曲線AB1

圖10 爬電距離L的變化曲線

樣品背面D1到圓上C1的距離，由余弦定理得：

在圓壁上弧的長(zhǎng)度BC：

所以可得：

通過(guò)數(shù)學(xué)模型的建立，可知爬電距離L是由α和β兩個(gè)角度變量決定的，對(duì)于一個(gè)方程式兩個(gè)未知數(shù)，從數(shù)學(xué)的角度不好求解最小值。

利用(α+β)≤32.094 °這個(gè)約束條件來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，筆者用VBA編程運(yùn)算，思路是讓?duì)梁挺陆欠謩e在0到32.09 °范圍內(nèi)，以0.01 °的步長(zhǎng)變化，比如當(dāng)：

α=0 °，β為0.01, 0.02,……32.09 °；

α=0.01 °，β為0.01, 0.02,……32.08 °；

以此類(lèi)推。計(jì)算出T7到T9爬電距離的最小值，Lmin= 2.779 6 mm，此時(shí)對(duì)應(yīng)的α= 5.45 °，β= 6.68 °。繪制的爬電距離云圖如圖13所示。

同理，電氣間隙把BC1換成空間直線距離帶入上述公式即可求得。

2.3 計(jì)算步長(zhǎng)的選擇

上述兩個(gè)例子，T2到T10用了1 °的步長(zhǎng)，T7到T9用了0.1 °的步長(zhǎng)，關(guān)于步長(zhǎng)的選擇，肯定是越小，計(jì)算的值越接近真實(shí)的最小值，但是過(guò)小的步長(zhǎng)會(huì)增加計(jì)算工作量。以T2到T10為例來(lái)驗(yàn)證1 °步長(zhǎng)和0.1 °步長(zhǎng)的差異（表1），對(duì)比發(fā)現(xiàn)最短爬電距離到小數(shù)點(diǎn)后第四位才發(fā)生變化，二者數(shù)據(jù)相差只有0.000 2 mm，基本可以忽略，所以筆者選用1 °的步長(zhǎng)計(jì)算數(shù)據(jù)是可以接受的。

圖11 正面T7到背面T9的爬電路徑模型

圖12 圓展開(kāi)到一個(gè)平面求取沿圓弧面曲線BC1

圖13 α和β兩個(gè)變量的爬電距離云圖

表1 采用計(jì)算步長(zhǎng)1 °和0.1 °求得的最短爬電距離

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)參加本次IFM爬電距離和電氣間隙的比對(duì)，筆者提出對(duì)于尺寸較小的樣品通過(guò)AutoCAD軟件對(duì)樣品進(jìn)行三維建模，對(duì)被測(cè)樣品進(jìn)行路徑分析，對(duì)路徑搭建數(shù)學(xué)模型，并在文中通過(guò)實(shí)例計(jì)算了穿過(guò)圓孔的爬電距離數(shù)學(xué)模型。在求解數(shù)學(xué)模型時(shí)，運(yùn)用MATLAB或者VBA編程運(yùn)算等軟件可以得到相對(duì)準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。我們?cè)趨⑴c國(guó)內(nèi)外比對(duì)或者實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，可以參考這種建模的思維方式，幫助我們準(zhǔn)確快速的得到最小爬電距離和電氣間隙值。

[1] 陳偉升. 家用電器安全國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)理解與案例分析:基于IEC 60335-1第5.1版[M]. 中國(guó)質(zhì)檢出版社, 2016.

[2] 劉京玲. Note7拖累三星[J]. 中國(guó)消費(fèi)者, 2016(11):30-30.

[3] 汪奕帆,陳燦坤 三星公開(kāi)NOTE7爆炸原因——從家電標(biāo)準(zhǔn)角度檢討Ⅲ類(lèi)器具安全.世界認(rèn)證地圖.2017.

[4] IEC.IEC 60664-1 2nd Edition Insulation Coordination for Equipment within Low-voltage Systems–Part 1:Principles,requirements and tests, April 1, 2007

[5] WG2-WG4.DSH 0717 Creepage and clearance determin ation,groove,recess,corner,bridging of distance X,Decision approved at the 2009 CTL Plenary Meeting

[6] DSH 590 Rule for creepage across grooves and similar surface discontinuities,Decision approved by the CTL during its 43rd meeting in Johannesburg.