求直線供水邊界抽水試驗水文地質(zhì)參數(shù)的解析法

滕 凱

(齊齊哈爾市水務局，黑龍江 齊齊哈爾 161006)

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求直線供水邊界抽水試驗水文地質(zhì)參數(shù)的解析法

滕 凱

(齊齊哈爾市水務局，黑龍江 齊齊哈爾 161006)

直線供水邊界條件下非穩(wěn)定流抽水試驗求解水文地質(zhì)參數(shù)的超越方程涉及3個(在已知供水邊界方向，未知位置的條件下)或4個(在供水邊界方向和位置均未知的條件下)未知數(shù)，常規(guī)的解析法無法直接求解。現(xiàn)有的特定標準曲線比對法、圖解拐點法、簡化算法、非線性最小二乘法及二元線性回歸法要么依賴圖表、計算過程繁復，要么應用范圍受限、計算結(jié)果誤差較大，不便實際工程應用。采用優(yōu)化擬合方法，在工程適用參數(shù)范圍內(nèi)，用較為簡單的函數(shù)實現(xiàn)了對泰斯非穩(wěn)定流井函數(shù)的替代，并利用水位降深比值關系式，經(jīng)整理獲得了可直接完成參數(shù)求解的簡化解析式，計算過程簡捷，便于實際工程應用。

直線供水邊界；水位降深比值；水文地質(zhì)參數(shù)；優(yōu)化擬合；解析計算

1 研究背景

在開展地下水資源評價、制定地下水開采方案、實施地下水防污染計劃的工作中，經(jīng)常遇到具有比較穩(wěn)定的類似于直線補給邊界情況下的水資源評價問題。如以地下水作為水源的供水工程，為了在開采中獲得較好的補給水源，在工程選位設計時盡量將其布置在距河流較近的位置。因此，在直線供水邊界條件下利用抽水試驗資料獲取水文地質(zhì)參數(shù)一直受到廣大水文地質(zhì)工作者的重視及關注。由于在該種井流計算公式中涉及多個泰斯函數(shù)迭加，且待求參數(shù)均隱含其中，無法通過常規(guī)的數(shù)學方法完成求解。因此，研究在直線供水邊界條件下水文地質(zhì)參數(shù)的求解方法具有重要意義。

利用直線供水邊界抽水試驗資料求解水文地質(zhì)參數(shù)主要涉及已知供水邊界方向及位置、已知供水邊界方向且未知位置，以及供水邊界方向和位置均未知3種情況。由于第1種情況求參方法比較簡單，而第3種情況僅需再增加1個觀測孔，采用與第2種情況相同的方法即可完成相關參數(shù)求解[1]。因此，現(xiàn)有的研究工作均集中在第2種情況。截至目前，針對第2種情況提出的求解方法主要有特定標準曲線比對法[1-2]、圖解拐點法[3]、簡化算法[4]、非線性最小二乘法[5]及二元線性回歸法[6]。由于特定標準曲線比對法靠人工手動擬合，實際工作不但受特制專門圖表的束縛，而且求解成果因曲線族的密度及比對過程人為因素的影響，其精度難免存在誤差[7-8]；圖解拐點法不但要求具有較長的抽水時間以滿足該方法的使用條件，而且要求在供水邊界產(chǎn)生影響時刻的前及后s-lnt曲線能夠出現(xiàn)2段可以相交的直線段，以便人工讀取相應的特征點數(shù)據(jù)。顯然，參數(shù)計算結(jié)果同樣受相關曲線繪制及數(shù)據(jù)讀取精度的直接影響，難免出現(xiàn)誤差；簡化算法要求在無量綱時間值(或井函數(shù)自變量)u=0.438 3附近具有若干個水位降深觀測數(shù)據(jù)，同時由人工在專門繪制的曲線上讀取峰值，顯然這種方法在實際應用中也存在一定的局限性；非線性最小二乘法在應用時往往因待求參數(shù)迭代初值選取的不合理出現(xiàn)算法不收斂或計算結(jié)果不唯一的現(xiàn)象；二元線性回歸法不但適用范圍受限(回歸計算時需剔除試驗初期觀測數(shù)據(jù)，以滿足u值限定要求)、誤差較大(文中對于抽水實井，取泰斯井函數(shù)展開式的前3項，當u=0.35時，近似值為0.822 6，與真值0.794 2的相對誤差為3.6%；對于虛擬注水井，取泰斯井函數(shù)展開式的前4項，當u=0.65時，近似值為0.398 0，與真值0.411 5的相對誤差為3.3%)，且因涉及試驗數(shù)據(jù)與簡化變形后的經(jīng)驗公式擬合，對試驗數(shù)據(jù)異常值非常敏感[9]，同時存在公式變形(回歸系數(shù)與待求水文地質(zhì)參數(shù)的非線性轉(zhuǎn)換)后的變換誤差[10]，最終參數(shù)求解尚需通過反復迭代完成，計算過程比較繁復。因此，提出一種更加簡單適用的求解直線供水邊界條件下(已知方向未知位置或方向及位置均未知)水文地質(zhì)參數(shù)的計算方法十分必要。

本文采用優(yōu)化擬合方法，對直線供水邊界條件下井流公式中隱含待求參數(shù)的泰斯井函數(shù)進行了擬合替代，并根據(jù)降深比值關系，通過整理推導獲得了求解相關水文地質(zhì)參數(shù)的一元二次方程，由該方程可非常簡捷地完成參數(shù)求解，計算過程簡單直接，便于實際工程應用。

圖1 直線供水邊界條件下井孔布置示意

2 公式的建立

2.1 基本計算公式

由地下水動力學可知，直線供水邊界含水層中任一點的降深，可通過在無限延伸含水層情況下抽水實井抽水和虛擬映射注水井注水分別在該點產(chǎn)生降深的疊加獲得(如圖1所示)。

據(jù)此，可獲得其井流函數(shù)為

(1)

其中α=T/S。

(2)

根據(jù)抽水試驗觀測資料可完成實測水位降深與時間的關系曲線，即為s-t曲線。在修正后的s-t曲線上分別選取A,B,C3個點(選點要求見下文)，即為(tA，sA),(tB，sB)和(tC，sC)，將其分別代入式(1)可得：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中sAB，sBC分別為與抽水歷時tA，tB和tB，tC相對應的降深比值。

式(6)、式(7)即為利用降深比值法獲得的直線供水邊界條件下水文地質(zhì)參數(shù)α及觀測孔到映射井間的距離r′的求解方程，可采用復形搜索法[8]通過逐次逼近完成求解。α及r′求出后，可用式(8)求得T值，即

(8)

2.2 簡化解析公式

2.2.1 參數(shù)的適用范圍

由文獻[11]可知，壓力傳導系數(shù)α的值域范圍為104～107m2/d，在實際工程中，一般α>5×104m2/d。而對于直線供水邊界條件下的抽水試驗，為了獲得較好的試驗結(jié)果，保證供水邊界對觀測孔的降深產(chǎn)生明顯影響，布孔的位置關系一般為15m

2.2.2 泰斯公式的擬合

為避免利用隱函數(shù)式(6)、式(7)求解2個待求參數(shù)造成的計算過程繁瑣，現(xiàn)對式(6)、式(7)中的泰斯井函數(shù)進行以下擬合替代。

泰斯井函數(shù)為一收斂級數(shù)，其表達式為

(9)

在工程適用參數(shù)范圍內(nèi)，即1×10-7≤ui≤0.6，假設W′(ui)可替代W(ui)，且滿足將W′(ui)代入式(6)、式(7)后可通過簡單的數(shù)學方法直接完成待求參數(shù)的求解，實現(xiàn)直線供水邊界抽水試驗情況下水文地質(zhì)參數(shù)的簡化解析法求解。

根據(jù)對泰斯井函數(shù)標準曲線的線型分析，采用優(yōu)化擬合方法，以標準剩余差最小為目標函數(shù)，經(jīng)對多個類似線型備選函數(shù)的擬合比選，求得泰斯井函數(shù)的最優(yōu)擬合替代式為

(10)

式中：A=-1.334；B=21.391；C=-45.907；D=25.976。

表1 式(10)替代式(9)精度比較

在1×10-7≤ui≤0.6范圍內(nèi)，利用[W′(ui)-W(ui)]/W(ui)×100%即可完成式(10)替代式(9)的相對誤差計算，見表1。由表1可見，式(10)的最大替代相對誤差絕對值為3.95%，且發(fā)生在ui的值域端點，其他各點的相對誤差均<3.0%，其中相對誤差<2.0%的點占全部計算點的83%?？梢?，式(10)具有較好的替代精度，可以滿足實際工程的計算精度要求。

2.2.3 簡化解析式的建立

將式(10)替代式(9)并分別代入式(6)、式(7)，經(jīng)進一步整理可得：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

由式(11)、式(12)可分別解得：

(18)

(19)

聯(lián)立式(18)、式(19)，并設x,y,z為中間變量，則有

(20)

經(jīng)進一步整理可得

(21)

由式(21)解得

(22)

求出x后，即可由式(20)解得

(23)

進而求得

r′=z6.25r 。

(24)

(25)

求出α后即可由式(8)求得T值，并由式(2)求得

(26)

3 算例及結(jié)果驗證

選文獻[6]作為實例：在一直線供水邊界方向明確的含水層中進行抽水試驗，試驗井的抽水流量為Q=4.543m3/min，在距抽水主井距離為r=30.48m處有一觀測孔。表2中給出了觀測孔在不同時刻的水位降深觀測值，試完成含水層參數(shù)及觀測孔至虛擬井距離的計算。

表2 觀測孔水位降深資料

利用該實例資料采用本文方法完成相關水文參數(shù)計算，并與現(xiàn)有計算方法所求得的結(jié)果進行比較，以驗證本文方法計算精度的可靠性。

圖2 s-t關系曲線

根據(jù)表2繪制s-t關系曲線(見圖2)，并考慮滿足0.15 d

根據(jù)文獻[5]介紹，國外學者采用其他方法也完成了本例計算，各計算結(jié)果見表3。由表3可見，本文方法與其他計算方法所求結(jié)果非常接近，最大相對誤差<2.4%。證明本文的解析計算法具有較好的精度及適用性。

表3 不同方法計算結(jié)果比較

4 結(jié) 語

本文針對直線供水邊界抽水試驗求解水文地質(zhì)參數(shù)存在的問題，通過對井流函數(shù)中泰斯公式的擬合替代，基于降深比值關系，獲得了可直接完成水文地質(zhì)參數(shù)及觀測孔到虛擬井距離的簡化解析計算式。實例計算及分析表明，本文方法較好地解決了目前現(xiàn)有計算方法存在的問題，不但計算過程直觀簡捷，而且具有較高的求解精度，便于實際工程推廣應用。

為了更有效地提高計算成果精度，考慮個別水位降深觀測成果可能存在的誤差，在利用本文方法計算前，可根據(jù)s-t的觀測成果完成s-t曲線繪制，并通過s-t曲線修正相關水位降深值s。

本文計算方法的參數(shù)適用范圍為1×10-7≤ui≤0.6，依據(jù)文中對其他相關參數(shù)在實際工程中的值域分析可知，只要在s-t曲線上選擇的計算點(tA，sA)，(tB，sB)和(tC，sC)中的最小抽水歷時>0.15 d，本文計算方法即可滿足實際工程的求解精度要求。

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(編輯：趙衛(wèi)兵)

Analytical Method for Obtaining Hydrogeological Parameters ThroughPumping Test with Straight Recharge Boundary

TENG Kai

(Qiqihar Municipal Water Affairs Bureau, Qiqihar 161006, China)

Under the condition of non-steady flow, the obtaining of hydrogeological parameters through pumping test with straight recharge boundary involves the transcendental equation of 3 (boundary direction known, position unknown) or 4 (both boundary direction and position unknown) unknowns, which could not be solved by conventional analytical methods. The existing methods, including method of specific standard curve comparison, method of inflection point, simplified algorithm, nonlinear least square method and binary linear regression method, are inconvenient for practical engineering as they are dependent on graph with complicated calculation process, limited application range and big calculation error. In this article, optimization fitting method was employed to adapt to the engineering parameter range, and the substitution of simple function for the Theis well function of non-steady flow was carried out. Furthermore, a simplified analytic expression for the parameters was obtained by summarizing the drawdown ratio formulas. The calculation process is simple and convenient for practical use.

straight-line recharge boundary; water level drawdown ratio; hydrogeological parameters; optimization fitting; analytic calculation

2015-10-21;

2016-01-25

齊齊哈爾市科技攻關項目(NYGG201301)

滕 凱(1957-)，男，黑龍江齊齊哈爾人，高級工程師，主要從事水利防災減災及工程優(yōu)化設計研究, (電話)13704618836(電子信箱)tengkai007@163.com。

10.11988/ckyyb.20150884

2017,34(1):19-23

P641.2

A

1001-5485(2017)01-0019-05