基于攝動理論的泥沙群體沉降公式研究

倪志輝，牟明艷，吳立春，趙 健,鐘 亮

(1.重慶交通大學 a.水利水運工程教育部重點實驗室;b.國家內河航道整治工程技術研究中心；c.西南水運工程科學研究所,重慶 400016；2.重慶第二師范學院,重慶 400067)

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基于攝動理論的泥沙群體沉降公式研究

倪志輝1a,1b,1c，牟明艷1a,1b，吳立春2，趙 健1c,鐘 亮1a

(1.重慶交通大學 a.水利水運工程教育部重點實驗室;b.國家內河航道整治工程技術研究中心；c.西南水運工程科學研究所,重慶 400016；2.重慶第二師范學院,重慶 400067)

國內外許多學者對單個顆粒泥沙沉降公式進行了大量的實驗研究和分析，鑒于單個顆粒的沉速與群體沉降可以相差10倍，目前泥沙群體沉降公式大多為經驗表達式，因此，深入研究群體顆粒泥沙沉降公式有重要的意義?？紤]到在群體泥沙沉降中粗細顆粒粒徑大小對泥沙沉降公式的影響，基于攝動理論和最小二乘法，在泥沙群體沉降一般模式的基礎上，提出一種新的泥沙群體沉降計算模式。通過對現場實測資料和水槽試驗數據進行計算擬合，并與其它經典公式相比較，發(fā)現所推導的公式要優(yōu)于后者。研究結果表明：針對群體泥沙沉降中粗細顆粒粒徑大小，考慮其顆粒間的相互影響，按群體泥沙顆粒粒徑大小范圍分別考慮，是一種群體泥沙沉降計算比較有效的途徑。

泥沙群體沉降；沉降公式；攝動理論；最小二乘法；粗細顆粒；單粒沉速

1 研究背景

泥沙沉降是泥沙運動動力學的基本問題之一，一直以來學者對于這部分研究較多[1-6]。多沙河流的渾水泥沙顆粒沉降特性比清水與低含沙的更復雜，其中尤以群體沉降更待細致研究。群體顆粒沉降特性研究的重要意義體現在，單個顆粒的沉速與群體沉降可以相差10倍。多年前就有人說泥沙運動嚴格地講只有一個半理論[2]。因而需進一步分析泥沙群體沉降規(guī)律，使其在實際應用中不致有太大的誤差。泥沙群體沉速公式多為經驗表達式，其對沉速與各物理量間的關系以及群體沉降運動的阻力規(guī)律表達不明確，這正是該問題研究的不足之處[7-8]。所有沉降現象的研究目標都是建立準確的沉速表達式，在此過程中沉降運動阻力系數表達式的建立成為解決問題的瓶頸。

2 同類公式的對比與討論

現有的泥沙群體沉速公式大致可分為2種類型。一種是以決定群體沉速的各主要影響因子為變量，直接給出群體沉速的數學表達式；另一種較為多見的是以群體沉速與泥沙單顆沉速的相對比為量值，建立其與主要影響因子的關系，從而得到群體沉速表達式。由于沉降運動阻力系數的表達式未能很好地解決，因此所能見到的泥沙群體沉速公式絕大多數是以ω/ω0這一相對值的形式出現，且基本上以經驗公式為主[9]。其中最為廣泛采用的群體沉降無量綱公式為ω=ω0(1-βSv)m，是針對渾液紊團的群體沉降提出的無量綱公式[10]。

許多研究成果[1-5]均表明，對于生產實際中的非均勻沙群體沉降問題，可通過對泥沙顆粒級配的分級，先通過試驗測試特定顆粒所形成的渾水體的黏滯系數，進而利用其確定相關物理量。重度相同的顆粒沉速研究結果表明，顆粒的大小決定了其沉降時的繞流流態(tài)，使得粗細顆粒的沉降遵循不同的規(guī)律。

前人提出群體泥沙沉降的公式大致有以下幾種。

(1) Batchelor[11]認為球體在低含沙水體中沉降時，顆粒間及顆粒與周圍水體相互影響，其沉速與在清水中沉速的差異，是平均值不為0的隨機變量。他從統(tǒng)計理論出發(fā)，最后推導出低含沙量情況下群體沉速的理論公式，即

(1)

式中：ω及ω0分別是固體顆粒在渾水中的群體沉速及在清水中的單顆粒沉速；Sv是體積比含沙量。

式(1)中當Sv≤0.05時，計算結果與試驗值基本符合；當Sv較大則偏差大。這大大影響了公式的適用范圍。

(2) Richardson和Zaki[12]采用量綱分析與試驗結果，建立群體沉速公式[12]，即

(2)

式中：指數m與沙粒雷諾數(Red=ω0d/ν)有關；d為沙粒粒徑；ν為黏滯系數。夏震寰和汪崗[13]對細沙取m=7時,上式與試驗資料符合較好。

(3) 張紅武等[3]在沙玉清公式[6]基礎上，考慮到沉降過程中一部分清水將依附沙粒同時下沉，結合試驗結果，經推導得出群體沉速公式[2]，即

(3)

(4) 張耀哲[14]總結了前人的研究后得出Re=ρ1ωd/(6μSv)和Cd=(ρ2-ρ1)(1-Sv)3gd/(6ρ1Sv)，以及其推導出的公式為

(4)

(5) 有人認為細的單顆粒泥沙在清水中下沉時有(γs-γ)πd3/6=3πdμ0ω0，μ0為清水黏度；γs為干重度。當為渾水時，上式仍成立，不過應以μm代替μ0，γs代替γ，ωs/(1-Sv)代替ω0。渾水黏度采用日本森氏公式μm/μ0=1+3Sv/(1-Sv/0.52)，代入式(4)可得群體沉速公式[8]，即

(5)

群體沉降公式在理論上要盡量合理，盡可能地有嚴格的兩相流體力學的依據，量綱上要和諧，同時計算結果要與實測資料基本符合，才可用于實際計算。

3 研究方法

3.1 攝動理論介紹

攝動理論是在求解帶小參數的非線性方程的基礎上逐漸發(fā)展起來的。它不同于常用的迭代法，因為建立在攝動理論基礎上的漸近法主要是求解預先展開為小參數的級數，因此將原來的問題轉化為逐步求解展開式的各項系數，從而逐步的逼近真值，這樣做比求解原來的方程要容易些，一般情況下都能解出。

采用攝動理論進行求解時，首先要對方程無量綱化，提出小參數，即攝動變量。攝動法將解表現為漸進級數，攝動解是對基本解階數越來越高的逐步微量修正。

主要步驟就是對影響因子p進行無量綱化，引進小參數ε，然后對影響因子p進行攝動，可得

p=p0+εp1+ε2p2+… 。

由于漸進級數的漸進性，往往取少數幾項精度就相當高，有時甚至能達到精確解。目前通常都取攝動解式的一階或者二階。

3.2 公式推導

從影響沉降的因素來看，阻力系數公式是難以直觀表達出來的，因而我們著重考慮在泥沙粒徑上探尋方法。在自然河流中泥沙沉降時顆粒粒徑是并不相同的，存在粗細顆粒雜陳的模式，因而試著考慮用顆粒粒徑來確定公式的使用范圍。本文擬用此種方式來間接地表達出顆粒對阻力的影響。在現有研究的群體沉降公式中，最為廣泛采用的2個無量綱式是ω=ω0(1-Sv)n和ω=ω0(1-βSv)m，ω=ω0(1-Sv)n是Richardson和Zaki[12]針對單顆粒沙提出的無量綱式，而ω=ω0(1-βSv)m是針對渾液紊團的群體沉降提出的無量綱式，兩式針對的對象并不相同，放在一起是為了同時兼顧在自然狀況下顆粒粒徑不同的情況。引入攝動理論可將沉降表達成如下的無量綱式

(6)

根據國內外的研究成果可以發(fā)現，其實很多由天然河道得出的經驗或者半經驗公式的基本表達式就是這樣。本文主要研究的方面是天然河道中非均勻沙層流的情況。

對初始沉速ω0與(1-Sv)n的對比關系采用攝動理論，可得

(7)

式中ε1為攝動變量。

對初始沉速ω0與(1-βSv)m的對比關系采用攝動理論，可得

(8)

式中ε2為攝動變量。

將兩式相加可得

(9)

為了表示更為直觀，現用k1代替ε1，用k2代替ε2，用k3代替ω1+ω2，整理上式可得

(10)

3.3 物理量的確定

根據前人的經驗成果，并考慮公式的適用性，可按粗砂與細砂的差別來針對指數范圍作初步的分析。

粗砂與細砂的判別標準即0.2 mm以下為細砂，0.2～2 mm為粗砂，2 mm以上為礫石。根據前人研究對粗細顆粒的分別判斷，現為指數確定了大致范圍。當d≤0.2 mm時，62 mm時，n<2.25，m<3。本文作者認為泥沙形狀近似球體，故β值取1.77。

由式(10)可知，此公式的未知數為3個(k1，k2和k3)，但在一般情況下，實測數據不一定是3層。因此，本文考慮采用最小二乘法(文獻[15]和文獻[16]也應用了該方法)進行求解，具體步驟如下：

表1 前人現場實測成果資料

注：V為河道平均流速；H為河道平均水深；S*為河道平均含沙量。

(1) 建立目標函數，即

(11)

式中Svi和ωi分別表示第i層的含沙量和沉速。

(2) 當目標函數取極小值時滿足:

式中l(wèi)代表擬合的點數。通過矩陣求解，即可解出k1，k2和k3的值。

基于最小二乘法原理對國內外隨機的1 136場實測資料(見表1)進行線性回歸分析，因涉及指數分析，在此采用了Origin對實測資料進行線性回歸分析，并根據不同的粒徑采用了不同的分析公式。由此，推導的沉降方程為：

(12)

式中：ω為平均沉速(mm/s);ω0為初始沉速(mm/s)。

式(12)即是本文推導的群體泥沙沉降公式。

4 數據驗證與比較

4.1 天然實測資料驗證

天然河道包括美國的奈厄布拉勒河、阿查法拉亞河、里奧格蘭德河、密蘇里河、薩克拉門托河、肘河以及哥倫比亞的河流等[21-24]。奈厄布拉勒河發(fā)源于懷俄明州拉斯克附近，東流在內布拉斯加州奈厄布拉勒村注入密蘇里河，全長720 km，流域面積達31 080 km2[17]; 阿查法拉亞河是美國紅河和密西西比河支流，源于路易斯安那州中部，全長360 km[18]; 密蘇里河是美國主要河流之一密西西比河最長的支流,發(fā)源于蒙大拿州黃石公園附近的落基山脈東坡，流至密蘇里州圣路易斯以北匯入密西西比河，全長4 300多公里[19]; 薩克拉門托河是美國加利福尼亞州最長的河流，該河發(fā)源于卡斯克德山脈的沙斯特山附近，全長614.8 km[20]；里奧格蘭德河長約合3 033 km，從科羅拉多州西南部流入墨西哥灣，流經得克薩斯州和墨西哥邊境的大部分地方[20]。

由于實測資料大多沒有初始沉速ω0，故根據相對應的中值粒徑d50采用斯托克斯公式以及沙玉清公式推導得出初始沉速公式為

(13)

為驗證推導公式的可靠性，本文也將采用剩余的1 000場天然實測數據資料進行公式的驗證。各公式驗證結果如圖1所示。

圖1 本文推導公式現場實測資料驗證及與各家公式比較

根據圖1中的驗證結果可知：相比于錢寧公式、張紅武公式以及張耀哲公式，推導公式和錢寧公式

的擬合度均高。結合各個公式的理論依據，我們不難發(fā)現，擬合度高的萬兆惠公式引入的是渾水度，而推導公式則是將粗細顆粒的差別表達出來，由此可得出，在各個公式中，對粗細顆粒引起清水改變量是比較關鍵的因素。

4.2 水槽試驗成果驗證

為了完整驗證本公式的可靠度，本文將采用Meyer-Peter和Muller的水槽試驗，其試驗根據泥沙粒徑的不同，分別做了3組試驗[4]。當粒徑在0.52～5.2 mm時，對應的水槽寬度為0.353 9 m；當粒徑為3.3 mm時，水槽對應的寬度為0.499 9 m；當粒徑在0.38～28.65 mm時，對應的水槽寬度為1.999 8 m；Einstein水槽試驗，其水槽的水槽寬度為0.266 7 m，相對應的泥沙粒徑范圍為0.11～0.91 mm[4]；Einstein-Chien[25]水槽試驗的水槽寬度為0.304 8 m，對應的泥沙粒徑范圍為0.095～0.385 mm；Brooks[26]水槽試驗的水槽寬度為0.266 7 m，其試驗的泥沙粒徑為0.088～0.145 mm；Song等[27]水槽試驗的水槽寬度為0.599 8 m，泥沙的粒徑為12.3 mm以及王兆印等[28]水槽試驗的水槽寬度為0.5 m，對應的泥沙粒徑為0.18～13 mm。對水槽試驗的成果進行進一步的驗證分析，其數據統(tǒng)計范圍見表2。

試驗成果的驗證如圖2所示。

表2 試驗成果水力因素的范圍

圖2 本文推導公式水槽試驗數據驗證及與各家公式比較

4.3 誤差對比分析

基于現場實測資料和水槽試驗數據，對以上驗證結果進行誤差分析，見表3。

表3 各公式的誤差分析

注：E10%為誤差小于10%的散點所占的比率；E20%為誤差小于20%的散點所占的比率。

從表3中不難看出，無論是實測資料驗證還是水槽試驗數據驗證，本文推導公式能反映泥沙群體沉降運動的一般規(guī)律。該公式由于考慮了粗細顆粒的粒徑分段，能更好地符合驗證資料。

將本文推導沉速公式應用在不同的河流，得到公式在每條河流的擬合系數，見表4。從表4可知，推導公式的相關系數最高可達0.931，且對各條河流的相關性較高于其它公式。由于本文推導公式和張紅武公式均對粗細顆粒進行了粒徑大小的考慮，從而得到相關系數比未考慮粒徑的其它公式要高，這就說明考慮粗細顆粒粒徑，可以提高泥沙沉速公式的合理性。本文推導公式由于對泥沙粗細顆粒的粒徑進行了分段處理，因此進一步使得沉降公式計算更符合實際。

表4 4各公式相對應的河流R2值

5 結 論

本文考慮到在群體泥沙沉降中粗細顆粒粒徑大小對泥沙沉降公式的不同影響，基于攝動理論和最小二乘法，在泥沙群體沉降一般模式的基礎上，采用無量綱式因次分析的方法，提出一種新的泥沙群體沉降計算模式。通過對現場實測資料和水槽試驗數據進行計算擬合，得出如下結論：

(1) 本文推導沉速公式應用在不同的河流，較錢寧公式、張紅武公式和張耀哲公式更接近實測資料，精度更高。

(2) 針對群體泥沙沉降中粗細顆粒粒徑大小各異，考慮其顆粒間的相互影響，按群體泥沙顆粒粒徑大小范圍分別考慮，使計算的結果更為合理。

(3) 本文是基于攝動理論和最小二乘法等應用數學方法在泥沙群體沉降公式中的應用探討，推導公式中一些參數缺乏明顯的物理意義。因此，需要作進一步深入的研究，以便于在工程實際中能更準確地應用。

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(編輯：趙衛(wèi)兵)

To Determine the Formula of Sediment Group SettlementBased on Perturbation Theory

NI Zhi-hui1，2，3, MOU Ming-yan1，2, WU Li-chun4,ZHAO Jian3,ZHONG Liang1

(1.Key Laboratory of Hydraulic and Waterway Engineering of the Ministry of Education, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400016, China; 2.National Engineering Research Center for Inland Waterway Regulation, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400016, China; 3.Southwestern Research Institute of Water Transportation Engineering, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400016, China;4.Chongqing University of Education, Chongqing 400067, China)

Many scholars in China and abroad have carried out a lot of experimental researches and analysis on the formula of single particle sedimentation. In view of the 10 times difference between single particle sedimentation rate and group settlement, current formulas of sediment settlement are mostly empirical expression. In this paper, based on the perturbation theory and the least square method, a new calculation model for the settlement of sediment group is proposed. The influence of coarse and fine particle sizes are considered. Through calculations and fittings of field measured data and flume experiment data, and compared with other classical formulas, the present model is found to be superior to classical formulas. Results show that taking the sizes of coarse and fine particles into account is an effective way to calculate sediment deposition.

sediment group settlement; formula of sediment settlement; perturbation theory; lease square method; coarse and fine particles; single particle velocity

2015-10-10;

2015-12-02

國家自然科學基金項目(51509026)；國家重大水資源高效開發(fā)利用專項計劃(2016YFC0402104)；重慶市基礎與前沿研究計劃資助項目(cstc2016jcyjA0380)；省部共建水利水運工程教育部重點實驗室暨國家內河航道整治工程技術研究中心開放基金(SLK2016B03)；內河航道整治技術交通行業(yè)重點實驗室開放基金(NHHD-201514)

倪志輝(1980-)，男，湖南衡陽人，副研究員,博士，主要從事河流海岸水動力學、環(huán)境及數值模擬方面的研究，(電話)13983642791(電子信箱)benny251@163.com 。

10.11988/ckyyb.20150842

2017,34(1):6-11，18

TV142.1

A

1001-5485(2017)01-0006-06