航天器轉(zhuǎn)動慣量和慣性積的集成一體化測試方法

邊志強 唐振剛 栗雙嶺 徐 凱

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航天器轉(zhuǎn)動慣量和慣性積的集成一體化測試方法

邊志強 唐振剛 栗雙嶺 徐 凱

（上海衛(wèi)星工程研究所,上海 201109）

通過測量扭擺臺的扭擺周期測試衛(wèi)星的慣量張量，測試在不同安裝角度下的慣性矩計算轉(zhuǎn)動慣量和慣性積，用矩陣變換原理計算慣性在主軸的大小、方向和縱橫慣量比。分析發(fā)現(xiàn)影響轉(zhuǎn)動慣量測量精度的主要因素是擺動周期測量誤差，以及試驗方法和測量工裝產(chǎn)生的誤差。采用空載擺動周期盡量長（大于1s）、多次測量（6次以上）的平均值并用最小二乘法對數(shù)據(jù)進行處理，以提高轉(zhuǎn)動慣量和慣性積的測量精度。給出了某衛(wèi)星質(zhì)量特性的測試過程，用扭擺法測得其轉(zhuǎn)動慣量、慣性積和縱橫慣量比，測試結(jié)果均滿足指標要求。該法還適于大型彈箭和空間飛行器的轉(zhuǎn)動慣量和慣性積測試。

扭擺法；轉(zhuǎn)動慣量；慣性積；慣性主軸；最小二乘法；縱橫慣量比

1 引言

航天器的轉(zhuǎn)動慣量和慣性積是重要質(zhì)量特性參數(shù)，其參數(shù)測試結(jié)果為航天器姿態(tài)與軌道控制提供設(shè)計輸入，同時驗證航天器結(jié)構(gòu)布局的合理性，形成快速便捷的測試方法，對加快研制進度和周期、提升系統(tǒng)的可靠性和安全性有重要意義[1]。

航天器慣量特性參數(shù)包括繞星體坐標軸的轉(zhuǎn)動慣量I，I，I和慣性積I，I，I等[2]。目前，國內(nèi)外測量轉(zhuǎn)動慣量的常用方法有扭擺法、復擺法和三線擺法等。三種方法原理的共同點：施加外力將被測物體偏離平衡位置并釋放，測量自由擺動周期計算出被測物體的轉(zhuǎn)動慣量。扭擺臺測試法利用氣浮軸承結(jié)構(gòu)，摩擦小，阻尼引起的擺動周期誤差可忽略不計，其測量精度最高可達0.1%，在大型彈箭及航天器的轉(zhuǎn)動慣量測試中應用最廣[3，4]。慣性積測量常采用動平衡機，測試衛(wèi)星剩余動不平衡力偶矩計算慣性積。而動平衡機測試存在一些不足：動平衡測試精度與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速平方成正比，一般主要用于高速轉(zhuǎn)子的測試，由于航天器構(gòu)形和附件的限制，轉(zhuǎn)速不能過高，致使慣性積測試精度不高；動平衡機測試法一般針對剛性體結(jié)構(gòu)，而航天器有許多剛度不同的部件、電纜、推進劑等，類似撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，若按剛性處理則誤差較大[5]；由于一般轉(zhuǎn)動體不存在無自然的轉(zhuǎn)軸，且由于結(jié)構(gòu)和外形的限制，難以通過安裝可旋轉(zhuǎn)夾具形成測量軸。為此，本文對一種靜態(tài)集成的航天器質(zhì)量特性測試方法進行了研究，特點是：通過測試航天器在多個不同安裝位置時的慣量矩計算慣量和慣性積，測試流程簡單，可明顯節(jié)約研制成本；扭擺臺轉(zhuǎn)動速度很低，可忽略空氣阻力影響，測試精度高。本文提出測試方法同樣適于大型彈箭、衛(wèi)星等航天器的轉(zhuǎn)動慣量和慣性積測試。

2 扭擺法測量物體轉(zhuǎn)動慣量原理

1—被測物體 2—托盤 3—軸承 4—機架 5—中心軸線 6—扭桿 7—驅(qū)動與剎車機構(gòu)

被測航天器垂直安裝或借助L型支架等工裝水平安裝于扭擺臺工作臺面上，其測試軸與扭擺臺旋轉(zhuǎn)軸同軸。施加外力使被測物體至某個初始位置，釋放外力后系統(tǒng)作扭擺振動。構(gòu)建單自由度扭擺振動系統(tǒng)，如圖1所示，其運動方程為：

扭擺臺測試設(shè)備確定后，，0為已知量，扭擺臺測試扭擺周期進而可以計算轉(zhuǎn)動慣量。

3 慣量特性測試

3.1 轉(zhuǎn)動慣量和慣性積

圖2 O-xpypzp、O-xyz系與OH幾何關(guān)系

理論力學中，關(guān)于剛體對過同一點任意軸慣量矩的描述如下。設(shè)為過點的任意軸，為表明的方位，在點建立星體坐標系-、慣性主軸坐標系-xyz，設(shè)cos，cos，cos為的方向余弦（如圖2所示，轉(zhuǎn)動軸與被測航天器坐標軸，，的夾角分別為，，）。則由文獻[5]，剛體對的慣量矩可寫為：

式中：為被測航天器的慣量張量，且：

測量6組不同夾角組合狀態(tài)下軸的慣量矩，就可求得轉(zhuǎn)動慣量和慣性積。

3.2 慣性主軸和縱橫慣量比

考慮星體坐標系中慣性矩陣的慣性積不為零，給衛(wèi)星動力學設(shè)計與分析帶來不便，故選擇某個坐標系以使所有的慣性積都為零。這樣，需將一般的慣量矩陣變?yōu)橐粋€對角陣。對一個實的非對稱矩陣，存在可逆矩陣，使對角化成矩陣，即-1=。

以自旋衛(wèi)星為例，自旋軸為軸，在星體坐標系中的慣量張量為I，其特征值λ為主慣量矩，由|s|=0可求得λ（=1，2，3）。因自旋衛(wèi)星的自旋軸為軸，本文假設(shè)慣性積I≈0，I≈0。則：

因此，慣性主軸矩陣為：

式中：

由測試獲得的自旋衛(wèi)星橫向轉(zhuǎn)動慣量I，I和慣性積I，可得橫向最小慣量矩min、橫向最大慣量矩max和縱橫慣量比分別為：

實際上，自旋衛(wèi)星存在各種誤差，真實慣性積不為零，慣性主軸坐標系的坐標軸與星體坐標系也不重合[8]。設(shè)慣性主軸與星體坐標系軸夾角分別為φ、φ、φ，如圖2所示，則：

4 測試誤差分析

用扭擺法測試航天器的轉(zhuǎn)動慣量和慣性積，對測試誤差進行分析：

扭擺臺上扭桿擺動周期測量誤差引起的轉(zhuǎn)動慣量計算誤差e[9]。由式（2）可知：轉(zhuǎn)動慣量測試與測量周期T，0有關(guān)，根據(jù)文獻[10]B類誤差不確定度合成理論，由T，0引起的誤差總不確定度：

轉(zhuǎn)動慣量測量的相對誤差：

因此，取：

不同夾角組合狀態(tài)下軸的慣量矩計算轉(zhuǎn)動慣量和慣性積的誤差。由式（3）可知：只需測量6組不同夾角組合狀態(tài)下軸的慣量矩，就可求得轉(zhuǎn)動慣量和慣性積。但為獲得較精確的結(jié)果，消除試驗方法和測量工裝引起的誤差，本文采用多次（6次以上）測量，并用最小二乘法對數(shù)據(jù)進行處理，最終給出轉(zhuǎn)動慣量和慣性積的結(jié)果。最小二乘法估計是一種無偏估計方法，經(jīng)過多次測量的數(shù)據(jù)處理，其轉(zhuǎn)動慣量和慣性積的估計值的均值與真值相等，且估計的方差誤差陣也隨測量數(shù)據(jù)增加而變小。

5 測試試驗及數(shù)據(jù)處理

以某衛(wèi)星為例，慣量特性指標為：軸向I=(300±5)kg·m2，橫向I，I=(232±5)kg·m2，橫向慣量差|I－I|≤10.0kg·m2，=1.166±0.15。用扭擺法的測試過程如下：

a. 扭擺臺空載時測試平臺安裝面和工裝的轉(zhuǎn)動慣量unload。測量結(jié)果unload=1362.85kg·m2。

b. 根據(jù)自旋衛(wèi)星構(gòu)型特點，先將自旋衛(wèi)星垂直安裝在扭擺臺上測試軸慣量矩（軸），得到縱向轉(zhuǎn)動慣量Im。其中，測量得到的I包括了空載時的轉(zhuǎn)動慣量。測量結(jié)果m=1662.46kg·m2。

c. 利用L形工裝，衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)90°，軸與星體軸夾角=90°（如圖3所示），測試8組不同夾角組合狀態(tài)下軸的慣量矩I（測試數(shù)據(jù)含空載時的轉(zhuǎn)動慣量）。自旋衛(wèi)星橫軸、軸與慣量矩測量軸夾角，為試驗過程中的已知量，且+=90°。

圖3 有L形工裝的轉(zhuǎn)動慣性扭擺測試臺

d. 測試8組不同夾角組合狀態(tài)下軸的慣量矩p均含扭擺平臺和測試工裝的轉(zhuǎn)動慣量，最終結(jié)果需減去該轉(zhuǎn)動慣量，見表1。得衛(wèi)星縱軸軸轉(zhuǎn)動慣量I=(1662.46-1362.85)kg·m2=299.61kg·m2。

表1 不同夾角組合狀態(tài)下OH軸的慣量矩

根據(jù)測試原理可知：=0°時，得到的衛(wèi)星軸慣量矩值（不含工裝）是衛(wèi)星軸的轉(zhuǎn)動慣量，I=230.52kg·m2；=90°時，得到的衛(wèi)星軸慣量矩值（不含工裝）是衛(wèi)星軸的轉(zhuǎn)動慣量，I=235.12kg·m2。

在進行扭擺臺轉(zhuǎn)動慣量測試前，已對整星進行了靜、動配重，使偶不平衡量滿足指標要求，此時將衛(wèi)星軸慣性積近似為零處理，即I≈0，I≈0。軸與星體軸夾角=90°，有：

綜合上述8個方程，有：

用最小二乘法處理，可得：

即自旋衛(wèi)星橫向轉(zhuǎn)動慣量I=230.51kg·m2，I=235.12kg·m2，慣性積I=-1.2815kg·m2，縱向轉(zhuǎn)動慣量I=299.61kg·m2。

由式（6）可知：min=230.187 1kg·m2，max=235.452 8kg·m2，=1.287。由式（7）可知：橫向最小慣性軸與星體坐標系軸夾角φ=-14.56°，橫向最大慣性軸與星體坐標系軸夾角為75.44°，如圖4所示。因衛(wèi)星縱向慣性積很小，近似為零，故將縱向慣性主軸與星體軸（自旋軸）近似作重合處理。

圖4 衛(wèi)星橫軸慣量主軸方向

測試結(jié)果表明：I，I，I，|I－I|，I，min，max，均滿足慣量特性指標要求。

6 結(jié)束語

本文提出了一種基于扭擺法的轉(zhuǎn)動慣量和慣性積集成一體的自旋衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動慣量測試方法。利用扭擺臺測試衛(wèi)星的慣性張量，推導了慣性張量解算轉(zhuǎn)動慣量和慣性積的計算。測試簡單方便，可大幅節(jié)約成本。同時測量過程中，扭擺臺的轉(zhuǎn)速很低，彈箭和航天器處于靜止狀態(tài)，受空氣阻力影響很小，測量精度較高，誤差在0.5%以內(nèi)。

本文的方法只進行旋轉(zhuǎn)體在不同安裝角度下的慣性張量測試，就可解算出旋轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)動慣量、慣性積以及慣性主軸方向。該方法不受旋轉(zhuǎn)體的形狀、體積因素限制，可以在工業(yè)、航天、航空等領(lǐng)域應用，通過適當?shù)墓ぱb改造，可適應大型彈箭、各類飛行器的轉(zhuǎn)動慣量和慣性積測試。

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Research on Integration Testing Method on Rotational Inertia and Product of Inertia for Spacecraft

Bian Zhiqiang Tang Zhengang Li Shuangling Xu Kai

(Shanghai Institute of Satellite Engineering, Shanghai 201109)

The inertia tensor of a satellite is tested by measuring the oscillatory period of torsion pendulum table. The rotational inertia and product of inertia are tested using the measured values of the moment of inertia at different installation angles. Based on the principle of matrix transformation, the size and direction of inertia in principal axis and inertia ratio of vertical to horizontal are calculated. Through analysis, it is found that the main factors affecting the testing accuracy of rotational inertia are the measurement error of oscillatory period and the error caused by testing methods and measuring tooling. In order to improve the testing accuracy, the measures have been taken, including prolonging the oscillatory period as long as possible (longer than 1s), using mean value of multi-testing (more than 6 times) and using the least square method to process testing data. The test procedure of some satellite was given. The testing results of rotational inertia, product of inertia and the inertia ratio of vertical to horizontal were obtained, which all met the index requirements. The method proposed in this paper is also suitable for the test of rotational inertia and product of inertia for large missiles and rockets, as well as three-axis stabilized satellites.

torsion pendulum method；rotational inertia；product of inertia；Inertial principal axis；least square method；inertia ratio

國家自然基金資助（41504034）。

邊志強（1983），高級工程師，控制理論與控制工程專業(yè)；研究方向：衛(wèi)星姿態(tài)控制設(shè)計。

2017-10-28