探究應(yīng)真實(shí)合理 教學(xué)需注重邏輯

安徽省六安皋城中學(xué) (郵編：237000)

探究應(yīng)真實(shí)合理 教學(xué)需注重邏輯

安徽省六安皋城中學(xué)張克玉(郵編：237000)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)指出：“教學(xué)中注重結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過程，是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要途徑”.這就要求我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過程中，能結(jié)合教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)合理有效的探究活動(dòng)，讓學(xué)生在經(jīng)歷知識(shí)的形成過程中,獲得對(duì)知識(shí)深層次理解的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想與方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)是一門邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，但教學(xué)過程如果有悖邏輯性，既違背學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也有損數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.但在平時(shí)的聽課過程以及期刊發(fā)表的教學(xué)案例中，也常能發(fā)現(xiàn)有的探究活動(dòng)因不夠真實(shí)合理而難以實(shí)現(xiàn)其教學(xué)價(jià)值；有的教學(xué)過程因存在邏輯問題而有損數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn).筆者擬從探究的真實(shí)合理性與教學(xué)過程的邏輯性兩方面,對(duì)教學(xué)中存在的有關(guān)問題情況略作列舉，旨在交流與探討.

1 探究活動(dòng)應(yīng)真實(shí)合理

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“創(chuàng)設(shè)情境、設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流；組織學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)、觀察現(xiàn)象、提出猜想、推理論證等，都能有效啟發(fā)學(xué)生的思考，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，逐步學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”.因此，越來越多教師在課堂教學(xué)中注重設(shè)計(jì)探究活動(dòng).但也發(fā)現(xiàn)，有時(shí)因?yàn)槲覀儗?duì)探究活動(dòng)的認(rèn)識(shí)與理解還存在偏差，而使有的探究活動(dòng)還不夠真實(shí)合理，表現(xiàn)在：

1.1 因探究的內(nèi)容與要得到的結(jié)論之間存在的差距較大而不夠真實(shí)合理

案例1在學(xué)習(xí)“勾股定理逆定理”時(shí)，一位教師設(shè)計(jì)如下的一個(gè)教學(xué)片斷：環(huán)節(jié)1以小組為單位，畫出邊長分別是以下各組數(shù)的三角形(單位：厘米)

(1)3，4，5； (2)1.5，2，2.5；

(3)4.5，6，7.5； (4)2.5,6，6.5

環(huán)節(jié)2觀察所畫的三角形，并判斷其形狀.環(huán)節(jié)3小組交流：一個(gè)三角形各邊長滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，這個(gè)三角形才可能是直角三角形？分析本案例中教師的基本設(shè)計(jì)思想是：通過動(dòng)手實(shí)踐，得到圖形是直角三角形，由此進(jìn)行猜想提出命題，進(jìn)而進(jìn)行證明.在作圖誤差不太大的情況下，學(xué)生能夠得到所畫三角形是直角三角形的直觀判斷.但在不預(yù)習(xí)或不憑經(jīng)驗(yàn)(上課伊始，老師給出了課題，因此學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，易想到問題應(yīng)與勾股定理有關(guān))的情況下，更多的學(xué)生會(huì)將其當(dāng)作一般的找規(guī)律類問題，因而很難想到找其中兩個(gè)數(shù)的平方和是否等于第三邊的平方.那么在這個(gè)問題中，學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”在哪？教師該如何引導(dǎo)？顯然也不能簡單地讓學(xué)生“計(jì)算其中兩邊的平方和與第三邊的平方”，否則既存在怎么想到要計(jì)算“兩邊的平方和與第三邊的平方”的問題，又會(huì)因指向過于明確，而使探究失去了應(yīng)有的價(jià)值.因此，這個(gè)探究過程因方案與結(jié)論之間存在的差距較大，學(xué)生很難自主發(fā)現(xiàn)，因而顯得不夠真實(shí)合理.

真實(shí)合理的探究活動(dòng)，要在尊重學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的前提下，在教師適當(dāng)引導(dǎo)的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過探索能實(shí)現(xiàn)探究內(nèi)容與結(jié)論的統(tǒng)一.

1.2 因探究活動(dòng)偏離問題的本質(zhì)而不夠真實(shí)合理

案例2在學(xué)習(xí)“完全平方公式”時(shí)，一位教師設(shè)置一個(gè)對(duì)完全平方公式形成過程的探究：在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你認(rèn)為還有哪些特殊情形？你能得到什么？教者意圖“完全放手讓學(xué)生探究，學(xué)生得出的結(jié)論多種多樣，包括完全平方公式和平方差公式.”[1]分析此處存在探究方向偏離問題本質(zhì)的情況.教者本意或許是通過讓學(xué)生取a=c,b=-d的特殊情形得到平方差公式，取a=c,b=d的特殊情形得到完全平方公式.按此思路將公式中的一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)字母換成具體的數(shù)字甚至0，或者取a=b,c=d，a=-b,c=-d等等算不算特殊情形？如果不算，那么“特殊情形”的標(biāo)準(zhǔn)又是什么？如果算，那么完全平方公式或平方差公式只是許多所謂特殊情形的一種，因而在課堂有限的時(shí)間內(nèi)，學(xué)生未必能得出完全平方公式或平方差公式.

其實(shí)，完全平方公式是多項(xiàng)式乘法中的特殊情況，其特殊性表現(xiàn)在是兩個(gè)相同的二項(xiàng)式相乘.抓住此本質(zhì)就無需在a、b、c、d的具體取值上細(xì)究，可以讓學(xué)生計(jì)算一組如(x+3)·(x+3)的兩個(gè)相同二項(xiàng)式乘法，并通過對(duì)式子與計(jì)算結(jié)果之間關(guān)系的觀察、歸納、猜想得出結(jié)論，最后再給予證明.此過程既進(jìn)一步鞏固了多項(xiàng)式的乘法，也有助于讓學(xué)生在經(jīng)歷知識(shí)的形成過程中，為培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、猜想能力提供機(jī)會(huì).

探究活動(dòng)常以對(duì)問題的思考而展開，但所提問題若偏離問題本質(zhì)而過于寬泛，易使學(xué)生失去思考與探究方向，并陷入盲目探究的境地，既干擾了對(duì)問題本質(zhì)的思考與認(rèn)識(shí)，也易偏離教師預(yù)設(shè)的目標(biāo).

真實(shí)合理的探究活動(dòng)，要充分考慮學(xué)生認(rèn)知水平與思維特點(diǎn)，并合理把握問題本質(zhì)，從而使探究方案可行與合理.

1.3 因探究的指向性過于明確而不夠真實(shí)合理

案例3一位老師在學(xué)習(xí)“一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系”之前的“新課預(yù)習(xí)作業(yè)”中，布置了一道作業(yè)題：把方程(x-m)(x-n)=0化為一元二次方程的一般形式是：__________，這個(gè)方程的根是：x1=______，x2=______，那么x1+x2=______，x1·x2=______；觀察x1+x2，x1·x2的值并與其一般形式的系數(shù)進(jìn)行比較，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)，通過讓學(xué)生求3個(gè)具體的一元二次方程兩根x1、x2，并計(jì)算x1+x2，x1·x2的值，讓學(xué)生思考：這三個(gè)一元二次方程兩根的和、兩根的積與對(duì)應(yīng)方程的系數(shù)各有什么關(guān)系[2]？分析這里也存在著“為何不求兩根差、兩根商或者兩根之間的其他運(yùn)算關(guān)系”的疑問.這個(gè)探究活動(dòng)，因指向過于明確而顯得不夠真實(shí)合理.又如，在學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)——“等邊對(duì)等角”時(shí)，常能看到許多教師采用的方案差不多是“讓學(xué)生畫一個(gè)等腰三角形ABC，把邊AB疊合到邊AC上，并出現(xiàn)折痕AD，問：△ADB與△ADC有什么關(guān)系？圖中出現(xiàn)哪些相等的角？”.在此探究過程中，學(xué)生由“圖中有哪些相等的角”得到“∠B=∠C”，由“出現(xiàn)折痕AD”得到結(jié)論的證明方法，從而從結(jié)論的發(fā)現(xiàn)到結(jié)論的證明其實(shí)都是教師變相“告訴”的，在此活動(dòng)過程中，學(xué)生的思維并沒有深層次地參與，因而此探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)也不夠合理.

真實(shí)合理的探究活動(dòng)，其方案的選擇應(yīng)由學(xué)生根據(jù)自己的認(rèn)知水平、思維能力和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)而產(chǎn)生；結(jié)論應(yīng)是學(xué)生在所選方案實(shí)施的基礎(chǔ)上生成.指向過于明確的活動(dòng)不是探究活動(dòng)而應(yīng)是驗(yàn)證活動(dòng)，因而這樣的探究活動(dòng)應(yīng)是不真實(shí)的也是不合理的.

2 教學(xué)過程需注重邏輯

注重教學(xué)邏輯性的原因無需多言，但在平時(shí)的教學(xué)過程中常發(fā)現(xiàn)存在有悖邏輯的情況，表現(xiàn)在：

2.1 教學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容與所得到的結(jié)論存在邏輯問題

案例4在“三角形邊的關(guān)系”一節(jié)中，一位老師設(shè)置了一個(gè)探究活動(dòng)：先讓同桌的兩名學(xué)生合作準(zhǔn)備5根小木棒，長度分別為3cm、4cm、5cm、6cm和9cm，任意取出3根小棒首尾相接搭三角形，看能搭成幾個(gè)三角形？并讓一位學(xué)生交流自己的嘗試結(jié)果，請(qǐng)1～2位同學(xué)補(bǔ)充.再讓學(xué)生根據(jù)上述情形，說出構(gòu)成三角形的三邊必須滿足的條件.最后通過“兩點(diǎn)之間，線段最短”給出解釋，最后得出三角形任意兩邊之和大于第三邊的結(jié)論[1].分析學(xué)生由搭成三角形的小棒長度應(yīng)該滿足的條件，得出的數(shù)學(xué)命題應(yīng)該是“三條線段如果其中任意兩條線段之和大于第三條，那么這三條線段能組成三角形”，其與“三角形任意兩邊之和大于第三邊”之間當(dāng)屬于原命題與逆命題的關(guān)系.因此，筆者認(rèn)為此教學(xué)過程存在著邏輯錯(cuò)誤問題.如果想讓學(xué)生通過探究活動(dòng)得到“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這個(gè)結(jié)論，應(yīng)該先有三角形，再測量各邊長或許更合適些.這雖然也存在著學(xué)生由若干三角形的各邊長度，能否想到要計(jì)算其中任意兩邊之和，并與第三邊比較的問題，但至少不會(huì)存在邏輯問題.

2.2 教學(xué)中得到的結(jié)論與應(yīng)用存在邏輯問題

案例5在學(xué)習(xí)“線段垂直平分線(第1課時(shí))”，在得出“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等”后，教師便讓學(xué)生做練習(xí)“公路l同側(cè)的A、B兩村，共同出資在公路邊修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品倉庫C，使倉庫C到A、B兩村的距離相等.你如何確定倉庫C的位置”.分析“使倉庫到A、B兩村的距離相等”的作圖依據(jù)應(yīng)是“到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這兩點(diǎn)所連線段的垂直平分線上”，其與“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等”當(dāng)屬原命題與逆命題的關(guān)系.得出的是性質(zhì)定理，運(yùn)用的卻是其逆命題(判定定理)，雖然其逆命題是真命題，但卻存在著邏輯問題.因此，在教學(xué)過程中需要教師理清二者之間的邏輯關(guān)系.

2.3 內(nèi)容的呈現(xiàn)順序上也常存在邏輯問題

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》)指出：數(shù)學(xué)的產(chǎn)生離不開生產(chǎn)和生活的需要.數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.因此，許多老師在新課引入部分，都努力創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際生產(chǎn)生活之間的關(guān)系，并激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.但并非每節(jié)課都能創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，因而在平時(shí)的聽課中，也就發(fā)現(xiàn)有老師采用“上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么，今天我們來學(xué)習(xí)什么”這種開門見山式的引入方式，但這里也存在邏輯問題.因?yàn)樯瞎?jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容雖然可能是學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容的條件，但并不是學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容的理由.換句話說，學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容之前可能需要學(xué)習(xí)上節(jié)課內(nèi)容，但學(xué)習(xí)上節(jié)課內(nèi)容后，可以學(xué)習(xí)別的內(nèi)容而不學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容.呈現(xiàn)順序方面存在的邏輯問題，也常見諸于一些課例點(diǎn)評(píng)活動(dòng)中.例如在一次以“正比例函數(shù)的圖象(北師大版八年級(jí)上冊(cè))”為教學(xué)內(nèi)容的公開課點(diǎn)評(píng)環(huán)節(jié)，有專家提出：“教師應(yīng)該通過‘全等’、‘相似’、‘三角函數(shù)’等方法說明正比例函數(shù)的圖象是一條直線，而不能通過幾個(gè)具體一次函數(shù)圖象是直線，就下‘一次函數(shù)圖象是直線’的結(jié)論”.其實(shí)，每個(gè)版本的教材，其內(nèi)容呈現(xiàn)都存不同的順序.在北師大版教材中“全等”、“相似”、“三角函數(shù)”均是在“正比例函數(shù)的圖象”內(nèi)容之后.要求執(zhí)教者在課堂上用后學(xué)內(nèi)容去解釋之前的問題，顯然難以讓執(zhí)教者信服.因此作這樣的點(diǎn)評(píng)之前，還需要點(diǎn)評(píng)者先了解這個(gè)版本教材的編排體系，從而使點(diǎn)評(píng)內(nèi)容更符合實(shí)際情況.

邏輯關(guān)系也是一種因果關(guān)系，如果“因”與“果”不一致，易出現(xiàn)邏輯問題.關(guān)注教學(xué)的邏輯性，需要我們深刻理解教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，理清相關(guān)問題之間的邏輯關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)“因”與“果”的統(tǒng)一.

課堂教學(xué)因探究而呈現(xiàn)精彩，因邏輯而體現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn).但探究活動(dòng)要真實(shí)合理，否則會(huì)導(dǎo)致探究的低效甚至無效；教學(xué)過程要注重邏輯，否則不利于理清相關(guān)內(nèi)容的層次關(guān)系，更有損于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

1 趙緒昌.數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注“六性”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2015(3)：4-9

2 馬釗.一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，中旬，2013(7-8)：42-44

2017-03-07)