淺析歸納法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

朱德躍

摘 要：歸納推理是一種思維意識(shí)很強(qiáng)的方法。不僅僅是在數(shù)學(xué)方面，甚至在法律、醫(yī)學(xué)、哲學(xué)中，歸納推理都有著不可忽視的應(yīng)用方面。人人都離不開歸納，每個(gè)人時(shí)時(shí)刻刻都在無形地用著歸納。在無形中我們就運(yùn)用了歸納的方法。本文筆者對(duì)歸納法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行分析探討，并闡述了歸納法在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的深遠(yuǎn)意義。

關(guān)鍵詞：歸納法;應(yīng)用;意義

一、歸納推理的概念

所謂歸納推理，就是根據(jù)某一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，然后推出這類事物中的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)，這就叫做歸納推理。歸納推理的分類見下表：

二、歸納法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

（一）完全歸納法

1.窮舉歸納法：對(duì)某類事物中的對(duì)象都進(jìn)行逐個(gè)研究，概括出這些對(duì)象都具有（或者不具有）某種屬性的結(jié)論 。

例1 一個(gè)密封的盒子中有兩只紅色球，一只白色球，試問依次從中抽取兩個(gè)球的話，有哪幾種可能？

解：對(duì)兩只紅色球標(biāo)號(hào)紅1、紅2，則有以下幾種可能：1.依次抽到紅1、紅2;2.依次抽到紅1、白球;3.依次抽到紅2、紅1;4.依次抽到紅2、白球;5.依次抽到白球、紅1;6.依次抽到白球、紅2。這些便是所有可能的出現(xiàn)的情況。需要強(qiáng)調(diào)的是，只有當(dāng)研究的對(duì)象數(shù)目有限且相對(duì)較少時(shí)才能使用窮舉歸納法，因?yàn)楫?dāng)研究的對(duì)象數(shù)目無限多時(shí)，不能一一列出，但是我們通常要研究的事物一般都包含有無數(shù)多個(gè)對(duì)象，所以窮舉歸納法有很大的局限性。

2.類分法：所考察的某一類事物包含無窮多個(gè)對(duì)象時(shí)，把它們劃分成幾個(gè)子項(xiàng)（子類）進(jìn)行逐一研究，然后得出這類事物都具有（或者不具有）某種屬性的結(jié)論 。

例2 試討論方程組ax?+bx+c=0的解的情況。

解：當(dāng)a=0，b=0時(shí)，方程組沒有解;

當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，方程組為bx+c=0，方程組有一個(gè)解x=-c/b;當(dāng)a≠0，b=0時(shí)，方程組為ax?+c=0，x?=-c/a;當(dāng)ac<0時(shí)，方程組有解x=± ，當(dāng)ac>0時(shí)，方程組沒有解;當(dāng)a≠0，b≠0時(shí)，方程組為ax?+bx+c=0，當(dāng)△=b?-4ac>0時(shí)，方程組有解x=，當(dāng)△=b?-4ac<0時(shí)，方程組在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解。

在我們學(xué)習(xí)過的函數(shù)中，分段函數(shù)就用到了類分法。例如，狄里克雷函數(shù)

。

使用類分法需要注意的是：1.對(duì)某一個(gè)問題進(jìn)行類分時(shí)，要使用同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn); 2.對(duì)所有情況都要分析到，不能遺漏掉某種情況; 3.任意兩個(gè)分類之間都是相互排斥的，沒有交集。

（二）不完全歸納法

1.枚舉歸納法：根據(jù)一類事物的幾個(gè)特殊對(duì)象都具有（或者不具有）某種屬性而作出這一類事物都具有（或者不具有）某種屬性的推理方法 。它是針對(duì)幾個(gè)特殊對(duì)象的研究，是屬于對(duì)個(gè)別對(duì)象的觀察與研究。

例3 證明：數(shù)列12，1122，111222，……中的每一項(xiàng)都可以表示成為兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的乘積。分析 12=3×4 ? ? ?1122=33×34 ? ? ? 111222=333×334

歸納猜想：證明 記=m，則=m*10n+2m=m+2m=9m?+3m=

3m（3m+1）=命題得證。

枚舉歸納法僅僅通過對(duì)幾個(gè)特殊對(duì)象的研究與觀察就得出了一般性的結(jié)論，它缺少對(duì)這個(gè)結(jié)論發(fā)生原因的科學(xué)分析，所以它的歸納猜想所具有的可靠性較差。

2.科學(xué)歸納法：根據(jù)對(duì)某一類事物的幾個(gè)特殊對(duì)象作研究，發(fā)現(xiàn)它們都具有（或者不具有）某種屬性，并從因果關(guān)系方面對(duì)這類事物所具有的屬性進(jìn)行科學(xué)性的分析，從而做出這一類事物都具有（或者不具有）某種屬性的推理方法 。

例4試求直線系（4m+1）x+（m-1）y-1=0，（m∈R）的性質(zhì)。

分析令m=0，得直線l1：x-y-1=0① ?令m=1，得直線l2：5x-1=0② ?解①、②得交點(diǎn)P（，）

直線系的性質(zhì)有兩種（過定點(diǎn)或者互相平行），因?yàn)閘1，l2相交于點(diǎn)P，所以歸納猜想：題中所給直線系過定點(diǎn)P。證明 把P（，）代入直線方程 左邊= （4m+1）（m-1）+

1=0 右邊=0 ∴對(duì)任意的m∈R，直線系總過定點(diǎn)（，）。

三、歸納法的意義

歸納法在很多方面都具有重要意義，在學(xué)術(shù)領(lǐng)域，我們可以對(duì)現(xiàn)有知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)，利用相對(duì)應(yīng)的行之有效的方法來發(fā)現(xiàn)更高學(xué)術(shù)方面的問題，引領(lǐng)新的發(fā)展方向。歸納法使我們了解了一種“化有限為無限”的辨證思維方法。無論在科學(xué)方面還是生活方面都有很重要的意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]李明昌.淺述歸納法的應(yīng)用[J].數(shù)字化信息，2012（12）：32-33.