淺析高中數(shù)學(xué)中函數(shù)的性質(zhì)及圖像

姚康

摘 要：函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中是一個(gè)重要的部分，在高考當(dāng)中的題型設(shè)置中，可以以任何形式出現(xiàn)，不管是選擇題、填空題、應(yīng)用題或者是最后的壓軸題都可能反復(fù)出現(xiàn)。其中可以是單純關(guān)于函數(shù)的題，也可以是與其他知識(shí)綜合運(yùn)用的題，還可以是復(fù)雜的代數(shù)推理題，高中數(shù)學(xué)中函數(shù)的運(yùn)用成為考察學(xué)生能力的重要部分。本文主要對(duì)高中數(shù)學(xué)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)和圖像進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);函數(shù);性質(zhì);圖像

一、函數(shù)的考察重點(diǎn)和難點(diǎn)

一般函數(shù)考察的重點(diǎn)主要有以下幾個(gè)：1.函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性;2.函數(shù)與不等式結(jié)合;3.函數(shù)與方程的結(jié)合;4.函數(shù)與向量的綜合;5.利用導(dǎo)數(shù)來刻畫函數(shù)。

函數(shù)的難點(diǎn)主要有兩個(gè)方面，一個(gè)是新定義的函數(shù)問題，二是代數(shù)推理問題，通常作為高考?jí)狠S題。

二、幾種常見函數(shù)的性質(zhì)和圖像

（一）一次函數(shù)

一次函數(shù)是最為簡(jiǎn)單并且最常見的一種函數(shù)，在數(shù)學(xué)的很多其他領(lǐng)域中也經(jīng)常涉及到相關(guān)的運(yùn)算，在平面直角坐標(biāo)系中的顯示的圖像是一根直線。沒有特別說明的情況下，其定義域的取值范圍為所有值，為一切實(shí)數(shù)，通常用R表示;其值域也為一切實(shí)數(shù)R;沒有奇偶性和周期性。所有的一次函數(shù)都有傾斜角，它指的是X軸正方向與直線之間的夾角。一次函數(shù)的平面直角坐標(biāo)系解析式有：①ax+by+c=0[一般式];②y=kx+b[斜截式]（k為直線斜率，b為直線縱截距，正比例函數(shù)b=0）;③y-y1=k（x-x1）[點(diǎn)斜式]（k為直線斜率，（x1，y1）為該直線所過的一個(gè)點(diǎn)）;④（y-y1）/（y2-y1）=（x-x1）/（x2-x1）[兩點(diǎn)式]（（x1，y1）與（x2，y2）為直線上的兩點(diǎn)）;⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分別為直線在x、y軸上的截距）。相對(duì)應(yīng)的這些解析式表達(dá)存在局限性： ①所需條件較多（3個(gè)）;②、③不能表達(dá)沒有斜率的直線（平行于x軸的直線）;④參數(shù)較多，計(jì)算過于煩瑣;⑤不能表達(dá)平行于坐標(biāo)軸的直線和過圓點(diǎn)的直線。

（二）二次函數(shù)

二次函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中表現(xiàn)的是一條對(duì)稱軸與y軸平行的拋物線。其定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù);值域需要根據(jù)解析式來判定，一般分a大于0和a小于0的情況進(jìn)行討論;其奇偶性為偶函數(shù)，不存在周期性。其解析式為：①y=ax^2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0，則拋物線開口朝上;a<0，則拋物線開口朝下;⑶極值點(diǎn)：（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）; ⑷Δ=b^2-4ac， Δ>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）;Δ=0，圖象與x軸交于一點(diǎn)：（-b/2a，0）;Δ<0，圖象與x軸無(wú)交點(diǎn);②y=a（x-h）^2+t[配方式] 此時(shí)，對(duì)應(yīng)極值點(diǎn)為（h，t），其中h=-b/2a，t=（4ac-b^2）/4a）。

（三）反比例函數(shù)

反比例函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中的圖像為雙曲線。其定義域?yàn)槌?以外的一切實(shí)數(shù);值域也是除了0以外的一切實(shí)數(shù);其奇偶性為奇函數(shù)，沒有周期性。在平面直角坐標(biāo)系中的解析式為：y=1/x。

（四）冪函數(shù)

冪函數(shù)的解析式為y=x^a。當(dāng)y=x^3時(shí)，冪函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的圖像類似于將一個(gè)過圓點(diǎn)的二次函數(shù)的第四區(qū)間部分關(guān)于x軸作軸對(duì)稱后得到的圖象，其定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)R，值域也為一切實(shí)數(shù)R，為奇函數(shù)且無(wú)周期性;當(dāng)y=x^（1/2）時(shí)，圖象類似于將一個(gè)過圓點(diǎn)的二次函數(shù)以原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，再去掉y軸下方部分得到的圖象，定義域?yàn)?到正無(wú)窮，值域?yàn)?到正無(wú)窮，無(wú)奇偶性和周期性。

（五）指數(shù)函數(shù)

在直角坐標(biāo)系中指數(shù)函數(shù)的圖像類似于一個(gè)滑梯，永遠(yuǎn)過x=0，y=1這個(gè)點(diǎn)。其定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù);值域?yàn)?到正無(wú)窮;無(wú)奇偶性和周期性。其解析式為y=a^x（a>0且a≠1），若a>1則函數(shù)在定義域上單調(diào)增;若0

（六）對(duì)數(shù)函數(shù)

在圖像中與對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)（該對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)）的圖象關(guān)于直線y=x軸對(duì)稱，永遠(yuǎn)過x=0，y=1這個(gè)點(diǎn)。定義域?yàn)?到正無(wú)窮;值域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)R;沒有奇偶性和周期性。其解析式為y=log（a）x（a>0且a≠1），若a>1則函數(shù)在定義域上單調(diào)增;若0

（七）三角函數(shù)

1.正弦函數(shù)解析式為y=sinx ，圖象為正弦曲線，是一種波浪線，也是所有曲線的基礎(chǔ)。其定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù);值域?yàn)?1到1;為奇函數(shù)且最小正周期為2π。其對(duì)稱軸為直線x=kπ/2 （k∈Z）;中心對(duì)稱點(diǎn)是與x軸的交點(diǎn)：（kπ，0）（k∈Z）。

2.余弦函數(shù)解析式為y=cosx ，圖象為正弦曲線，由正弦函數(shù)的圖象向左平移π/2個(gè)單位（最小平移量）所得。其定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)R;值域同樣為-1到1;為偶函數(shù)且最小正周期為2π。對(duì)稱軸為直線x=kπ （k∈Z）;中心對(duì)稱點(diǎn)是與x軸的交點(diǎn)：（π/2+kπ，0）（k∈Z）。

3.正切函數(shù)解析式為y=tg x ，圖象的每個(gè)周期單位很像是三次函數(shù)，有很多個(gè)，并且均勻分布在x軸上。其定義域：{x│x≠π/2+kπ};值域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)R;為奇函數(shù)且最小正周期為π。正切函數(shù)沒有對(duì)稱軸，其中心對(duì)稱點(diǎn)是與x軸的交點(diǎn)：（kπ，0）（k∈Z）。

三、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，函數(shù)可以說是高中數(shù)學(xué)中的一大核心內(nèi)容，其涉及的內(nèi)容特別多，可以作為貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的一條主線，進(jìn)行著不斷的穿插。我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中應(yīng)重視這一方面的內(nèi)容，只有打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，將所有的內(nèi)容吃透和消化，便能有效提高自己的思維能力，有助于建立自己的自信心，挖掘自己在數(shù)學(xué)方面的興趣愛好。

參考文獻(xiàn)：

[1] 潘天士主編，張瑋等編著.中學(xué)數(shù)學(xué)課件制作實(shí)例與技巧[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2004.