解開函數(shù)及其圖像的面紗

馬愛平

函數(shù)及其圖像是初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，是中考的重點(diǎn)內(nèi)容，?？伎键c(diǎn)主要有：

考點(diǎn)1 直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)特征

例1 （2016·甘肅）已知點(diǎn)P（0，m）在y軸的負(fù)半軸上，則點(diǎn)M（-m，-m+1）在（ ）.

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P（0，m）在y軸的負(fù)半軸上，所以m<0，所以-m>0，-m+1>0，所以點(diǎn)M在第一象限，故選擇A.

【點(diǎn)評(píng)】解決這類問題要掌握點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的取值與點(diǎn)所在象限（或坐標(biāo)軸）的對(duì)應(yīng)關(guān)系以及點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

考點(diǎn)2 確定函數(shù)自變量的取值范圍

例2 （2016·四川內(nèi)江）在函數(shù)y=[x-3x-4]中，自變量x的取值范圍是（ ）.

A.x>3 B.x≥3

C.x>4 D.x≥3且x≠4

【解析】由題意，得x-3≥0且x-4≠0，∴x≥3且x≠4，故選擇D.

【點(diǎn)評(píng)】求函數(shù)自變量的取值范圍就是確定使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值.此外，要注意“或”與“且”的區(qū)別.

考點(diǎn)3 用函數(shù)圖像描述有關(guān)信息

例3 （2016·山東菏澤）小明騎自行車上學(xué)，開始以正常速度勻速行駛，但行至中途自行車出了故障，只好停下來修車，車修好后，因怕耽誤上課，加快了騎車速度，圖1是小明離家后他到學(xué)校剩下的路程S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖像，那么符合上面行駛情況的圖像大致是（ ）.

【解析】S是小明離家后到學(xué)校剩下的路程，即t=0時(shí)，S最大，到達(dá)學(xué)校時(shí)S=0，途中修車時(shí)間在變，而S不變，所以選D.

【點(diǎn)評(píng)】解答與日常生活相關(guān)的問題，要充分利用生活經(jīng)驗(yàn)來幫助思考.

考點(diǎn)4 一次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)

例4 （2016·廣西玉林）關(guān)于直線l：y=kx+k（k≠0），下列說法不正確的是（ ）.

A.點(diǎn)（0，k）在l上

B.l經(jīng)過定點(diǎn)（-1，0）

C.當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大

D.l經(jīng)過第一、二、三象限

【解析】直接根據(jù)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)選擇不正確的選項(xiàng)即可.當(dāng)x=0時(shí)y=k，即點(diǎn)（0，k）在l上，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)x=-1時(shí)y=-k+k=0，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)k>0時(shí)y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)C正確；不能確定l經(jīng)過第一、二、三象限，此選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的性質(zhì).

考點(diǎn)5 一次函數(shù)的應(yīng)用

例5 （2016·吉林）甲、乙兩人利用不同的交通工具，沿同一路線從A地出發(fā)前往B地，甲出發(fā)1h后，乙才出發(fā).y甲、y乙與x之間的函數(shù)圖像如圖2所示.

（1）甲的速度是 km/h；

（2）當(dāng)1≤x≤5時(shí)，求y乙關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）當(dāng)乙與A地相距240km時(shí)，甲與A地相距 km.

【解析】（1）根據(jù)圖像得：360÷6=60（km/h）；

（2）當(dāng)1≤x≤5時(shí)，設(shè)y乙=kx+b，把（1，0）與（5，360）代入可解得k=90，b=-90，則y乙=90x-90；

（3）令y乙=240，得到x=[113]，則甲與A地相距60×[113]=220（km）.

【點(diǎn)評(píng)】本例（1）也可通過方程求解.（2）為（3）的求解做了鋪墊，（3）是（2）的特殊情形，即求函數(shù)值是240時(shí)自變量的值.

考點(diǎn)6 反比例函數(shù)的圖像及其性質(zhì)

例5 （2016·黑龍江大慶）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函數(shù)y=[2x]上的三點(diǎn)，若x1

A.x1·x2<0 B.x1·x3<0

C.x2·x3<0 D.x1+x2<0

【解析】∵反比例函數(shù)y=[2x]中，2>0，∴在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，∵x1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是熟知反比例函數(shù)的增減性.本題是反比例函數(shù)性質(zhì)的逆用，有一定的難度.

考點(diǎn)7 反比例函數(shù)的應(yīng)用

例7 （2016·浙江湖州）湖州市菱湖鎮(zhèn)某養(yǎng)魚專業(yè)戶準(zhǔn)備挖一個(gè)面積為2000平方米的長方形魚塘.

（1）求魚塘的長y（米）關(guān)于寬x（米）的函數(shù)表達(dá)式；

（2）由于受場地的限制，魚塘的寬最多只能挖20米，當(dāng)魚塘的寬是20米時(shí)，魚塘的長為多少米？

【解析】（1）由長方形面積為2000平方米，得到xy=2000，即y=[2000x]；

（2）當(dāng)x=20（米）時(shí)，y=100（米），則當(dāng)魚塘的寬是20米時(shí)，魚塘的長為100米.

【點(diǎn)評(píng)】反比例函數(shù)應(yīng)用題一般難度不大，解題中要規(guī)范解題過程，不因容易而失分.

考點(diǎn)8 一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題

例8 （2016·四川廣安）如圖3，一次函數(shù)y1=kx+b（k≠0）和反比例函數(shù)y2=[mx]（m≠0）的圖像交于點(diǎn)A（-1，6）、B（a，-2）.

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖像直接寫出y1>y2時(shí)x的取值范圍.

【解析】（1）將A（-1，6）代入y2=[mx]，得m=

-6.∴y2=[-6x].將B（a，-2）代入y2=[-6x]，得a=3.∴B（3，-2）.將A（-1，6）、B（3，-2）代入y1=kx+b，得[-k+b=6，3k+b=-2.]∴[k=-2，b=4.]∴y1=-2x+4.

（2）由圖3可知，x<-1或0

【點(diǎn)評(píng)】求反比例函數(shù)解析式需要確定圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求一次函數(shù)的解析式需要確定直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

考點(diǎn)9 二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)

例9 （2016·廣東廣州）對(duì)于二次函數(shù)y=[-14]x2+x-4，下列說法正確的是（ ）.

A.當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大

B.當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值-3

C.圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-7）

D.圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

【解析】將二次函數(shù)解析式配方得y=[-14]

·（x-2）2-3，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），選項(xiàng)C錯(cuò)誤；∵a<0，∴拋物線開口向下，頂點(diǎn)為最高點(diǎn)，當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值-3，選項(xiàng)B正確；由拋物線開口向下，對(duì)稱軸為x=2可知，當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而減小，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；一元二次方程[-14]x2+x-4=0中，Δ=-3<0，∴這個(gè)拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線解析式做出圖像，答案便一目了然了.

考點(diǎn)10 二次函數(shù)、方程、不等式的應(yīng)用題

例10 （2016·湖北襄陽）為滿足市場需求，某超市在五月初五“端午節(jié)”來臨前夕，購進(jìn)一種品牌粽子，每盒進(jìn)價(jià)是40元，超市規(guī)定每盒售價(jià)不得少于45元.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價(jià)定為每盒45元時(shí)，每天可賣出700盒，每盒售價(jià)每提高1元，每天要少賣出20盒.

（1）試求出每天的銷售量y（盒）與每盒售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)每盒售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售的利潤P（元）最大？最大利潤是多少？

（3）為穩(wěn)定物價(jià)，有關(guān)管理部門限定：這種粽子的每盒售價(jià)不得高于58元.如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤，那么超市每天至少銷售粽子多少盒？

【解析】（1）y=700-20（x-45）=-20x+1600，（x≥45）；

（2）P=（x-40）（-20x+1600）=-20x2+2400x

-64000=-20（x-60）2+8000.∵x≥45，a=-20<0，∴當(dāng)x=60時(shí)，P有最大值，最大值為8000元.即當(dāng)每盒售價(jià)定為60元時(shí)，每天銷售的利潤最大，最大利潤為8000元；

（3）由題意，得-20（x-60）2+8000=6000，解這個(gè)方程得x1=50，x2=70.∵拋物線P=-20（x-60）2+8000的開口向下，∴當(dāng)50≤x≤70時(shí)，每天銷售粽子的利潤不低于6000元.又∵x≤58，∴50≤x≤58.∵在y=-20x+1600中，k=-20<0，∴y隨x的增大而減小，∴x=58時(shí)，y有最小值。最小值y=-20×58+1600=440.即超市每天至少銷售粽子440盒.

【點(diǎn)評(píng)】用好數(shù)量關(guān)系“利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)”和“每天銷售的利潤=每盒的利潤×每天的銷量”是建立函數(shù)解析式的關(guān)鍵.

考點(diǎn)11 函數(shù)綜合題

例11 （2016·山東泰安）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9），與y軸交于點(diǎn)A（0，5），與x軸交于點(diǎn)E、B.

（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)A作AC平行于x軸，交拋物線于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)（點(diǎn)P在AC上方），作PD平行于y軸交AB于點(diǎn)D，問當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積；

（3）若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在其對(duì)稱軸上，使得以A、E、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且AE為其一邊，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo).

【解析】（1）設(shè)拋物線y=a（x-2）2+9，把A（0，5）代入得a=-1，∴y=-（x-2）2+9；

（2）當(dāng)y=0時(shí)，-（x-2）2+9=0，解得x1=-1，x2=5，∴E（-1，0），B（5，0），設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=mx+n，把A（0，5），B（5，0）代入，得m=-1，n=5，∴y=-x+5.設(shè)P（x，-x2+4x+5），則D（x，-x+5），PD=-x2+4x+5+x-5=-x2+5x.∵AC平行于x軸，∴yA=yC=5，∴-x2+4x+5=5，得xC=4，∴AC=4，∴S四邊形APCD=2（-x2+5x）=-2x2+10x，∵-2<0，∴當(dāng)x=2.5時(shí)，四邊形APCD的面積最大，最大面積為12.5；

（3）過M作MH垂直于對(duì)稱軸，垂足為H，∵M(jìn)N∥AE，∴△HMN≌△OEA，∴HM=OE=1，NH=OA=5，∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=1或3；當(dāng)x=1時(shí)，M的縱坐標(biāo)為8；當(dāng)x=3時(shí)，M的縱坐標(biāo)為8；N的縱坐標(biāo)為3或13.∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，8）時(shí)，N的坐標(biāo)為（2，13）或M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，8）時(shí)，N的坐標(biāo)為（2，3）.

【點(diǎn)評(píng)】二次函數(shù)的綜合題涉及的知識(shí)點(diǎn)一般較多，有拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求法，幾何圖形的面積，三角形全等、相似，圓等，綜合性較強(qiáng)，有一定難度.在解決有關(guān)平行四邊形頂點(diǎn)問題時(shí)，通常應(yīng)用平行四邊形對(duì)邊平行且相等，用平移法可找到相鄰頂點(diǎn)間的聯(lián)系.解題中常用到數(shù)形結(jié)合、分類及方程等思想方法.

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級(jí)中學(xué)）