收納錯誤 變廢為寶

劉立軍

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，是中考中代數(shù)部分考查的熱點.但在解一元二次方程有關(guān)問題時，許多同學(xué)常常由于忽視一些概念、原理以及題目自身的隱含條件，從而導(dǎo)致錯解.現(xiàn)就幾種常見的錯誤進(jìn)行分析，希望能對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助.

一、 對“一元二次方程概念”理解模糊

例1 下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）.

A.x2+[1x2]=0 B.ax2+bx+c=0

C.（x-1）（x+2）=1 D.3x2-2xy=0

【錯解】B.

【正解】選項A中含分式，選項D中含兩個未知數(shù)，故都不是一元二次方程，選項B中二次項的系數(shù)a可能為0，則不一定是一元二次方程.故選C.

【點評】一元二次方程有三個特點：

（1）只含有一個未知數(shù)；

（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

（3）是整式方程.

二、用直接開平方法漏掉一個根

例2 解方程（x-1）2=4.

【錯解】兩邊開平方，得x-1=2，∴x=3.

【正解】x1=3，x2=-1.

【點評】對x2=a（a>0）直接開平方，x有兩個平方根x1=[a]，x2=[-a]，本題中直接開平方漏了“負(fù)的”平方根，相應(yīng)的也漏掉方程的一個根.

三、 用“配方法”時出錯

例3 解方程2x2-8x-5=0.

【錯解】移項得2x2-8x=5，配方得2x2-8x+42=5+42，即（2x-4）2=21，所以2x-4=[±21]，原方程的解為

x1=[4+212]，x2=[4-212].

【正解】x1=[4+262]，x2=[4-262].

【點評】在配方時，當(dāng)二次項系數(shù)為1時，方程兩邊同時加上“一次項系數(shù)一半的平方”，若二次項系數(shù)不為1，先“化1”.

四、用“公式法”時出錯

例4 解方程x2=3x+4.

【錯解】∵a=1，b=3，c=4，

∴b2-4ac=9-16=-7<0，

∴方程無實數(shù)解.

【正解】x1=4，x2=-1.

【點評】在用公式法解一元二次方程時，應(yīng)先將方程化為一般式ax2+bx+c=0（a≠0），然后準(zhǔn)確地找出a，b，c的值，利用公式

x=[-b±b2-4ac2a]求解.

五、忽視等式的基本性質(zhì)

例5 一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（ ）.

A.-1 B.0 C.1和2 D.-1和2

【錯解】方程兩邊同時除以x-2，得x=-1.

故選A.

【正解】x（x-2）=2-x，

移項得：x（x-2）+（x-2）=0，

因式分解：（x-2）（x+1）=0，

x-2=0或x+1=0，x1=2，x2=-1.

故選D.

【點評】等式兩邊同時乘或除以同一個不為零的整式，等式仍然成立，錯解中沒有考慮到x-2等于0的情況，容易漏根.

六、忽略檢驗根的存在性

例6 關(guān)于x的方程x2-kx+2k=0的兩根的平方和是5，則k的值是（ ）.

A.-1或5 B.1 C.5 D.-1

【錯解】A.

設(shè)方程的兩根為x1，x2，

則x1+x2=k，x1x2=2k.

∵x12+x22=5，

∴（x1+x2）2-2x1x2=5，

∴k2-4k-5=0，∴k1=5，k2=-1.

【正解】D.

當(dāng)k=5時，原方程變?yōu)閤2-5x+10=0，b2-4ac=-15<0，

當(dāng)k=-1時，原方程變?yōu)閤2+x-2=0，b2-4ac=9>0，∴k=-1.

【點評】很多同學(xué)認(rèn)為解出答案即大功告成，忽視了在實數(shù)范圍內(nèi)利用根與系數(shù)的關(guān)系時必須要以根的存在作為前提條件，所以求得的結(jié)果還要代入原方程檢驗根的存在性.

七、應(yīng)用一元二次方程根的判別式出錯

例7 關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）.

A.m≤3 B.m<3

C.m<3且m≠2 D.m≤3且m≠2

【錯解】A、B、C.

【正解】因為關(guān)于x的一元二次方程（m-2）·x2+2x+1=0有實數(shù)根，所以m-2≠0且b2-4ac≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，

∴m的取值范圍是m≤3且m≠2.故選D.

【點評】①方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，隱含著兩個條件：一是a≠0，二是判別式b2-4ac>0，解題時常容易忽視a≠0而出現(xiàn)錯誤.

②一元二次方程“有實數(shù)根”，包括有相等的實數(shù)根和不相等的實數(shù)根這兩種情況，此時b2-4ac≥0，不能漏掉等號；若未指明方程是一元二次方程，“有實數(shù)根”不能與“有兩個實數(shù)根”等同，應(yīng)分a≠0和a=0兩種情況討論.

（作者單位：江蘇省連云港市海州實驗中學(xué)）