縱向磁場(chǎng)中載流單層碳納米管的振動(dòng)與失穩(wěn)

李 明，周攀峰，鄭華升

(武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430065)

縱向磁場(chǎng)中載流單層碳納米管的振動(dòng)與失穩(wěn)

李 明，周攀峰，鄭華升

(武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430065)

以非局部彈性理論為基礎(chǔ)，采用Euler-Bernoulli梁模型，并考慮納米管管形區(qū)域內(nèi)滑移邊界條件以及小尺度效應(yīng)，研究了縱向磁場(chǎng)中單層載流碳納米管的振動(dòng)與失穩(wěn)問題。根據(jù)哈密頓原理獲得碳納米管的橫向振動(dòng)方程和邊界條件。應(yīng)用微分變換法(DTM)對(duì)此高階偏微分方程進(jìn)行求解，通過數(shù)值計(jì)算分析磁場(chǎng)強(qiáng)度、小尺度參數(shù)和Knudsen數(shù)對(duì)單層載流碳納米管振動(dòng)頻率和穩(wěn)定性的影響。結(jié)果表明，小尺度參數(shù)和Knudsen數(shù)越大，系統(tǒng)基頻及臨界流速就越低，系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域也越?。豢v向磁場(chǎng)強(qiáng)度增加到一定程度后，磁場(chǎng)作用將明顯提高系統(tǒng)的基頻及臨界流速，也即增大了系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域。

碳納米管；縱向磁場(chǎng)；載流；微分變換法；振動(dòng)；失穩(wěn)；臨界流速

碳納米管是一種重要的納米材料，具有小尺度、低密度、高強(qiáng)度和高硬度等特性，加之完美的空心圓柱形幾何結(jié)構(gòu)，其已成為納米尺度下流體儲(chǔ)藏與輸運(yùn)的重要載體[1-2]。與之相應(yīng)，作為一種典型的小尺度高流速流固耦合系統(tǒng)，載流碳納米管的動(dòng)力學(xué)特性也吸引了國內(nèi)外研究人員的大量關(guān)注。Wang等[3]應(yīng)用非局部Euler-Bernoulli梁模型研究載流雙層碳納米管的固有頻率和屈曲失穩(wěn)特性，發(fā)現(xiàn)了小尺度參數(shù)對(duì)碳納米管振動(dòng)頻率的影響規(guī)律。梁峰等[4]應(yīng)用非局部黏彈性夾層梁模型分析雙參數(shù)彈性介質(zhì)中輸送脈動(dòng)流碳納米管的穩(wěn)定性，證明了非局部效應(yīng)對(duì)載流碳納米管的影響特性?；谳d流碳納米管的流場(chǎng)特征尺度變小以及Knudsen數(shù)(定義為流體分子平均自由程與流場(chǎng)的特征尺度之比)大于0.01的特性，Mirramezani等[5]考慮管形區(qū)域內(nèi)滑移邊界條件，研究了Knudsen數(shù)對(duì)納米級(jí)載流管振動(dòng)穩(wěn)定性的影響。

近年來，碳納米管在生物醫(yī)藥領(lǐng)域(如抗腫瘤藥物的靶向輸送)以及納機(jī)電系統(tǒng)(NEMS)中得到越來越廣泛的應(yīng)用，而由于磁場(chǎng)具有優(yōu)異的智能控制特性，其在碳納米管載流中的應(yīng)用也開始受到關(guān)注，但針對(duì)碳納米管在磁場(chǎng)中的磁-力耦合特性的研究成果在現(xiàn)階段還相對(duì)較少。Murmu等[6]基于非局部彈性理論分析了縱向磁場(chǎng)中雙層碳納米管的橫向振動(dòng)問題。Kiani[7]應(yīng)用非局部Rayleigh梁模型以及Maxwell’s方程研究了三維磁場(chǎng)作用下單層碳納米管的縱向、橫向振動(dòng)特性。本文以非局部彈性理論為基礎(chǔ)，采用Euler-Bernoulli梁模型，考慮碳納米管的小尺度效應(yīng)和稀薄效應(yīng)，著重研究單層簡支載流碳納米管在縱向磁場(chǎng)作用下的振動(dòng)與失穩(wěn)問題。

1 振動(dòng)控制方程與邊界條件

圖1所示為單層簡支碳納米管，其長度為L，外徑為D，橫截面積為A，彎曲剛度為EI，E為材料彈性模量。每單位長度上納米管的質(zhì)量和內(nèi)部流體的質(zhì)量分別為mc和mf。假定振動(dòng)時(shí)管道只發(fā)生橫向面內(nèi)振動(dòng)，且不考慮重力以及管道外部拉、壓力的影響。W(X,T)為納米管振動(dòng)的橫向位移，其中，X為納米管的縱向坐標(biāo)，T為時(shí)間。

圖1 縱向磁場(chǎng)中單層簡支載流碳納米管

對(duì)于載流碳納米管，Knudsen數(shù)大于0.01，參照文獻(xiàn)[5]采用滑移邊界條件，將管內(nèi)流體的平均流速修正為Uavg,slip= VCF·Uavg,(no-slip)，其中，Uavg,slip與Uavg,(no-slip)分別為滑移與無滑移邊界條件下流體的平均流速，VCF為平均流速修正因子，定義如下[5]:

(1)

根據(jù)微觀Maxwell’s方程[6]，在縱向磁場(chǎng)中，由磁場(chǎng)引起的作用于單層碳納米管橫向單位長度上的洛倫茲力可表示為：

(2)

式中：η為磁導(dǎo)率；HX為縱向上的磁場(chǎng)強(qiáng)度。

考慮小尺度效應(yīng)，以非局部彈性理論為基礎(chǔ)，應(yīng)用哈密頓原理可以得到載流納米管在縱向磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程為：

(3)

式中：e0a是納米材料中引起結(jié)構(gòu)小尺度效應(yīng)的參數(shù)。

文獻(xiàn)[8]已證明，對(duì)于兩端簡支的載流納米管，仍可以采用局部連續(xù)理論下的邊界條件，即：

(4)

2 振動(dòng)控制方程的求解

(5)

以及無量綱簡支邊界條件

(6)

(7)

根據(jù)DTM運(yùn)算法則[8]，可得到式(7)的微分變換形式

[1-μ(u2-ψ)]·(k+4)!·Φ(k+4)-

(u2-ψ-μΩ2)·(k+2)!·Φ(k+2)+

Ω2·k!·Φ(k)=0

(8)

和相應(yīng)的簡支邊界條件微分變換形式

Φ(0)=Φ(2)=0

(9)

(10)

令Φ(1) = C1, Φ(3) = C2，再通過式(8)、式(9)進(jìn)行迭代，求得Φ(k)，k = 4,5,…,N。然后將Φ(k)代入式(10)，可得到以下兩個(gè)方程：

(11)

式中：aij是關(guān)于Ω和其他系統(tǒng)參數(shù)的多項(xiàng)式。式(11)有平凡解的條件是其系數(shù)矩陣行列式為零，由此即可獲得系統(tǒng)的復(fù)數(shù)特征值Ω，其虛部Im(Ω)是系統(tǒng)的無量綱固有頻率，其實(shí)部Re(Ω)與阻尼有關(guān)。已有研究表明[10]，當(dāng)Im(Ω) = 0 時(shí)，簡支納米管系統(tǒng)將因發(fā)散而出現(xiàn)屈曲失穩(wěn)，故使Im(Ω)由正變?yōu)榱愕牧魉俜Q為系統(tǒng)的屈曲臨界流速ucr。

3 數(shù)值算例

對(duì)于簡支載流納米管在縱向磁場(chǎng)中的動(dòng)力特性分析，本文采用的參數(shù)為[6，11]：碳納米管密度ρc= 2300 kg/m3，外層半徑R0=3 nm，長徑比L/2R0=40，壁厚td= 0.1 nm，彈性模量E=3.4 TPa，磁導(dǎo)率η= 4π×10-7H/m,質(zhì)量比系數(shù)β=0.1。DTM的計(jì)算精度取決于截?cái)囗?xiàng)數(shù)N的取值，N值越大計(jì)算結(jié)果越接近精確解，本文取N=40，經(jīng)過驗(yàn)證，此條件下已能保證一階模態(tài)的解具有足夠精確。

3.1 頻率分析

鑒于內(nèi)部流體的流動(dòng)行為將對(duì)載流納米管的振動(dòng)特性產(chǎn)生影響，故表1首先給出了載流納米管中流體無量綱流速u、小尺度參數(shù)μ、Knudsen數(shù)Kn均為零時(shí)，納米管一階無量綱固有頻率與縱向磁場(chǎng)強(qiáng)度之間的變化規(guī)律。由表1可見，當(dāng)縱向磁場(chǎng)強(qiáng)度HX不低于107A/m時(shí)，隨著磁場(chǎng)的增強(qiáng)，簡支納米管無量綱基頻才有了顯著的提高，也就是說，縱向磁場(chǎng)必須達(dá)到一定強(qiáng)度后才能對(duì)納米管的振動(dòng)效果產(chǎn)生影響。

表1 無量綱基頻隨縱向磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化(u=0,μ=0,Kn=0)

圖2給出了簡支載流納米管在無縱向磁場(chǎng)和縱向磁場(chǎng)強(qiáng)度為5×107A/m兩種情況下，系統(tǒng)一階無量綱特征值的虛部與實(shí)部隨管內(nèi)流體無量綱流速的變化情況，此時(shí)仍取μ=0、Kn=0。由圖2可以看出，對(duì)于不同的無量綱流速，縱向磁場(chǎng)的作用提高了該流速下系統(tǒng)的無量綱基頻數(shù)值，且使系統(tǒng)的分叉現(xiàn)象在較高流速下產(chǎn)生，這意味著外加縱向磁場(chǎng)可以降低內(nèi)部流體對(duì)載流納米管固有頻率的影響，并且提升系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(a) 虛部

(b) 實(shí)部

圖3和圖4給出了簡支載流納米管在無縱向磁場(chǎng)與縱向磁場(chǎng)強(qiáng)度為5×107A/m兩種情況下，分別取不同小尺度參數(shù)(此時(shí)Kn=0)和不同Knudsen數(shù)(此時(shí)μ=0)時(shí)，系統(tǒng)一階無量綱固有頻率與管內(nèi)流體無量綱流速的變化關(guān)系。由圖3和圖4可以看出，無論有沒有縱向磁場(chǎng)作用，隨著小尺度參數(shù)以及Knudsen數(shù)的增加，相同流速下系統(tǒng)的固有頻率均會(huì)降低，因此系統(tǒng)的穩(wěn)定性也會(huì)出現(xiàn)不同程度的減弱。

圖3 不同小尺度參數(shù)下無量綱基頻隨無量綱流速的變化(Kn=0)

圖4 不同Knudsen數(shù)下無量綱基頻隨無量綱流速的變化(μ=0)

3.2 穩(wěn)定性分析

在流固耦合問題的研究中，特別是對(duì)于載流納米管這類柔性結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析以及系統(tǒng)臨界流速的計(jì)算都是關(guān)鍵內(nèi)容。圖5(a)給出了縱向磁場(chǎng)強(qiáng)度不同時(shí)，系統(tǒng)無量綱臨界流速隨Knudsen數(shù)的變化情況,此時(shí)取μ=0.1。圖5(b)給出了小尺度參數(shù)取值不同、縱向磁場(chǎng)強(qiáng)度HX=5×107A/m時(shí)，系統(tǒng)無量綱臨界流速ucr隨Knudsen數(shù)的變化情況。

由圖5可以看出，Kn值在0.0001～0.01范圍內(nèi)時(shí)，影響臨界流速的因素主要是外加縱向磁場(chǎng)強(qiáng)度和小尺度參數(shù)而不是Kn值，具體表現(xiàn)為：磁場(chǎng)強(qiáng)度越大，臨界流速越高，載流納米管的穩(wěn)定區(qū)域越大；小尺度參數(shù)越大，臨界流速越低，載流納米管的穩(wěn)定區(qū)域越小。Kn值在0.01～0.1范圍內(nèi)時(shí)，流體處于滑移流動(dòng)區(qū)，稀薄效應(yīng)開始體現(xiàn)，此時(shí)磁場(chǎng)強(qiáng)度、小尺度參數(shù)仍對(duì)臨界流速產(chǎn)生相應(yīng)的影響且規(guī)律與Kn值位于0.0001～0.01區(qū)間的規(guī)律相同，但影響程度降低，而這時(shí)Knudsen數(shù)對(duì)臨界流速的影響開始顯現(xiàn)，即隨著Kn值的增加，臨界流速逐漸降低，相應(yīng)的載流納米管穩(wěn)定區(qū)域逐漸減小。超過上述范圍之后，Knudsen數(shù)逐漸成為影響臨界流速的主要因素，而其他參數(shù)的影響程度則逐漸減弱。

(a)不同磁場(chǎng)強(qiáng)度(μ=0.1)

(b) 不同小尺度參數(shù)(HX=5×107 A/m)

4 結(jié)語

本文基于非局部Euler-Bernoulli梁模型，考慮載流納米管管形區(qū)域內(nèi)的滑移邊界條件，應(yīng)用哈密頓原理建立單層簡支載流碳納米管的振動(dòng)控制方程，采用DTM法對(duì)這個(gè)高階偏微分方程進(jìn)行求解，分析了縱向磁場(chǎng)作用下該系統(tǒng)的振動(dòng)與失穩(wěn)問題，分別討論了縱向磁場(chǎng)強(qiáng)度、小尺度參數(shù)以及Knudsen數(shù)對(duì)系統(tǒng)基頻和臨界流速的影響。從數(shù)值算例分析來看，載流納米管小尺度效應(yīng)以及稀薄效應(yīng)越明顯，系統(tǒng)基頻及臨界流速就越低，系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域也越??；而磁場(chǎng)強(qiáng)度增加到一定數(shù)值后，磁場(chǎng)作用將明顯提高系統(tǒng)的基頻及臨界流速，也即增大了系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域。由于失穩(wěn)臨界流速對(duì)于載流納米管的納米力學(xué)特性有明顯的影響，因此本文所得結(jié)論可為工程納米流體機(jī)械的設(shè)計(jì)分析提供一定的理論參考。

[1] Soltani P, Farshidianfar A. Periodic solution for nonlinear vibration of a fluid-conveying carbon nanotube, based on the nonlocal continuum theory by energy balance method[J]. Applied Mathematical Modelling, 2012, 36(8):3712-3724.

[2] Xia W, Wang L. Vibration characteristics of fluid-conveying carbon nanotubes with curved longitudinal shape[J]. Computational Materials Science, 2010, 49(1): 99-103.

[3] Wang L, Ni Q, Li M. Buckling instability of double-wall carbon nanotubes conveying fluid[J]. Computational Materials Science, 2008, 44(2):821-825.

[4] 梁峰,包日東.基于非局部效應(yīng)和表面效應(yīng)的輸流碳納米管穩(wěn)定性分析[J].力學(xué)與實(shí)踐，2012,36(1): 48-53.

[5] Mirramezani M, Mirdamadi H R. The effects of Knudsen-dependent flow velocity on vibrations of a nano-pipe conveying fluid[J]. Archive of Applied Mechanics, 2012，82(7)：879-890.

[6] Murmu T, McCarthy M A, Adhikari S. Vibration response of double-walled carbon nanotubes subjected to an externally applied longitudinal magnetic field: a nonlocal elasticity approach[J]. Journal of Sound and Vibration, 2012, 331(23): 5069-5086.

[7] Kiani K. Vibration and instability of a single-walled carbon nanotube in a three-dimensional magnetic field[J]. Journal of Physics and Chemistry of Solids, 2014, 75(1): 15-22.

[8] Li M, Zheng H, Luo X, et al. Energy meaning of small-scale effect on free vibration of carbon nanotubes[J]. International Journal of Nanomanufacturing, 2014, 10(5/6): 415-423.

[9] Chen C K, Ho S H. Transverse vibration of a rotating twisted Timoshenko beams under axial loading using differential transform[J]. International Journal of Mechanical Science, 1999, 41(11): 1339-1356.

[10]王琳.輸流管道的穩(wěn)定性、分岔與混沌行為研究[D].武漢：華中科技大學(xué)，2006.

[11]Hosseini M, Sadeghi-Goughari M, Atashipour S A, et al. Vibration analysis of single-walled carbon nanotubes conveying nanoflow embedded in a viscoelastic medium using modified nonlocal beam model[J].Archives of Mechanics, 2014, 66(4): 217-244.

[責(zé)任編輯 尚 晶]

Vibration and instability of single-walled carbon nanotubes conveying fluid in a longitudinal magnetic field

LiMing,ZhouPanfeng,ZhengHuasheng

(Hubei Province Key Laboratory of Systems Science in Metallurgical Process, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430065, China)

On the basis of nonlocal elastic theory and with the slip boundary conditions and small scale effect of nanotubes considered, this paper uses Euler-Bernoulli beam model to investigate the vibration and instability of a simply-supported single-walled carbon nanotube (SWCNT) conveying fluid in a longitudinal magnetic field. Transverse vibration equation and its boundary conditions of the SWCNT are derived according to Hamilton’s principle. Differential transformation method (DTM) is adopted to solve this high-order partial differential equation. Effects of magnetic field intensity, small scale parameter and Knudsen number on vibration frequency and stability of fluid-conveying SWCNT are analyzed by numerical calculation. The results show that with the increase of small scale parameter and Knudsen number, the fundamental frequency and critical flow velocity of the SWCNT decrease and the system’s stable region is reduced; when its intensity increases to a certain degree, the longitudinal magnetic field can obviously raise the fundamental frequency and critical flow velocity, i.e. enlarge the system’s stable region.

carbon nanotube; longitudinal magnetic field; fluid-conveying; differential transformation method; vibration; instability; critical flow velocity

2016-09-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51608401); 武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目(Y201520).

李 明(1969-)，女，武漢科技大學(xué)副教授，博士. E-mail:mingli121212@126.com

10.3969/j.issn.1674-3644.2017.01.006

O353.1

A

1674-3644(2017)01-0027-05