多繞組變壓器具有輻射形等值電路的充分必要條件

朱永強(qiáng)， 郝嘉誠(chéng)

(華北電力大學(xué) 新能源電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 102206)

多繞組變壓器具有輻射形等值電路的充分必要條件

朱永強(qiáng)， 郝嘉誠(chéng)

(華北電力大學(xué) 新能源電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 102206)

多繞組變壓器被廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)中，但其等值電路往往比較復(fù)雜，參數(shù)計(jì)算難度大，并且難以實(shí)現(xiàn)對(duì)變壓器各繞組的獨(dú)立控制，在實(shí)際應(yīng)用中給主電路的分析與控制器的設(shè)計(jì)增加了難度。而輻射形等值電路模型結(jié)構(gòu)清晰簡(jiǎn)單，便于分析和控制，因此有必要探究多繞組變壓器具有輻射形等值電路的條件。將多繞組變壓器每一繞組的自感系數(shù)和互感系數(shù)作為基本參數(shù)，從各繞組的正弦穩(wěn)態(tài)電壓平衡方程出發(fā)，忽略勵(lì)磁電流的影響，推導(dǎo)出多繞組變壓器具有輻射形等值電路的充分必要條件，并以變壓器的常用參數(shù)——短路阻抗的形式表示。

多繞組變壓器; 等值電路; 短路阻抗

0 引 言

多繞組變壓器在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用非常廣泛，如用于大容量不平衡負(fù)荷補(bǔ)償?shù)淖儔浩鞲綦x型結(jié)構(gòu)的同步補(bǔ)償器[1]；用于調(diào)節(jié)電壓、補(bǔ)償無功的多繞組變壓器型可調(diào)電抗器[2]；適用于高壓大容量場(chǎng)合的高頻多繞組變壓器多電平變換器[3]等。這些應(yīng)用了多繞組變壓器的電力設(shè)備與其他同類設(shè)備相比，都具有其獨(dú)特的優(yōu)越性。但是，由于多繞組變壓器各繞組共用鐵心，彼此之間存在電磁耦合關(guān)系，等效電路中會(huì)存在受控源[4]。當(dāng)?shù)蛪豪@組數(shù)目越多時(shí)，含受控源的等效電路就會(huì)越復(fù)雜[5]，這就導(dǎo)致多繞組變壓器無法像三繞組變壓器那樣在任何情況下都具有輻射形等值電路，這也使得其在應(yīng)用時(shí)的主電路分析及控制電路的設(shè)計(jì)變得更為復(fù)雜，給工程實(shí)際應(yīng)用和參數(shù)計(jì)算增加了難度。等值電路模型是分析變壓器的有效工具。所以，在一定假設(shè)條件下，研究一個(gè)較為簡(jiǎn)單實(shí)用的多繞組變壓器的等值電路模型具有很重要的意義。

目前，針對(duì)多繞組變壓器等值電路模型進(jìn)行研究的文獻(xiàn)并不多。其中，文獻(xiàn)[6-7]將各繞組之間的耦合數(shù)目與多邊形自身特點(diǎn)相結(jié)合，并假設(shè)變壓器阻抗矩陣非奇異，給出了多繞組變壓器的多邊形等值電路模型；文獻(xiàn)[7-8]針對(duì)同心式多繞組變壓器，在假設(shè)各繞組電抗高度和徑向厚度相同的條件下，建立了梯形等值電路模型；上述兩種模型均在推導(dǎo)過程中做了特定假設(shè)，且推導(dǎo)過程復(fù)雜。文獻(xiàn)[9-10]提出了(n-1)射線形等值電路模型，但它忽略了變壓器各副邊繞組之間的電磁耦合作用；文獻(xiàn)[11]從多繞組變壓器的基本電壓方程入手，通過一系列公式變換，給出了多繞組變壓器等效成輻射形等值電路的充分必要條件，但其僅指出了各繞組之間互感系數(shù)所必須滿足的條件，與變壓器的實(shí)際參數(shù)難以形成對(duì)應(yīng)關(guān)系，不便于指導(dǎo)工程實(shí)踐。

本文在忽略勵(lì)磁電流的前提條件下，對(duì)多繞組變壓器的基本電壓方程進(jìn)行相應(yīng)變換，推導(dǎo)出多繞組變壓器具有輻射形等值電路的充分必要條件，并給出了輻射形等值電路模型。

1 多繞組變壓器的基本電路方程

單相多繞組變壓器的結(jié)構(gòu)示意圖，如圖1所示。當(dāng)變壓器的繞組個(gè)數(shù)大于2時(shí)，由于共用鐵心，各個(gè)繞組在磁路方面互相耦合，所以在建立電壓方程時(shí)，不能再簡(jiǎn)單套用雙繞組變壓器中主磁通和漏磁通的概念進(jìn)行分析，需要使用每一繞組的自感系數(shù)和各繞組之間的互感系數(shù)作為基本參數(shù)來列寫電壓方程[12]。

當(dāng)不考慮鐵心損耗時(shí)，按照?qǐng)D1所標(biāo)注的電壓和電流方向定義變壓器各繞組電壓和電流的正方向，則各繞組的正弦穩(wěn)態(tài)電壓平衡方程為

(1)

由于變壓器原邊繞組和副邊繞組的電壓等級(jí)不同，所以按照式(2)將副邊繞組的各電氣量折算至原邊繞組。假設(shè)變壓器繞組1為原邊繞組，其余繞組均為副邊繞組，則有

(2)

依式(2)將副邊繞組各電氣量折算至原邊繞組后，各繞組正弦穩(wěn)態(tài)電壓平衡方程為

(3)

為書寫方便，在下文中所有的折算量均用不帶撇的符號(hào)表示。

2 多繞組變壓器的一般等效電路

2.1 三繞組變壓器

原邊繞組(繞組1)和繞組2間的電壓降為

(4)

同理，原邊繞組(繞組1)和繞組3間的電壓降為

(5)

同理，繞組2和繞組3間的電壓降為

(6)

根據(jù)式(2)、式(4)、式(5)和式(6)，三繞組變壓器的等值電路可以用如圖2所示的形式表示。在該種形式下對(duì)變壓器繞組參數(shù)的對(duì)稱性沒有要求。

圖2 三繞組變壓器等值電路模型Fig.2 The equivalent circuit model of three-winding transformer

其中，

(7)

2.2 多繞組變壓器

但是，當(dāng)變壓器繞組數(shù)多于三個(gè)時(shí)，情況要復(fù)雜得多。多繞組變壓器并不能在任何情況下都像三繞組變壓器那樣具有如圖2所示的輻射形等值電路。文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[13]給出了四繞組變壓器和六繞組變壓器一般形式的等值電路，分別如圖3(a)、(b)所示。

圖3 多繞組變壓器等值電路模型Fig.3 The equivalent circuit model of multi-winding transformer

圖4 多繞組變壓器多邊形等值電路模型Fig.4 The polygon type equivalent circuit model of multi-winding transformer

在忽略勵(lì)磁電流的條件下，n繞組變壓器短路阻抗數(shù)等于繞組之間的耦合數(shù)目n(n-1)/2，而n邊形兩兩頂點(diǎn)之間的連線數(shù)恰好等于n(n-1)/2，文獻(xiàn)[6,7]利用這一特點(diǎn)，給出了四繞組變壓器和六繞組變壓器的多邊形等值電路模型，分別如圖4(a)、(b)所示。

從圖3和圖4可以明顯的看出，不論是一般形式的等值電路還是多邊形的等值電路，多繞組變壓器的等值電路都非常復(fù)雜。并且不論在哪種形式的等值電路下都無法實(shí)現(xiàn)對(duì)變壓器各繞組的獨(dú)立控制。由于不能忽略各繞組之間的電磁耦合關(guān)系，多繞組變壓器便不能像三繞組變壓器那樣在任何情況下都具有如圖2所示的輻射形等值電路。

由于輻射形等值電路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單清晰，易于主電路的分析和控制器的設(shè)計(jì)。因此，下文將要探究的問題是：能否在一定的合理假設(shè)條件下，使得多繞組變壓器具有簡(jiǎn)單且易于分析的輻射形等值電路。

3 多繞組變壓器等效為輻射形等值電路模型的充分必要條件

3.1 三繞組變壓器

當(dāng)n=3，即變壓器為三繞組變壓器時(shí)，根據(jù)式(4)，將原邊繞組(繞組1)和繞組2間的電壓降公式變換為

(8)

根據(jù)式(5)，將原邊繞組(繞組1)和繞組2間的電壓降公式變換為

(9)

同理，根據(jù)式(6)，將繞組2和繞組3間的電壓降公式變換為

(10)

其中，

(11)

上述這些阻抗叫做三繞組變壓器的等值阻抗。顯而易見，Z123=Z132，Z213=Z231，Z312=Z321。

通過式(8)～(10)可以看出，對(duì)于三繞組變壓器，任意兩繞組間的電壓降等式具有相類似的形式，即電壓降僅與流過該繞組的電流有關(guān)，且這幾式中各個(gè)繞組電流的系數(shù)均相等。根據(jù)以上結(jié)果，令Z1=Z123=Z132，Z2=Z213=Z231，Z3=Z312=Z321，即可以得到如圖5所示的三繞組變壓器輻射形等效電路。

圖5 三繞組變壓器輻射形等值電路模型Fig.5 The radiant equivalent circuit model of three-winding transformer

三繞組變壓器等值電路中的參數(shù)可以用變壓器短路試驗(yàn)來確定。在進(jìn)行任意兩繞組之間的短路試驗(yàn)時(shí)，第三個(gè)繞組開路。此時(shí)，三繞組變壓器的運(yùn)行狀態(tài)相當(dāng)于雙繞組變壓器。因此，圖5中任意兩端子之間的阻抗等于相應(yīng)兩繞組之間的短路阻抗，則有

(12)

解上述方程組，得

(13)

圖5本質(zhì)上與圖2相同，但是上述文章中對(duì)于等值阻抗的定義為探尋多繞組變壓器具有輻射形等值電路的條件提供了思路。

3.2 多繞組變壓器

當(dāng)n>3時(shí)，多繞組變壓器第k個(gè)繞組和第m個(gè)繞組之間的電壓降為

(14)

(15)

其中，等值阻抗

(16)

式中：Zk-m為變壓器繞組k與繞組m之間的短路阻抗(k=1,2,…,n，m=1,2,…,n，且k≠m)，則有

Zk-m=rk-m+jxk-m

(17)

rk-m=rk+rm

(18)

(19)

由式(14)～(17)可得

(20)

顯而易見，Zkmn=Zknm。

從以上推導(dǎo)可以看出，如果多繞組變壓器任意兩繞組之間的短路阻抗已知，則可以根據(jù)式(16)算出相應(yīng)的等值阻抗Zkmn的大小。變壓器各繞組間的短路阻抗可以通過短路實(shí)驗(yàn)和計(jì)算得到。

當(dāng)變壓器繞組數(shù)目n>3時(shí)，多繞組變壓器具有輻射形等值電路的充分必要條件是：多繞組變壓器任意兩繞組之間的電壓差，都能表示成其電流與確定阻抗的乘積之差。即需同時(shí)滿足：

(2) 第k個(gè)繞組與第m個(gè)繞組之間的電壓降，僅與流過這兩個(gè)繞組的電流有關(guān)，與流過其他繞組的電流無關(guān)，即要求式(15)中的第三項(xiàng)

(21)

綜合上述兩個(gè)條件，多繞組變壓器具有輻射性等值電路的充分必要條件可以總結(jié)為:多繞組變壓器每一個(gè)繞組的等效阻抗均為某一確定的常數(shù)，即任一繞組k的等效阻抗Zkxy=Ck。其中，Ck為某一確定的常數(shù)，k=1,2,…,n，x=1,2,…,n，y=1,2,…,n，且x≠y，x≠k，y≠k。需要說明的是，當(dāng)k取不同的值時(shí)，Ck的值不一定相同。

下面證明上述條件的充分必要性。

(1) 證明充分性。

當(dāng)多繞組變壓器任一繞組k的等效阻抗Zkxy=Ck，其中，Ck為某一確定的常數(shù)，k=1,2,…,n，x=1,2,…,n，y=1,2,…,n，且x≠y，x≠k，y≠k。根據(jù)式(15)，有

(22)

從上式可以得出，當(dāng)多繞組變壓器每一繞組的等效阻抗都為某一確定的常數(shù)時(shí)，任意兩個(gè)繞組的電壓差都能表示成其電流與確定阻抗的乘積之差。所以，在該種條件下，多繞組變壓器具有輻射形等值電路，充分性得證。

(2) 證明必要性。

若多繞組變壓器具有輻射形等值電路，則對(duì)于繞組k和繞組m，其中k=1,2,…,n-1，m=2,3,…,n且m>k，有

(23)

式中：Zk和Zm分別為繞組k和繞組m的等效阻抗，且Zk和Zm均為某一確定的值。

又

(24)

聯(lián)立求解式(23)和式(24)，可得

(25)

(26)

(27)

綜合式(25)～(27)，當(dāng)多繞組變壓器具有輻射形等值電路的時(shí)候，對(duì)于多繞組變壓器的任一繞組k，其等效阻抗Zkxy為一確定的值，其中，k=1,2,…,n，x=1,2,…,n，y=1,2,…,n，且x≠y，x≠k，y≠k，必要性得證。

證畢。

基于前文所推導(dǎo)出的多繞組變壓器具有輻射形等值電路的充分必要條件，為簡(jiǎn)便起見，令Zk=Zkxy，k=1,2,…,n。多繞組變壓器輻射形等值電路如圖6所示。

圖6 多繞組變壓器輻射形等值電路模型Fig.6 The radiant equivalent circuit model of multi-winding transformer

4 結(jié) 論

多繞組變壓器在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用非常廣泛，如變壓器隔離型STATCOM、變壓器式可控電抗器、多繞組變壓器型變換器等。輻射形等值電路模型結(jié)構(gòu)清晰簡(jiǎn)單，便于分析，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)多繞組變壓器各繞組的獨(dú)立控制。輻射形等值電路的參數(shù)及等效條件均由變壓器實(shí)際參數(shù)——短路阻抗表示，有助于指導(dǎo)滿足等效條件的多繞組變壓器的設(shè)計(jì)和制造，有利于應(yīng)用了多繞組變壓器的電磁裝置的分析和設(shè)計(jì)，同時(shí)也有利于構(gòu)建滿足等效條件的多繞組變壓器的仿真模型。

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The Necessary and Sufficient Conditions of Multi-winding Transformer Generating Radiant Equivalent Circuit

ZHU Yongqiang,HAO Jiacheng
(State Key Laboratory of Alternate Electrical Power System with Renewable Energy Sources, North China Electric Power University,Beijing 102206,China)

Multi-winding transformer is widely used in power system. But the equivalent circuit model of multi-winding transformer is always complicated, and its parameter is difficult to compute. It is hard to take independent control of each winding. All above factors make it hard to analyze the main circuit of the system and design the controller. The structure of radiant equivalent circuit model is clear and simple, which makes it easy to analyze and control. So it is necessary to study the conditions in which the multi-winding transformer generates radiant equivalent circuit. Based on the concept of mutual inductance coefficient and self-inductance coefficient, this paper gives the sinusoidal steady-state voltage balance equation of each winding. The radiant equivalent circuit model of multi-winding transformer is derived from the voltage equations by ignoring the effects of exciting current. Finally, this paper presents the necessary and sufficient conditions of radiant equivalent circuit with short-circuit impedance.

multi-winding transformer；equivalent circuit；short-circuit impedance

2016-03-11.

國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃)資助項(xiàng)目(2015AA050102).

10.3969/j.ISSN.1007-2691.2016.06.03

TM426

A

1007-2691(2016)06-0013-07

朱永強(qiáng)(1975-)，男，副教授，研究方向?yàn)殡娏﹄娮蛹夹g(shù)、新能源電力變換技術(shù)等；郝嘉誠(chéng)(1992-)，女，碩士研究生， 研究方向?yàn)殡娏﹄娮优c電力傳動(dòng)。