帶有相依利率和保費(fèi)的離散時(shí)間模型的破產(chǎn)問(wèn)題

包振華　魏龍飛

摘要考慮一類具有相依結(jié)構(gòu)的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程，其中利率和保費(fèi)收入過(guò)程為兩個(gè)不同的自回歸移動(dòng)平均模型.利用更新遞歸方法，得到了破產(chǎn)前盈余與破產(chǎn)后赤字的聯(lián)合分布和破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間分布的遞歸計(jì)算公式.

關(guān)鍵詞自回歸移動(dòng)平均模型；破產(chǎn)前盈余；破產(chǎn)后赤字；破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間

中圖分類號(hào)O211.67文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

AbstractWe consider a discrete time risk model with dependent structures， in which two different autoregressive moving average models for interest rates and premiums are assumed. By using renewal recursive technique， the recursive formula for the joint distribution of the surplus before ruin and the deficit after ruin， together with the distribution of the duration of ruin are obtained.

Keywordsautoregressive moving average model； surplus before ruin； deficit after ruin；the duration of ruin

1引言

保險(xiǎn)公司的財(cái)務(wù)狀況和償付能力是保險(xiǎn)人和投保人共同關(guān)心的問(wèn)題，因此研究保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)前盈余和破產(chǎn)后赤字等相關(guān)問(wèn)題是十分必要的[1].另一方面，保險(xiǎn)公司在發(fā)生破產(chǎn)之后，財(cái)務(wù)狀況的惡化程度和困境所持續(xù)的時(shí)間既關(guān)系到保險(xiǎn)公司的前途，又影響著廣大保戶的切身利益.因此，需要進(jìn)一步研究破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間的概率性質(zhì).文獻(xiàn)[2]研究了利率具有一階自回歸結(jié)構(gòu)的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)前一時(shí)刻盈余分布與破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間分布.文獻(xiàn)[3]研究了帶隨機(jī)利率的雙二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)前盈余分布與破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間.文獻(xiàn)[4]研究了自回歸移動(dòng)平均模型（簡(jiǎn)稱ARMA模型）下破產(chǎn)概率滿足的遞歸方程及上界估計(jì).文獻(xiàn)[5]研究了ARMA模型的破產(chǎn)赤字分布的遞推公式及上下界估計(jì).本文進(jìn)一步研究ARMA模型的破產(chǎn)前盈余與破產(chǎn)后赤字的聯(lián)合分布以及破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間，利用更新遞歸方法，得到這些破產(chǎn)量所滿足的遞歸計(jì)算公式.

2模型

5結(jié)論

近年來(lái)，基于時(shí)間序列的利率模型在精算文獻(xiàn)中得到了非常廣泛的關(guān)注.本文考慮了一類基于相依結(jié)構(gòu)的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程，在利率和保費(fèi)收入過(guò)程分別假設(shè)為兩個(gè)不同的自回歸移動(dòng)平均模型的情況下，利用更新遞歸技巧，得到了破產(chǎn)前盈余與破產(chǎn)后赤字的聯(lián)合分布和破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間的遞歸計(jì)算公式，這些結(jié)論可以為保險(xiǎn)實(shí)踐提供一定的決策參考.

參考文獻(xiàn)

[1]Dufresne F，Gerber H U.The surpluses immediately before and at ruin，and the amount of the claim causing ruin[J].Genetics，1998，7（3）：193-199.

[2]孔繁超，于莉.具有相依利息率的離散時(shí)間保費(fèi)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問(wèn)題[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯， 2005， 20（3）：320-326.

[3]唐國(guó)強(qiáng).帶息雙二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問(wèn)題[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2006，23（3）：235-242.

[4]D J YAO ， R M WANG. Upper bounds for ruin probability in two dependent risk models under rates of interest [J]. Applications Stochastic Models Bus.Ind， 2010，26（4）：362-373.

[5]包振華，魏龍飛.一類具有相依結(jié)構(gòu)的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型的赤字分布[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)， 2005， 46（11）：83-90.