R積分理論及其應(yīng)用性研究

張 學(xué) 茂

(泰州學(xué)院數(shù)理學(xué)院,江蘇 泰州 225300)

R積分理論及其應(yīng)用性研究

張 學(xué) 茂

(泰州學(xué)院數(shù)理學(xué)院,江蘇 泰州 225300)

目的 幫助學(xué)生理解R積分理論知識性、結(jié)構(gòu)性、思維性、應(yīng)用技巧性，領(lǐng)悟R積分理論的內(nèi)涵及其應(yīng)用，提高學(xué)生整體歸納、創(chuàng)新應(yīng)用能力。方法 以定積分(一元、二重、三重積分)、曲線積分(第一類型、第二類型)、曲面積分(第一類型、第二類型)為研究對象，從概念的本質(zhì)溯源、內(nèi)在結(jié)構(gòu)分析、思想方法剖析、典型應(yīng)用例舉等方面進行研究。結(jié)果 R積分的本質(zhì)為和式極限，可從形式上進行統(tǒng)一；得到了R積分的內(nèi)在結(jié)構(gòu)框圖、四大公式轉(zhuǎn)化的限制條件；給出微元法中微元選擇標(biāo)準(zhǔn)與依據(jù)；典型應(yīng)用中采用相應(yīng)的獨特方法。結(jié)論 針對R積分呈現(xiàn)定義多、內(nèi)容抽象、形式各異、方法獨特等特征，提出從整體的高度理解其概念本質(zhì)，分析各類積分間的聯(lián)系以及內(nèi)在的轉(zhuǎn)化方法，與實際應(yīng)用相結(jié)合，促進學(xué)生更好地理解R積分的內(nèi)涵，加強對整個理論體系的深入理解與內(nèi)化。

R積分;概念;結(jié)構(gòu);思想;應(yīng)用

R積分理論是數(shù)學(xué)分析課程中極其重要的內(nèi)容，是學(xué)習(xí)實變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、泛函分析、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等課程的基礎(chǔ)，對學(xué)生思維方式的培養(yǎng)起著至關(guān)重要的作用[1]。從內(nèi)容而言，R積分包含一元積分、多元定積分、線積分、面積分等諸多內(nèi)容；從學(xué)習(xí)時間跨度而言，R積分貫穿數(shù)學(xué)分析課程全部學(xué)習(xí)過程(一般橫跨3～4個學(xué)期)；從應(yīng)用而言，R積分在物理、幾何、經(jīng)濟、機械、醫(yī)學(xué)衛(wèi)生、統(tǒng)計等方面均有著廣泛的應(yīng)用；從思想方法而言，R積分經(jīng)歷了“分割”、“近似替代”、“求和”、“取極限”的過程，蘊含著“以直代曲”、“以不變代變”等數(shù)學(xué)思想。其內(nèi)涵豐富、思想深邃[2]。張景中教授提出了公理化定義法[3]和微積分的初等化[4]。關(guān)于R積分概念教學(xué)與應(yīng)用性教學(xué)改革的成果不勝枚舉[5-11]，這些成果有力地推動了高?；A(chǔ)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)改革,從各個側(cè)面剖析了R積分理論的深邃內(nèi)涵。但這些成果大部分集中于對一元定積分的研究。R 積分的整體性研究僅局限于形式的統(tǒng)一性，深層次的結(jié)構(gòu)性文獻較罕見。本課題組經(jīng)過長期的研究，對R積分的概念本質(zhì)、內(nèi)在結(jié)構(gòu)、思想方法、應(yīng)用例舉等方面進行了剖析與探究，得到了較有價值的研究成果，有利于幫助學(xué)生理解其知識性、結(jié)構(gòu)性、思維性和應(yīng)用技巧性，領(lǐng)悟R積分理論的內(nèi)涵及其應(yīng)用，不斷提高分析問題、解決問題的能力。

1 R積分概念本質(zhì)

由定義1可知：①Ω是有界閉區(qū)域，Ωi是閉連通的(可度量)；②λ(τ)→0確保分割充分細；③極限不受分割及Pi取法的影響。在這幾個條件下稱f(P)在Ω上R可積。結(jié)合極限的定義，可得到f(P)在Ω上R可積的充分必要條件：

從定義1和定理1可知，對應(yīng)R積分的應(yīng)用對象不同，即Ω為不同的可測量幾何體，則有不同的相應(yīng)的積分形式：

當(dāng)Ω為曲線l沿x,y軸方向分解時,積分為：

當(dāng)Ω為曲面S沿yOz,zOx,xOy面分解時,積分為：

對于第二類型的曲線積分、曲面積分若采用向量記號也可對其形式進行統(tǒng)一[6]。通過對概念的要素、表現(xiàn)形式進行適當(dāng)分析，將有利于幫助學(xué)生對概念的內(nèi)涵本質(zhì)(和式極限)及外在表現(xiàn)形式形成整體的認(rèn)識，重新構(gòu)建自身新的知識與能力結(jié)構(gòu)。避免因內(nèi)容形式較多、定義抽象、表現(xiàn)方式和條件復(fù)雜而不易為學(xué)生所接受與掌握，甚至出現(xiàn)張冠李戴的困境。有利于學(xué)生對知識的重組與認(rèn)識，進一步提升他們整理、歸納、深化加工數(shù)學(xué)概念的能力。

2 R積分內(nèi)在結(jié)構(gòu)

R積分呈現(xiàn)定義多、內(nèi)容雜、形式各異等特征。僅就其外在形式而言,就有7種之多,這對初學(xué)者來說將是巨大的挑戰(zhàn)。對于這一龐大的知識體系,若能清楚地刻畫出各類積分間的聯(lián)系以及它們內(nèi)在的轉(zhuǎn)化關(guān)系，無論是計算方法,還是變量個數(shù)變化,都將有利于學(xué)生真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識、計算方法與技巧，掌握其蘊含的工具性、思想性，從而不斷完善思維，學(xué)會學(xué)習(xí),養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,對樹立終身性學(xué)習(xí)信念大有裨益。

圖1 R積分各類積分框圖

通過對R積分(各類積分)內(nèi)在結(jié)構(gòu)的剖析，使學(xué)生理解R積分所有的計算最終都歸結(jié)于定積分的計算。只要掌握了各類積分相互轉(zhuǎn)化的方法及其與定積分計算間的聯(lián)系，那么R積分的計算問題就十分容易解決。同時從結(jié)構(gòu)圖中還應(yīng)深刻理解如下2個方面的內(nèi)涵:

格林公式是將沿閉區(qū)域邊界線L的第二類型的曲線積分和二重積分相聯(lián)系：

高斯公式是將沿空間區(qū)域V的邊界線的第二類曲面積分和V上的三重積分相聯(lián)系：

斯托克斯公式則是將沿閉曲面邊界L的第二類型的曲線積分和封閉曲面S上的第二類型的曲面積分相聯(lián)系：

當(dāng)然以上四大公式的應(yīng)用都是有相應(yīng)具體條件的，在實際應(yīng)用中要加以注意。如格林公式積分區(qū)域的邊界是封閉的，如要利用這個公式，必須“補上”特殊路徑，構(gòu)成封閉路徑，在結(jié)果中再將“補上”部分的結(jié)果去掉。

2)R積分具有的性質(zhì)：

這些性質(zhì)與一元定積分的性質(zhì)相似，易于學(xué)生理解與掌握，從而形成演繹思維能力。

3 R積分的思想方法

數(shù)學(xué)思想是知識的靈魂，方法是知識應(yīng)用的橋梁。只有理解了R積分的思想方法，才能在研究和解決問題時較容易運用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識，構(gòu)建合適的數(shù)學(xué)模型，探求出最佳路徑。R積分蘊含著重要的數(shù)學(xué)思想方法——微元法。微元是R積分應(yīng)用的關(guān)鍵要素，微元選擇的精確性，不僅關(guān)系對R積分理論理解的深刻性，還關(guān)系到對微元本質(zhì)的界定和所求量的正確性。在微元法中，微元是如何獲得的呢？是否是“以直代曲、以均勻代不均勻、以不變量代變量”中那“微小的部分”呢？先從如下的定義來研究與分析：

定義2[5]在任意區(qū)間[x,x,+Δx]?[a,b]若能把φ的微小增量Δφ近似表示成Δx的線性主體形式，即Δφ≈f(x)Δx，其中f(x)為一連續(xù)的函數(shù)，且當(dāng)Δx→0時，Δφ=f(x)Δx+o(Δx)，dφ=f(x)dx稱為φ的微元。

定義2′[6]若f(x)在有界閉區(qū)域Ω上可積，在區(qū)域Ω任取一微小區(qū)域Δv，該區(qū)域部分增量Δφ的近似值記為dφ=f(x)dx，稱為φ的微元。

以上2個定義都隱含著這樣的2個條件：

(1)可測幾何體φ在分布區(qū)間中是代數(shù)可加的；

(2)Δφ為微分，是Δv的線性主體部分，即Δφ=f(p)dv+o(Δv)。

Δφ的近似值很多，但用f(p)Δv近似替代時，誤差必須是一個比Δv更高階的無窮小量。這是微元的核心與關(guān)鍵條件，若理解不透徹，將無法確保證微元的精確性，得出不同且不易判別的結(jié)果，產(chǎn)生混亂性思維，影響問題的解決，也挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。

例1 探求區(qū)間[a,b]上的光滑曲線f(x)>0繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面的面積。

圖2 曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周之圖

4 R積分應(yīng)用舉例與分析

圖3 曲邊梯形圖示

弗萊登塔說過：要改進微積分的教學(xué)，只有一個方法，那就是盡量把它和現(xiàn)實聯(lián)系起來，若抽象的內(nèi)容不聯(lián)系實際，在學(xué)生眼里，它只能是散亂而毫無價值的東西。R積分內(nèi)容抽象、方法獨特、應(yīng)用廣泛，只有將其與實際應(yīng)用相結(jié)合，才能促進學(xué)生更好地理解R積分的內(nèi)涵。這里只選取在計算方法、微元選擇、應(yīng)用領(lǐng)域相對較獨特的例子，通過這些思想方法、知識體系分析與研究，進一步加強學(xué)生對R積分理論的準(zhǔn)確把握和正確應(yīng)用，不斷提高學(xué)生的總結(jié)應(yīng)用能力與創(chuàng)新能力，從而加強對整個理論體系的深入理解與內(nèi)化。

例2 圖3所示：求曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的體積。

該問題的獨特性在于巧取微元，直接計算，而不是利用求旋轉(zhuǎn)體的體積公式來求，進一步樹立了定義解題的典范，充分顯示了微元的巨大魅力。

方法2:針對這類含x2+y2形式的問題，還可用極坐標(biāo)變換。

圖4 積分區(qū)域D之圖

這是教材[5]的一道習(xí)題，若按常規(guī)解法，可用積分換元，而積分換元有兩種方法：

①作變換u=x-y,v=x+y，則雅可比行列式

②作變換u=x+y,v=x-y，則雅可比行列式

圖5 第一種變換對應(yīng)圖 圖6 第二種變換對應(yīng)圖

究其原因是：作第一種變換時，(x,y)沿D的邊界曲線逆時針行走時，其對應(yīng)點(u,v)沿其邊界線也是逆時針方向，兩者是一致的，故雅可比行列式為正(見圖4)；作第二種變換時，(x,y)沿D的邊界曲線逆時針行走時，其對應(yīng)點(u,v)沿其邊界線卻是順時針方向，兩者方向相反，故雅可比行列式為負(見圖5)；但顯然SD>0。當(dāng)然，還有可以用整體換元法取微元的方法來解，更簡單明了。

解：因為點(x,y,z)在球面x2+y2+z2=R2上，由對稱性和高斯公式可得：

該例題充分利用了輪換對稱性。當(dāng)然在運用時要注意是區(qū)域的對稱性還是函數(shù)的奇偶性。通過輪換對稱性可以將積分區(qū)域、積分計算大大簡化。(部分函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為零)。

該例題將離散的有限項和轉(zhuǎn)化為連續(xù)的定積分,除了充分應(yīng)用定積分的概念解題外,還充分顯示了離散與連續(xù)變換的思想。

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[責(zé)任編輯：關(guān)金玉 英文編輯：劉彥哲]

R Integral Theory and Its Application Research

ZHANG Xue-mao

(School of Mathematics and Sciences,Taizhou College,Taizhou,Jiangsu 225300,China)

Objective To help students understand the informative, structural,thinking characteristics and applications of Riemann integral and pick up the connotation of Riemann integration theory and its applications,and to improve the ability of overall induction and application innovation of students.Methods By taking definite integral(one variable,double integral,triple integral),curvilinear integral(the first type,the second type),surface integral(the first type,the second type)as research objects,the research and exploration were carried out from the following aspects such as the essence of the concept origin,the internal structure analysis,the analysis of thinking method and the typical application examples.Results The essence of Riemann integral is sum limits and it may be unified in form.The inner structure of R integral and the constraints of transformation of four main formulas were obtained.The standard and basis of for infinitesimal element in infinitesimal method were reached.The corresponding methods should be adopted for typical applications.Conclusion For multiple definitions,abstract content,different forms and unique method of R integral,it should be from the viewpoint of a whole to understand the essence of the concept and analyze the relationship between all kinds of integral and their inner transformation methods.The understanding and internalization of the whole theoretical system should be strengthened to promote students’ understanding of its connotation by combining theory with practical application.

R integral;concept;structure;thought;application

江蘇省大學(xué)生實踐創(chuàng)新訓(xùn)練項目(201512917020X)；泰州學(xué)院教改項目(2014JGA06)

張學(xué)茂(1970-),男，江蘇姜堰人，副教授，碩士。主要研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

O 175.2

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2016.11.001

來稿日期：2016-05-20