多重狀態(tài)時滯系統(tǒng)的min-max魯棒預(yù)測控制

周衛(wèi)東，鄭 蘭，廖成毅，蔡佳楠

（1．哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001；2．中國船舶及海洋工程設(shè)計(jì)研究院，上海200011；3．中國電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所，安徽合肥230088）

多重狀態(tài)時滯系統(tǒng)的min-max魯棒預(yù)測控制

周衛(wèi)東1，鄭 蘭1，廖成毅2，蔡佳楠3

（1．哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001；2．中國船舶及海洋工程設(shè)計(jì)研究院，上海200011；3．中國電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所，安徽合肥230088）

針對一類帶有擾動、多重狀態(tài)時滯的凸多面體不確定離散非線性系統(tǒng)，基于預(yù)測控制理論提出一種minmax魯棒預(yù)測控制算法。將模型預(yù)測控制問題描述為一類無限時域min-max優(yōu)化問題；采用LMI技術(shù)把此問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐活惒捎肔MI描述的約束問題，設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器；運(yùn)用所給信息構(gòu)造一個改進(jìn)的Lyapunov-Krasovskii泛函，根據(jù)模型預(yù)測控制基本原理來求解此優(yōu)化問題，同時給出了控制器存在的定理及相關(guān)證明，進(jìn)而獲得所設(shè)計(jì)控制器存在的新判據(jù)及狀態(tài)反饋矩陣構(gòu)造方法，在此基礎(chǔ)上給出了魯棒模型預(yù)測控制算法流程。最后，給出了閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)魯棒穩(wěn)定定理，理論及仿真分析驗(yàn)證了控制器設(shè)計(jì)的可行性及系統(tǒng)的魯棒漸近穩(wěn)定性。

非線性擾動；多重狀態(tài)時滯；離散非線性系統(tǒng)；狀態(tài)反饋控制；模型預(yù)測控制；線性矩陣不等式

模型預(yù)測控制（model predictive controlMPC）具有模型預(yù)測、滾動優(yōu)化和反饋校正三個主要特性。對模型要求低、設(shè)計(jì)簡單、魯棒性強(qiáng)而且能夠有效的處理狀態(tài)、控制等方面的約束問題，在工業(yè)界受到廣泛的關(guān)注［1］。

在實(shí)際生產(chǎn)過程中不確定性與擾動是不可避免且無法預(yù)知的，而魯棒預(yù)測控制因其既具備魯棒控制的優(yōu)點(diǎn)，可以處理模型的不確定性，又兼具預(yù)測控制的滾動優(yōu)化思想，彌補(bǔ)了經(jīng)典MPC的不足，因此得到學(xué)者們的極大重視［2-8］。文獻(xiàn)［2］基于LMI方法給出了一類具有時變時滯、輸入約束和擾動的離散系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)方法；文獻(xiàn)［3］解決了前提不匹配情況下T-S模糊時滯系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問題，該文降低了設(shè)計(jì)的保守性；文獻(xiàn)［4-5］針對具有輸入約束的離散時滯系統(tǒng)通過LMI技術(shù)研究了一種魯棒模型預(yù)測控制器設(shè)計(jì)方法，但是在時滯為常數(shù)時研究的；文獻(xiàn)［6］采用魯棒預(yù)測控制方法研究了一類帶有非線性擾動的多重時滯不確定系統(tǒng)的控制律設(shè)計(jì)問題，但所考慮的系統(tǒng)為連續(xù)的；文獻(xiàn)［7］解決了一類帶有區(qū)間時滯的離散非線性系統(tǒng)的預(yù)測控制器設(shè)計(jì)問題；文獻(xiàn)［8］研究了一類時滯為多重的不確定離散線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)方法，所提方法保證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與可行性。然而，有關(guān)多重狀態(tài)時滯與擾動同時存在的不確定離散非線性系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制問題還有待進(jìn)一步研究。本文在文獻(xiàn)［7-8］的基礎(chǔ)上，討論了一類既具有非線性擾動又同時存在多重狀態(tài)時滯的不確定離散非線性系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制器設(shè)計(jì)問題。

1 問題描述與預(yù)備知識

記號:Rn為n維歐幾里德空間，Rn×m為n×m維實(shí)矩陣的集合，In為n×n維單位矩陣。符號?代表相應(yīng)的對稱塊矩陣，即如果H，R是對稱矩陣，則

考慮如下一類具有多重狀態(tài)時滯和非線性擾動的不確定離散非線性系統(tǒng):

式中:x（k）∈Rnx是系統(tǒng)的狀態(tài)，u（k）∈Rnu為系統(tǒng)的輸入，f（x（k），x（k-d1），…，x（k-dm））是非線性擾動，為方便表述，令fk:=f（x（k），x（k-d1），…，x（k-dm）），且滿足:

式中:0＜d1＜…＜dm表示系統(tǒng)的時滯，x（k）= φ（k），-dm≤k≤0是系統(tǒng)的初始條件。系統(tǒng)（1）中的系統(tǒng)矩陣是未知的，并且可以表示成凸組合的形式，即

其中

式中:Co表示由L個頂點(diǎn)［A01A11…Am1B01］，…，［A0LA1L…AmLB0L］構(gòu)成的凸多面體集，即存在L個非負(fù)系數(shù)0≤λi（k）≤1（i=1，2，…，L），使得

系統(tǒng)（1）的模型預(yù)測控制問題可描述為如下問題:設(shè)計(jì)一種魯棒預(yù)測控制器使所研究系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定同時獲得下面的魯棒性能指標(biāo)，即需要考慮如下min-max優(yōu)化問題:

式中:Q1＞0為性能指標(biāo)中狀態(tài)的對稱加權(quán)矩陣，R＞0為控制的對稱加權(quán)矩陣表示k時刻對k+j時刻輸入的預(yù)測表示k時刻對k+j時刻狀態(tài)的預(yù)測，并且有

式（6）表示未來控制輸入的無限時域和系統(tǒng)預(yù)測狀態(tài)的二次魯棒性能指標(biāo)，式（7）表示系統(tǒng)的狀態(tài)預(yù)測模型。

針對系統(tǒng)（1），設(shè)計(jì)如下的狀態(tài)反饋控制律:

控制目標(biāo):求取所設(shè)計(jì)控制器中的增益矩陣K，并要求控制輸入使得閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

針對系統(tǒng)（1），構(gòu)造如下的Lyapunov-Krasovskii函數(shù):

假設(shè)在每一個k≥d1時刻是可測量的。在k時刻，假設(shè)對所有的［A0（k） A1（k）…Am（k） B（k）］∈Ω，i≥0，有下式成立:

其中

為了使J∞(k)有界，令因此將不等式（10）兩邊同時從j=0到 j=∞求和，可得

因此:

根據(jù)本文所需先給出下面的兩個引理。

引理1［9］（Schur補(bǔ)）矩陣不等式:

式中:Q( x)=QT(x)，R( x)=RT(x)，S( x)是關(guān)于x的仿射函數(shù)，則式（13）等價于:1）Q( x)＞0，R( x)-ST(x)Q-1(x)S( x)＞0；2）R( x)＞0，Q( x)-S( x)R-1(x)ST(x)＞0。

引理2［10］設(shè)W0(x)和W1(x)都是關(guān)于x∈Rn的二次函數(shù)，如果對任意的x∈Rn-{0}，有W1(x)＜0，并且存在常數(shù)ρ＞0使得

W0(x)-ρW1(x)＜0， x≠0（14）

成立，則有W0(x)＜0。

2 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

2．1 基于LMI的模型預(yù)測控制器設(shè)計(jì)

定理1考慮含有延時的離散不確定時滯系統(tǒng)（1），同時令為采樣k時刻狀態(tài)x（k）的測量值。如果存在標(biāo)量γ（k）＞0，ρ＞0，對稱的正定矩陣Q，Qdi，P0，Pd1，…，Pdm和適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y滿足下述形式的LMI優(yōu)化問題，那么一定存在狀態(tài)反饋控制律u滿足性能目標(biāo)（10），其中狀態(tài)反饋增益K=YQ-1。

其中

證明:由于式（9）是性能指標(biāo)的上界，可以通過求解下面的問題把這個界減至最低:

其中，

應(yīng)用Schur補(bǔ)，式（18）可寫為

將式（19）分別左乘和右乘矩陣diag( I，P)，則有

則不等式（16）成立。下面將證明不等式（17）成立。

取Lyapunov-Krasovskii函數(shù)（9），對它求差分有

則

其中

通過計(jì)算:

進(jìn)一步:

把式（22）～（24）代入到式（21），有

其中

考慮式（10）和u（k）=Kx（k），設(shè)

其中，Θ2=diag( Pd1-P0+Q1+KTRK，-Pd1，…，-Pdm，0)又因?yàn)槭剑?）可以寫成:

其中

根據(jù)引理2，存在數(shù)λ＞0使得W0(x)-λW1(x)＜0成立，則W0(x)＜0，即

其中

再利用Schur補(bǔ)有

其中

又因?yàn)槭疥P(guān)于系統(tǒng)矩陣滿足［A0（k） A1（k）…Am（k） B（k）］∈Ω，根據(jù)凸集的基本性質(zhì)，式（31）成立當(dāng)且僅當(dāng)對凸包Ω的每個頂點(diǎn)都成立，即式（31）成立當(dāng)且僅當(dāng)式（17）成立。

2．2 控制算法

綜合上面的控制器設(shè)計(jì)過程，系統(tǒng)（1）的控制算法如下:

1）測量當(dāng)前時刻系統(tǒng)的狀態(tài)x（k），并獲得過去時刻的狀態(tài)x（k-1），…，x（k-d1），…，x（k-dm）；

3）選擇適當(dāng)?shù)膶ΨQ正定矩陣Q1和R；

4）定義優(yōu)化問題（5）～（7）中的各個變量，標(biāo)量γ（k）＞0，ρ＞0，正定對稱矩陣Q，Qdi，P，Pd1，…，Pdm和適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y；

5）用MATLAB中的LMI工具箱求解優(yōu)化問題（5）～（7），得到最優(yōu)解γ（k），ρ，Y，Q，Qdi，P0，Pd1，…，Pdm；

6）計(jì)算出狀態(tài)反饋預(yù)測控制控制器增益矩陣K=YQ-1；

8）令k=k+1，重復(fù)步驟1）～7）。

2．3 可行性與穩(wěn)定性分析

引理3［11］（可行性） 如果定理1中該優(yōu)化問題在k時刻是可行的，那么它對所有k+j，j＞0都是可行的。

定理2如果優(yōu)化問題（5）～（7）在k時刻是可行的，則由定理1給出的狀態(tài)反饋控制器u（k）= Kx（k）使閉環(huán)系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定。

證明由引理3可知最優(yōu)化問題（5）～（7）是可行的。所以假設(shè)分別表示最優(yōu)化問題（5）～（7）在k時刻和k+1時刻的最優(yōu)解，最優(yōu)狀態(tài)分別為和

由上述假設(shè)可知:

這里i=1，2，…，d1，…，dm。則有

又因?yàn)闇y量狀態(tài)

式（35）說明V( k｜k)是單調(diào)非增且有界的Lyapunov函數(shù)，當(dāng)k→∞時，有x( k)→0。由離散Lyapunov穩(wěn)定性理論可以說明閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定。

3 仿真結(jié)果與分析

考慮如下帶有非線性擾動、時滯和凸多面體不確定的離散非線性系統(tǒng):

其中

圖1 狀態(tài)x1(k)的時間響應(yīng)曲線Fig．1 Time response of the state x1(k)

圖3是控制器曲線圖，可以看出在該控制器的作用下，系統(tǒng)是穩(wěn)定的而且性能也很好。

4 結(jié)論

1）基于LMI技術(shù)及變量變換思想提出了一種min-max魯棒預(yù)測控制算法，將時域?yàn)闊o限時的最小、最大優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為一類凸優(yōu)化問題。解決了一類同時帶有多重狀態(tài)時滯、擾動和多面體不確定離散非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問題。

2）算法通過利用所構(gòu)造的改進(jìn)的二次Lyapunov-Krasovskii泛函得到了所設(shè)計(jì)的控制器存在的新判據(jù)。應(yīng)用LMI技術(shù)得到的魯棒預(yù)測控制器，保證了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，并分析了控制算法的可行性。

3）最后的仿真結(jié)果表明了該方法的有效可行。

［1］何德峰，丁寶蒼，于樹友．非線性系統(tǒng)模型預(yù)測控制若干基本特點(diǎn)與主題回顧［J］．控制理論與應(yīng)用，2013，30（3）:273-287．HE Defeng，DING Baocang，YU Shuyou．Review of fundamental properties and topics of model predictive control for nonlinear systems［J］．Control theory＆applications，2013，30（3）:273-287．

［2］趙杰梅，胡忠輝，張利軍．區(qū)間時滯相關(guān)離散非線性系統(tǒng)的魯棒模型預(yù)測控制［J］．控制與決策，2015，30（1）: 59-64．ZHAO Jiemei，HU Zhonghui，ZHANG Lijun．Robust model predictive control for discrete-time nonlinear systems with delay-range-dependent［J］．Control and decision，2015，30（1）:59-64．

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［11］KOTHARE M V，BALAKRISHNAN V，MORARI M．Robust constrained model predictive control using linear matrix inequalities［J］．Automatica，1996，32（10）:1361-1379．

Min-max robust predictive control for multi-state time-delay systems

ZHOU Weidong1，ZHENG Lan1，LIAO Chengyi2，CAI Jianan3
（1．College of Automation，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China；2．Marine Design and Research Institute of China，Shanghai 200011，China；3．China Electronics Technology Group Corporation No．38 Research Institute，Hefei 230088，China）

For a class of convex polyhedron uncertain discrete nonlinear systems with disturbance and multi-state time delays，a min-max robust predictive control algorithm is proposed based on the predictive control theorem．Firstly，the model prediction control problem is described as a class of min-max problems for an infinite time-domain．Then，using liner matrix inequalitie（LMI）technology，the problem is transformed into a constraint problem and a state feedback controller designed．An improved Lyapunov-Krasovskii function is constructed using information provided，and the optimization problem is solved based on model predictive control theory．At the same time，the theorem and its proofs for the existence of the designed controller are also given．Thus，new evidence for the existence of a designed controller and a design method for the state feedback matrix were obtained．Based on this，a flowchart of the robust model predictive controller is given．Finally，a robust asymptotic stable theory of the closedloop system is given．Theoretical analysis and simulation demonstrate the feasibility of the controller and the robust asymptotic stability of the system．

nonlinear perturbation；multi-state time-delay；discrete nonlinear system；state feedback control；model predictive control；liner matrix inequalitie

10．11990／jheu．201510071

http：／／www．cnki．net／kcms／detail／23．1390．u．20160928．0936．020．html

TP273

A

1006-7043（2016）12-1685-06

周衛(wèi)東，鄭蘭，廖成毅，等．多重狀態(tài)時滯系統(tǒng)的min-max魯棒預(yù)測控制［J］．哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，37（12）:1685-1690．

2015-10-28．

2016-09-28．

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61102107；61374208）．

周衛(wèi)東（1966-），男，教授，博士生導(dǎo)師；

鄭蘭（1982-），女，博士研究生．

鄭蘭，E-mail:zhenglan000＠163．com．

ZHOU Weidong，ZHENG Lan，LIAO Chengyi，et al．Min-max robust predictive control for multi-state time-delay systems［J］．Journal of Harbin Engineering University，2016，37（12）:1685-1690．