基于FRFT窄帶濾波的LFM信號研究*

王瑜，李小波，周青松，黃中瑞

（電子工程學(xué)院，合肥230037）

基于FRFT窄帶濾波的LFM信號研究*

王瑜，李小波，周青松，黃中瑞

（電子工程學(xué)院，合肥230037）

隨著分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域窄帶濾波技術(shù)的不斷應(yīng)用與發(fā)展，對分?jǐn)?shù)階域窄帶濾波帶寬的研究將變得尤為重要。研究了分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域窄帶濾波帶寬與濾波后信號之間的關(guān)系，并以信號的失真度為準(zhǔn)則，分析了分?jǐn)?shù)階域窄帶濾波帶寬的臨界值。理論分析和仿真結(jié)果表明：線性調(diào)頻信號經(jīng)過分?jǐn)?shù)階域窄帶濾波后信號的相位沒有發(fā)生改變，信號的幅度為辛克函數(shù)積分的形式。為保證LFM信號頻率信息不丟失，分?jǐn)?shù)階域窄帶濾波的帶寬必須不小于LFM信號在分?jǐn)?shù)階域幅度譜的主瓣寬度。為分?jǐn)?shù)階域濾波帶寬的選取提供了參考標(biāo)準(zhǔn)。

分?jǐn)?shù)階域窄帶濾波，線性調(diào)頻信號

0 引言

近年來隨著分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（Fractional Fourier Transform，F(xiàn)RFT）技術(shù)的不斷應(yīng)用和發(fā)展，其對線性調(diào)頻信號的獨特性質(zhì)在雷達(dá)領(lǐng)域越來越受到人們的重視［1-2］。線性調(diào)頻信號是雷達(dá)常用的信號樣式，見文獻(xiàn)［3-6］。

然而，以上均未研究經(jīng)分?jǐn)?shù)階域窄帶濾波的信號其幅度，相位是否發(fā)生變化以及合適的分?jǐn)?shù)階域窄帶濾波帶寬的選取標(biāo)準(zhǔn)。

本文研究了分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域窄帶濾波帶寬與濾波后信號之間的關(guān)系，并分析得出了分?jǐn)?shù)階域窄帶濾波帶寬的最小值為LFM信號在分?jǐn)?shù)階域幅度譜的主瓣寬度。

1 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換

1.1 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的定義

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換是一種重要的時頻分析工具，是傅里葉變換的一種廣義形式，信號的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換可以解釋為信號在時頻平面內(nèi)繞原點旋轉(zhuǎn)任意角度后所構(gòu)成的分?jǐn)?shù)階傅里葉域上的表示。x（t）的p階FRFT是一個線性積分運算：

其中，p表示信號FRFT的階數(shù)，Kp（t，u）稱為FRFT的核函數(shù)。其表達(dá)式為：

1.2 LFM信號的FRFT幅度譜

設(shè)發(fā)射的LFM信號為：

f0為載頻，k為線性調(diào)頻信號斜率，φ為信號的初始相位。rect（t/T）表示為脈寬為T的矩形脈沖。其分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的表達(dá)式為：

而k=-cotα，將式（4）帶入式（5）得：

2 分?jǐn)?shù)階域窄帶濾波

2.1 分?jǐn)?shù)階域濾波帶寬對信號的影響

而（α，u0）為分?jǐn)?shù)階域的峰值點，為信號時延，2u1為分?jǐn)?shù)階域的窄帶濾波帶寬。對式（8）進(jìn)行分?jǐn)?shù)階逆變換，則：

其中：

由卷積表達(dá)式可交換卷積順序，則：

2.2 分?jǐn)?shù)階域的濾波帶寬的選取

對式（4）的信號進(jìn)行任意階分?jǐn)?shù)階傅里葉變換得：

從式（16）可以看出信號Sp+1（u）為復(fù)正弦信號。

圖1 分?jǐn)?shù)階域的時頻表示

為了更加直觀地理解，圖1為信號在分?jǐn)?shù)階域的時頻表示。由圖1可得其信號Sp+1（v）的脈寬為，而由分?jǐn)?shù)階傅里葉的性質(zhì)可知圖1的p域上的信號S（pu）可以看成是Sp+（1v）的頻譜，由文獻(xiàn)［6］可知對于有限長的單頻信號其脈寬為對應(yīng)帶寬為1/，因為Sp+（1v）信號脈寬為。所以，Sp（u）的帶寬為，為使信號不嚴(yán)重失真，必須保證帶寬內(nèi)的信號不損失，所以分?jǐn)?shù)階域窄帶濾波帶寬必須不小于Sp（u）的帶寬，即，對應(yīng)于原時域信號而言，只有分?jǐn)?shù)階域濾波帶寬u1≥時，原LFM信號帶寬內(nèi)的主要頻率信息不會丟失，信號的失真小。由此可知，保證信號不嚴(yán)重失真，分?jǐn)?shù)階域濾波帶寬必須不小于LFM信號的分?jǐn)?shù)階域幅度譜的主瓣寬度即u≥2um。

3 仿真實驗

3.1 濾波帶寬對信號時域波形的仿真

仿真條件：線性調(diào)頻信號（LFM）帶寬B=1e6Hz，脈寬T=150e-6s，采樣率fs=4e6Hz，經(jīng)過不同分?jǐn)?shù)階域的窄帶濾波帶寬u1濾波后再逆變換恢復(fù)信號的樣式如圖2所示：

圖2 u1為1 us時恢復(fù)信號的波形

圖3 u1為1 us時C的包絡(luò)

圖4 u1為10 us時恢復(fù)信號的波形

圖5 u1為10 us時C的包絡(luò)

圖2和圖4分別為采用Ozaktas［8］離散算法分?jǐn)?shù)階傅里葉變換模擬回波LFM信號經(jīng)過分?jǐn)?shù)階域濾波后的波形，圖3和圖5為公式推導(dǎo)得出的C包絡(luò)，驗證公式推導(dǎo)的正確性，由于采用的是Ozaktas離散分?jǐn)?shù)階傅里葉變換算法所以理論推導(dǎo)得出C的波形與實際的分?jǐn)?shù)階域濾波所提取的信號的波形上有所差別。但并不影響公式推導(dǎo)的正確性。從上圖可以說明分?jǐn)?shù)階域窄帶濾波帶寬越窄，恢復(fù)的信號波形失真越大。

3.2 波形失真對脈壓的影響

恢復(fù)的信號經(jīng)過匹配濾波z（t）=con v（y（t），s*（-t）），通過分析匹配濾波輸出峰值的位置，說明信號失真對脈壓的影響，仿真條件如圖6所示：

圖6 脈壓峰值位置的變化曲線

由圖6可知，當(dāng)分?jǐn)?shù)階域的窄帶濾波帶寬u1＜um=1e-6時經(jīng)過脈壓后的峰值位置與濾波帶寬u1＞um=1e-6時脈壓后的峰值位置有所偏差，這也說明了當(dāng)分?jǐn)?shù)階域的窄帶濾波帶寬u1＜um=1e-6時的信號失真較大，導(dǎo)致信號丟失了原有信號的一些頻率信息，所以為保證信號不嚴(yán)重失真，分?jǐn)?shù)階域濾波帶寬必須為u1≥um時信號的帶寬內(nèi)的頻率信息才不會嚴(yán)重丟失。

4 結(jié)論

線性調(diào)頻信號經(jīng)過分?jǐn)?shù)階域窄帶濾波后信號的相位沒有發(fā)生改變，信號的幅度為辛克函數(shù)積分的形式。為保證LFM信號頻率信息不丟失，分?jǐn)?shù)階域窄帶濾波的帶寬必須不小于LFM信號在分?jǐn)?shù)階域幅度譜的主瓣寬度。為分?jǐn)?shù)階域濾波帶寬的選取提供了參考標(biāo)準(zhǔn)。

［1］林文耀.分?jǐn)?shù)階Fourier在SAR目標(biāo)檢測和成像中的應(yīng)用研究［D］.杭州：浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，2009.

［2］李林.基于分?jǐn)?shù)階變換的干擾抑制技術(shù)［D］.成都：西南交通大學(xué)，2006.

［3］徐會法，劉鋒.線性調(diào)頻信號分?jǐn)?shù)階頻譜特征分析［J］.信號處理，2010，26（12）：1896-1901.

［4］齊林，陶然，周思永，等.基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的線性調(diào)頻信號的自適應(yīng)時頻濾波［J］.兵工學(xué)報，2003，24（4）：499-503.

［5］周青松，王文濤，王珽，等.盲分離算法和FRFT聯(lián)合抗雷達(dá)主瓣干擾技術(shù)研究［J］.信號處理，2015，31（8）：1004-1011.

［6］楊衛(wèi)莉，郭雷，趙天云，等.融合對數(shù)極坐標(biāo)和改進(jìn)窄帶法的圖像分割方法［J］.火力與指揮控制，2008，33（2）：8-12.

［7］丁鷺飛，耿富錄.雷達(dá)原理［M］.3版.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2006.

［8］OZAKTAS H M，ARIKAN O.Digital computation of the Fractional fourier transform［J］.IEEE Trans.Signal Processing，1996，44（9）：2141-2150.

Study of LFM Signal Based on FRFT Domain Narrowband Filter

WANG Yu，LI Xiao-bo，ZHOU Qing-song，HUANG Zhong-rui
（Electronic Engineering Institute，Hefei 230037，China）

With the application and development of FRFT domain narrowband filter technology，so the study of FRFT domain narrowband filter bandwidth will become particularly important.In this paper the relationship between the FRFT domain narrowband filter bandwidth and the signal after filtering are studied and the fractional domain narrowband filter bandwidth threshold with the signal distortion as a criterion is analyzed.The theoretical analysis and simulation results show：By the FRFT domain narrowband filtering the phase of linear frequency modulation signal has no changing and the amplitude of linear frequency modulation signal is the form of the integration of Sinc function.And In order to ensure the LFM signal frequency information integrity the bandwidth of the fractional domain narrowband filter must be no less than the main lobe width of LFM signal amplitude spectrum in fractional domain and provides a reference standard for the fractional domain filtering bandwidth selection.

FRFT domain narrowband filter，linear frequency modulation signal

TN713

A

1002-0640（2016）12-0041-03

2015-11-09

2015-12-27

國家自然科學(xué)基金（61171170）；安徽省自然科學(xué)基金資助項目（1408085QF115）

王瑜（1990-），男，黑龍江巴彥人，碩士研究生。研究方向：雷達(dá)抗主瓣干擾技術(shù)。