基于穩(wěn)定性的復(fù)合材料層合板鋪層順序優(yōu)化

何旋等

摘 要：應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)復(fù)合材料層合板的鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，以提高層合板結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，并通過剛度等效的思想，結(jié)合鋪層順序代理模型實(shí)現(xiàn)優(yōu)化目的。利用單層正交各向異性板的彈性模量、泊松比、剪切模量等屬性模擬不同鋪層順序的層合板剛度，在此基礎(chǔ)上，提出鋪層順序代理模型，并推導(dǎo)鋪層順序代理模型與剛度等效模型間的數(shù)學(xué)關(guān)系，將對(duì)離散的鋪層順序變量的優(yōu)化轉(zhuǎn)化為對(duì)連續(xù)變量的優(yōu)化。算例中利用該優(yōu)化方法求解層合板的具有最優(yōu)抗失穩(wěn)特性的鋪層順序，通過優(yōu)化設(shè)計(jì)顯著提高了層合板的穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：復(fù)合材料 鋪層順序 穩(wěn)定性 剛度等效 代理模型

中圖分類號(hào)：TB33 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）01（c）-0075-02

復(fù)合材料因具有較高的比強(qiáng)度、比剛度和較強(qiáng)的可設(shè)計(jì)性，在航空領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。復(fù)合材料層合板的鋪層順序?qū)ζ涫Х€(wěn)特性有較大影響，是復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)和關(guān)鍵技術(shù)。現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為數(shù)學(xué)規(guī)劃法在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的的應(yīng)用提供了高效、準(zhǔn)確的計(jì)算工具，從而使數(shù)學(xué)規(guī)劃法得以在優(yōu)化設(shè)計(jì)中推廣應(yīng)用。層合板鋪層順序的設(shè)計(jì)是離散的優(yōu)化問題，利用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)其進(jìn)行求解具有一定的難度。理論上求解鋪層順序組合的優(yōu)化方法是基于離散變量的組合優(yōu)化方法，但是對(duì)于飛機(jī)結(jié)構(gòu)中存在的上百層鋪層的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，組合優(yōu)化設(shè)計(jì)的計(jì)算效率是一個(gè)難以克服的困難。本文考慮對(duì)層合板的剛度進(jìn)行等效，利用各向異性板的彈性模量等參數(shù)模擬不同鋪層順序的層合板的剛度，再根據(jù)層合板的鋪層規(guī)律，提出鋪層順序代理模型，在鋪層順序代理模型與層合板剛度等效模型二者之間建立數(shù)學(xué)關(guān)系，將離散的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)的優(yōu)化問題，進(jìn)而采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法進(jìn)行求解。

1 復(fù)合材料剛度計(jì)算模型

1.3 層合板剛度等效模型的提出

由于復(fù)合材料層合板的鋪層順序表達(dá)的非連續(xù)性，目前很難采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)層合板結(jié)構(gòu)的鋪層順序直接進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。本文將復(fù)合材料層合板的剛度等效成單層正交各向異性材料，通過調(diào)整材料的彈性模量、剪切模量和泊松比，可以使剛度等效模型反映出不同鋪層順序的層合板結(jié)構(gòu)的剛度，這樣就把原來的離散變量問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量問題，進(jìn)而可以采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化。

在Nastran單元模型中，層合板單元的剛度矩陣包含面內(nèi)、彎曲以及拉彎耦合3方面的剛度系數(shù)。由于拉彎耦合剛度的存在，層合板會(huì)出現(xiàn)拉彎耦合變形，這種變形較難分析，本文對(duì)層合板穩(wěn)定性優(yōu)化的研究采用對(duì)稱的層合板鋪層，這種鋪層可以基本避免層合板出現(xiàn)拉彎耦合現(xiàn)象，在等效模型中可以只對(duì)層合板的面內(nèi)剛度和彎曲剛度進(jìn)行等效。為了能模擬層合板結(jié)構(gòu)這2方面的剛度矩陣，本文將加筋板結(jié)構(gòu)等效成2種正交各向異性材料模型，一種等效面內(nèi)剛度，另一種等效彎曲剛度。

2 層合板鋪層順序代理模型

2.1 基本假設(shè)

為簡化優(yōu)化問題，提高優(yōu)化過程的收斂速度，提出以下假設(shè)：（1）彎扭耦合變形比較復(fù)雜，會(huì)對(duì)層合板的穩(wěn)定性分析帶來一定的困難。本文為避免層合板產(chǎn)生彎扭耦合變形，采用對(duì)稱鋪層進(jìn)行研究，使=0。（2）層合板的鋪層設(shè)計(jì)中，應(yīng)首選和比中其余項(xiàng)小的鋪層形式，盡量避免彎扭耦合[3]，一般在層合板中采用+θ和-θ鋪層集合在一起的鋪層形式可以減少彎扭耦合。由于和不是影響層合板穩(wěn)定性的主要因素，本文不考慮彎扭耦合對(duì)層合板穩(wěn)定性的影響，認(rèn)為==0。

2.2 剛度等效模型

對(duì)于復(fù)合材料的剛度等效，本文中分別構(gòu)造反映面內(nèi)剛度和彎曲剛度的2個(gè)等效模型，由此將得到兩組等效模量。3 基于數(shù)學(xué)規(guī)劃法的優(yōu)化模型

3.1 設(shè)計(jì)變量

通過層合板剛度等效模型的建立，將層合板剛度等效為單層正交各向異性材料的材料屬性，實(shí)現(xiàn)了離散變量向連續(xù)變量的轉(zhuǎn)化，因此在本文的優(yōu)化過程中以層合板彎曲剛度等效模型的、、、四項(xiàng)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量。對(duì)于鋪層順序的反推，由于厚度和鋪層比例確定的層合板具有幾個(gè)極限鋪層，可以首先計(jì)算幾個(gè)極限鋪層的鋪層順序代理模型參數(shù)，再利用優(yōu)化結(jié)果計(jì)算鋪層順序代理模型參數(shù)，與極限鋪層的鋪層順序代理模型參數(shù)對(duì)比來實(shí)現(xiàn)。

3.2 目標(biāo)函數(shù)和約束條件

本文以層合板穩(wěn)定性最高為目標(biāo)函數(shù)。對(duì)于約束條件的創(chuàng)建，可以將式（9）和式（10）聯(lián)立，得到關(guān)于、、、四個(gè)設(shè)計(jì)變量的一組不等式，做為優(yōu)化設(shè)計(jì)中的約束條件，、、和分別表示為一個(gè)包含、、、的多項(xiàng)式。采用Nastran軟件進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，可以通過在.bdf文件中的DEQATN卡片欄下創(chuàng)建方程，并將方程與相應(yīng)的響應(yīng)關(guān)聯(lián)來實(shí)現(xiàn)。

4 算例

取一長1000 mm，寬500 mm，厚度2 mm的層合板，單層材料采用T300碳纖維材料，采用0°、90°和±45°四個(gè)方向的鋪層，鋪層比例為0°占37.5%，90°占12.5%，±45°各占25%，鋪層順序?yàn)閇45/02/-45/90/-45/0/45]s。邊界條件為簡支，在短邊上加載的軸向壓縮載荷。分析模型如圖1所示。

利用Nastran軟件對(duì)其進(jìn)行分析，可得該層合板的平均應(yīng)變?yōu)?3，失穩(wěn)特征值為0.48449。

根據(jù)式（7），可得正軸剛度不變量為：，，，，。根據(jù)經(jīng)典層合板理論計(jì)算材料的剛度矩陣，可以得到層合板的剛度矩陣系數(shù)：，，，，，，，。將以上剛度系數(shù)代入式（4）和式（5）中，得到面內(nèi)剛度和彎曲剛度等效模型中的各項(xiàng)參數(shù)：

利用以上參數(shù)，采用單層正交各向異性材料，分別對(duì)層合板的面內(nèi)剛度和彎曲剛度進(jìn)行等效，并利用Nastran軟件對(duì)模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析，得到等效模型的平均應(yīng)變?yōu)?1，失穩(wěn)特征值為0.49451，其平均應(yīng)變與失穩(wěn)特征值與層合板的計(jì)算結(jié)果誤差分別為2.2%和2.1%?？梢姡帽疚闹械膭偠鹊刃Ｐ蛯?duì)層合板的剛度進(jìn)行模擬具有較高的計(jì)算精度。以、、和四個(gè)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)函數(shù)為穩(wěn)定性最大，約束條件按照式（9）的方法計(jì)算，得到：

利用Nastran軟件對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化，得到，，，，優(yōu)化后等效模型的失穩(wěn)特征值為0.5812。將優(yōu)化得出的四個(gè)參數(shù)的值代入式（10）、式（12），可得=0.121，=.0.745，，。

假設(shè)不考慮復(fù)合材料鋪層的工藝限制，在厚度與各鋪層的比例不變的前提下，該層合板可以得到6種極限鋪層方式，使得、、和四個(gè)參數(shù)分別取到最值，6種極限鋪層方式如表1所示。

對(duì)照表1中的6種極限鋪層，、、和的值與鋪層方案2基本相符，因此得出該層合板具有最優(yōu)穩(wěn)定性的鋪層順序?yàn)椋篬（±45）2/03/90]s。將該鋪層順序回代入層合板模型，利用Nastran軟件對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定性分析，得到對(duì)層合板鋪層順序優(yōu)化后該層合板的失穩(wěn)特征值為0.5762，與優(yōu)化前相比，失穩(wěn)特征值提高了9.1%。

5 結(jié)語

（1）通過調(diào)整單層正交各向異性材料的屬性參數(shù)可以對(duì)等厚度的、不同鋪層順序的復(fù)合材料層合板進(jìn)行剛度近似，將離散的鋪層順序變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)的材料屬性變量，使數(shù)學(xué)規(guī)劃法的應(yīng)用更加方便。

（2）通過構(gòu)建鋪層順序代理模型，可以準(zhǔn)確的對(duì)剛度等效模型的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行鋪層順序反推。

（3）利用方法對(duì)層合板的鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)可以有效提高層合板的穩(wěn)定性。

參考文獻(xiàn)

[1] 徐芝綸.彈性力學(xué)（上）[M].高等教育出版社，2011

[2] Jones R M.Mechanics of Composite Materials[M].McGraw-Hill， Washington DC，1975.

[3] Design and Analysis of Composite Structures With Applications to Aerospace Structures

[4] 瓊斯.復(fù)合材料力學(xué)[M].上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1981：20-30.endprint

摘 要：應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)復(fù)合材料層合板的鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，以提高層合板結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，并通過剛度等效的思想，結(jié)合鋪層順序代理模型實(shí)現(xiàn)優(yōu)化目的。利用單層正交各向異性板的彈性模量、泊松比、剪切模量等屬性模擬不同鋪層順序的層合板剛度，在此基礎(chǔ)上，提出鋪層順序代理模型，并推導(dǎo)鋪層順序代理模型與剛度等效模型間的數(shù)學(xué)關(guān)系，將對(duì)離散的鋪層順序變量的優(yōu)化轉(zhuǎn)化為對(duì)連續(xù)變量的優(yōu)化。算例中利用該優(yōu)化方法求解層合板的具有最優(yōu)抗失穩(wěn)特性的鋪層順序，通過優(yōu)化設(shè)計(jì)顯著提高了層合板的穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：復(fù)合材料 鋪層順序 穩(wěn)定性 剛度等效 代理模型

中圖分類號(hào)：TB33 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）01（c）-0075-02

復(fù)合材料因具有較高的比強(qiáng)度、比剛度和較強(qiáng)的可設(shè)計(jì)性，在航空領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。復(fù)合材料層合板的鋪層順序?qū)ζ涫Х€(wěn)特性有較大影響，是復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)和關(guān)鍵技術(shù)?，F(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為數(shù)學(xué)規(guī)劃法在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的的應(yīng)用提供了高效、準(zhǔn)確的計(jì)算工具，從而使數(shù)學(xué)規(guī)劃法得以在優(yōu)化設(shè)計(jì)中推廣應(yīng)用。層合板鋪層順序的設(shè)計(jì)是離散的優(yōu)化問題，利用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)其進(jìn)行求解具有一定的難度。理論上求解鋪層順序組合的優(yōu)化方法是基于離散變量的組合優(yōu)化方法，但是對(duì)于飛機(jī)結(jié)構(gòu)中存在的上百層鋪層的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，組合優(yōu)化設(shè)計(jì)的計(jì)算效率是一個(gè)難以克服的困難。本文考慮對(duì)層合板的剛度進(jìn)行等效，利用各向異性板的彈性模量等參數(shù)模擬不同鋪層順序的層合板的剛度，再根據(jù)層合板的鋪層規(guī)律，提出鋪層順序代理模型，在鋪層順序代理模型與層合板剛度等效模型二者之間建立數(shù)學(xué)關(guān)系，將離散的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)的優(yōu)化問題，進(jìn)而采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法進(jìn)行求解。

1 復(fù)合材料剛度計(jì)算模型

1.3 層合板剛度等效模型的提出

由于復(fù)合材料層合板的鋪層順序表達(dá)的非連續(xù)性，目前很難采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)層合板結(jié)構(gòu)的鋪層順序直接進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。本文將復(fù)合材料層合板的剛度等效成單層正交各向異性材料，通過調(diào)整材料的彈性模量、剪切模量和泊松比，可以使剛度等效模型反映出不同鋪層順序的層合板結(jié)構(gòu)的剛度，這樣就把原來的離散變量問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量問題，進(jìn)而可以采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化。

在Nastran單元模型中，層合板單元的剛度矩陣包含面內(nèi)、彎曲以及拉彎耦合3方面的剛度系數(shù)。由于拉彎耦合剛度的存在，層合板會(huì)出現(xiàn)拉彎耦合變形，這種變形較難分析，本文對(duì)層合板穩(wěn)定性優(yōu)化的研究采用對(duì)稱的層合板鋪層，這種鋪層可以基本避免層合板出現(xiàn)拉彎耦合現(xiàn)象，在等效模型中可以只對(duì)層合板的面內(nèi)剛度和彎曲剛度進(jìn)行等效。為了能模擬層合板結(jié)構(gòu)這2方面的剛度矩陣，本文將加筋板結(jié)構(gòu)等效成2種正交各向異性材料模型，一種等效面內(nèi)剛度，另一種等效彎曲剛度。

2 層合板鋪層順序代理模型

2.1 基本假設(shè)

為簡化優(yōu)化問題，提高優(yōu)化過程的收斂速度，提出以下假設(shè)：（1）彎扭耦合變形比較復(fù)雜，會(huì)對(duì)層合板的穩(wěn)定性分析帶來一定的困難。本文為避免層合板產(chǎn)生彎扭耦合變形，采用對(duì)稱鋪層進(jìn)行研究，使=0。（2）層合板的鋪層設(shè)計(jì)中，應(yīng)首選和比中其余項(xiàng)小的鋪層形式，盡量避免彎扭耦合[3]，一般在層合板中采用+θ和-θ鋪層集合在一起的鋪層形式可以減少彎扭耦合。由于和不是影響層合板穩(wěn)定性的主要因素，本文不考慮彎扭耦合對(duì)層合板穩(wěn)定性的影響，認(rèn)為==0。

2.2 剛度等效模型

對(duì)于復(fù)合材料的剛度等效，本文中分別構(gòu)造反映面內(nèi)剛度和彎曲剛度的2個(gè)等效模型，由此將得到兩組等效模量。3 基于數(shù)學(xué)規(guī)劃法的優(yōu)化模型

3.1 設(shè)計(jì)變量

通過層合板剛度等效模型的建立，將層合板剛度等效為單層正交各向異性材料的材料屬性，實(shí)現(xiàn)了離散變量向連續(xù)變量的轉(zhuǎn)化，因此在本文的優(yōu)化過程中以層合板彎曲剛度等效模型的、、、四項(xiàng)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量。對(duì)于鋪層順序的反推，由于厚度和鋪層比例確定的層合板具有幾個(gè)極限鋪層，可以首先計(jì)算幾個(gè)極限鋪層的鋪層順序代理模型參數(shù)，再利用優(yōu)化結(jié)果計(jì)算鋪層順序代理模型參數(shù)，與極限鋪層的鋪層順序代理模型參數(shù)對(duì)比來實(shí)現(xiàn)。

3.2 目標(biāo)函數(shù)和約束條件

本文以層合板穩(wěn)定性最高為目標(biāo)函數(shù)。對(duì)于約束條件的創(chuàng)建，可以將式（9）和式（10）聯(lián)立，得到關(guān)于、、、四個(gè)設(shè)計(jì)變量的一組不等式，做為優(yōu)化設(shè)計(jì)中的約束條件，、、和分別表示為一個(gè)包含、、、的多項(xiàng)式。采用Nastran軟件進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，可以通過在.bdf文件中的DEQATN卡片欄下創(chuàng)建方程，并將方程與相應(yīng)的響應(yīng)關(guān)聯(lián)來實(shí)現(xiàn)。

4 算例

取一長1000 mm，寬500 mm，厚度2 mm的層合板，單層材料采用T300碳纖維材料，采用0°、90°和±45°四個(gè)方向的鋪層，鋪層比例為0°占37.5%，90°占12.5%，±45°各占25%，鋪層順序?yàn)閇45/02/-45/90/-45/0/45]s。邊界條件為簡支，在短邊上加載的軸向壓縮載荷。分析模型如圖1所示。

利用Nastran軟件對(duì)其進(jìn)行分析，可得該層合板的平均應(yīng)變?yōu)?3，失穩(wěn)特征值為0.48449。

根據(jù)式（7），可得正軸剛度不變量為：，，，，。根據(jù)經(jīng)典層合板理論計(jì)算材料的剛度矩陣，可以得到層合板的剛度矩陣系數(shù)：，，，，，，，。將以上剛度系數(shù)代入式（4）和式（5）中，得到面內(nèi)剛度和彎曲剛度等效模型中的各項(xiàng)參數(shù)：

利用以上參數(shù)，采用單層正交各向異性材料，分別對(duì)層合板的面內(nèi)剛度和彎曲剛度進(jìn)行等效，并利用Nastran軟件對(duì)模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析，得到等效模型的平均應(yīng)變?yōu)?1，失穩(wěn)特征值為0.49451，其平均應(yīng)變與失穩(wěn)特征值與層合板的計(jì)算結(jié)果誤差分別為2.2%和2.1%?？梢?，利用本文中的剛度等效模型對(duì)層合板的剛度進(jìn)行模擬具有較高的計(jì)算精度。以、、和四個(gè)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)函數(shù)為穩(wěn)定性最大，約束條件按照式（9）的方法計(jì)算，得到：

利用Nastran軟件對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化，得到，，，，優(yōu)化后等效模型的失穩(wěn)特征值為0.5812。將優(yōu)化得出的四個(gè)參數(shù)的值代入式（10）、式（12），可得=0.121，=.0.745，，。

假設(shè)不考慮復(fù)合材料鋪層的工藝限制，在厚度與各鋪層的比例不變的前提下，該層合板可以得到6種極限鋪層方式，使得、、和四個(gè)參數(shù)分別取到最值，6種極限鋪層方式如表1所示。

對(duì)照表1中的6種極限鋪層，、、和的值與鋪層方案2基本相符，因此得出該層合板具有最優(yōu)穩(wěn)定性的鋪層順序?yàn)椋篬（±45）2/03/90]s。將該鋪層順序回代入層合板模型，利用Nastran軟件對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定性分析，得到對(duì)層合板鋪層順序優(yōu)化后該層合板的失穩(wěn)特征值為0.5762，與優(yōu)化前相比，失穩(wěn)特征值提高了9.1%。

5 結(jié)語

（1）通過調(diào)整單層正交各向異性材料的屬性參數(shù)可以對(duì)等厚度的、不同鋪層順序的復(fù)合材料層合板進(jìn)行剛度近似，將離散的鋪層順序變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)的材料屬性變量，使數(shù)學(xué)規(guī)劃法的應(yīng)用更加方便。

（2）通過構(gòu)建鋪層順序代理模型，可以準(zhǔn)確的對(duì)剛度等效模型的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行鋪層順序反推。

（3）利用方法對(duì)層合板的鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)可以有效提高層合板的穩(wěn)定性。

參考文獻(xiàn)

[1] 徐芝綸.彈性力學(xué)（上）[M].高等教育出版社，2011

[2] Jones R M.Mechanics of Composite Materials[M].McGraw-Hill， Washington DC，1975.

[3] Design and Analysis of Composite Structures With Applications to Aerospace Structures

[4] 瓊斯.復(fù)合材料力學(xué)[M].上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1981：20-30.endprint

摘 要：應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)復(fù)合材料層合板的鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，以提高層合板結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，并通過剛度等效的思想，結(jié)合鋪層順序代理模型實(shí)現(xiàn)優(yōu)化目的。利用單層正交各向異性板的彈性模量、泊松比、剪切模量等屬性模擬不同鋪層順序的層合板剛度，在此基礎(chǔ)上，提出鋪層順序代理模型，并推導(dǎo)鋪層順序代理模型與剛度等效模型間的數(shù)學(xué)關(guān)系，將對(duì)離散的鋪層順序變量的優(yōu)化轉(zhuǎn)化為對(duì)連續(xù)變量的優(yōu)化。算例中利用該優(yōu)化方法求解層合板的具有最優(yōu)抗失穩(wěn)特性的鋪層順序，通過優(yōu)化設(shè)計(jì)顯著提高了層合板的穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：復(fù)合材料 鋪層順序 穩(wěn)定性 剛度等效 代理模型

中圖分類號(hào)：TB33 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）01（c）-0075-02

復(fù)合材料因具有較高的比強(qiáng)度、比剛度和較強(qiáng)的可設(shè)計(jì)性，在航空領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。復(fù)合材料層合板的鋪層順序?qū)ζ涫Х€(wěn)特性有較大影響，是復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)和關(guān)鍵技術(shù)?，F(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為數(shù)學(xué)規(guī)劃法在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的的應(yīng)用提供了高效、準(zhǔn)確的計(jì)算工具，從而使數(shù)學(xué)規(guī)劃法得以在優(yōu)化設(shè)計(jì)中推廣應(yīng)用。層合板鋪層順序的設(shè)計(jì)是離散的優(yōu)化問題，利用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)其進(jìn)行求解具有一定的難度。理論上求解鋪層順序組合的優(yōu)化方法是基于離散變量的組合優(yōu)化方法，但是對(duì)于飛機(jī)結(jié)構(gòu)中存在的上百層鋪層的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，組合優(yōu)化設(shè)計(jì)的計(jì)算效率是一個(gè)難以克服的困難。本文考慮對(duì)層合板的剛度進(jìn)行等效，利用各向異性板的彈性模量等參數(shù)模擬不同鋪層順序的層合板的剛度，再根據(jù)層合板的鋪層規(guī)律，提出鋪層順序代理模型，在鋪層順序代理模型與層合板剛度等效模型二者之間建立數(shù)學(xué)關(guān)系，將離散的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)的優(yōu)化問題，進(jìn)而采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法進(jìn)行求解。

1 復(fù)合材料剛度計(jì)算模型

1.3 層合板剛度等效模型的提出

由于復(fù)合材料層合板的鋪層順序表達(dá)的非連續(xù)性，目前很難采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)層合板結(jié)構(gòu)的鋪層順序直接進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。本文將復(fù)合材料層合板的剛度等效成單層正交各向異性材料，通過調(diào)整材料的彈性模量、剪切模量和泊松比，可以使剛度等效模型反映出不同鋪層順序的層合板結(jié)構(gòu)的剛度，這樣就把原來的離散變量問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量問題，進(jìn)而可以采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化。

在Nastran單元模型中，層合板單元的剛度矩陣包含面內(nèi)、彎曲以及拉彎耦合3方面的剛度系數(shù)。由于拉彎耦合剛度的存在，層合板會(huì)出現(xiàn)拉彎耦合變形，這種變形較難分析，本文對(duì)層合板穩(wěn)定性優(yōu)化的研究采用對(duì)稱的層合板鋪層，這種鋪層可以基本避免層合板出現(xiàn)拉彎耦合現(xiàn)象，在等效模型中可以只對(duì)層合板的面內(nèi)剛度和彎曲剛度進(jìn)行等效。為了能模擬層合板結(jié)構(gòu)這2方面的剛度矩陣，本文將加筋板結(jié)構(gòu)等效成2種正交各向異性材料模型，一種等效面內(nèi)剛度，另一種等效彎曲剛度。

2 層合板鋪層順序代理模型

2.1 基本假設(shè)

為簡化優(yōu)化問題，提高優(yōu)化過程的收斂速度，提出以下假設(shè)：（1）彎扭耦合變形比較復(fù)雜，會(huì)對(duì)層合板的穩(wěn)定性分析帶來一定的困難。本文為避免層合板產(chǎn)生彎扭耦合變形，采用對(duì)稱鋪層進(jìn)行研究，使=0。（2）層合板的鋪層設(shè)計(jì)中，應(yīng)首選和比中其余項(xiàng)小的鋪層形式，盡量避免彎扭耦合[3]，一般在層合板中采用+θ和-θ鋪層集合在一起的鋪層形式可以減少彎扭耦合。由于和不是影響層合板穩(wěn)定性的主要因素，本文不考慮彎扭耦合對(duì)層合板穩(wěn)定性的影響，認(rèn)為==0。

2.2 剛度等效模型

對(duì)于復(fù)合材料的剛度等效，本文中分別構(gòu)造反映面內(nèi)剛度和彎曲剛度的2個(gè)等效模型，由此將得到兩組等效模量。3 基于數(shù)學(xué)規(guī)劃法的優(yōu)化模型

3.1 設(shè)計(jì)變量

通過層合板剛度等效模型的建立，將層合板剛度等效為單層正交各向異性材料的材料屬性，實(shí)現(xiàn)了離散變量向連續(xù)變量的轉(zhuǎn)化，因此在本文的優(yōu)化過程中以層合板彎曲剛度等效模型的、、、四項(xiàng)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量。對(duì)于鋪層順序的反推，由于厚度和鋪層比例確定的層合板具有幾個(gè)極限鋪層，可以首先計(jì)算幾個(gè)極限鋪層的鋪層順序代理模型參數(shù)，再利用優(yōu)化結(jié)果計(jì)算鋪層順序代理模型參數(shù)，與極限鋪層的鋪層順序代理模型參數(shù)對(duì)比來實(shí)現(xiàn)。

3.2 目標(biāo)函數(shù)和約束條件

本文以層合板穩(wěn)定性最高為目標(biāo)函數(shù)。對(duì)于約束條件的創(chuàng)建，可以將式（9）和式（10）聯(lián)立，得到關(guān)于、、、四個(gè)設(shè)計(jì)變量的一組不等式，做為優(yōu)化設(shè)計(jì)中的約束條件，、、和分別表示為一個(gè)包含、、、的多項(xiàng)式。采用Nastran軟件進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，可以通過在.bdf文件中的DEQATN卡片欄下創(chuàng)建方程，并將方程與相應(yīng)的響應(yīng)關(guān)聯(lián)來實(shí)現(xiàn)。

4 算例

取一長1000 mm，寬500 mm，厚度2 mm的層合板，單層材料采用T300碳纖維材料，采用0°、90°和±45°四個(gè)方向的鋪層，鋪層比例為0°占37.5%，90°占12.5%，±45°各占25%，鋪層順序?yàn)閇45/02/-45/90/-45/0/45]s。邊界條件為簡支，在短邊上加載的軸向壓縮載荷。分析模型如圖1所示。

利用Nastran軟件對(duì)其進(jìn)行分析，可得該層合板的平均應(yīng)變?yōu)?3，失穩(wěn)特征值為0.48449。

根據(jù)式（7），可得正軸剛度不變量為：，，，，。根據(jù)經(jīng)典層合板理論計(jì)算材料的剛度矩陣，可以得到層合板的剛度矩陣系數(shù)：，，，，，，，。將以上剛度系數(shù)代入式（4）和式（5）中，得到面內(nèi)剛度和彎曲剛度等效模型中的各項(xiàng)參數(shù)：

利用以上參數(shù)，采用單層正交各向異性材料，分別對(duì)層合板的面內(nèi)剛度和彎曲剛度進(jìn)行等效，并利用Nastran軟件對(duì)模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析，得到等效模型的平均應(yīng)變?yōu)?1，失穩(wěn)特征值為0.49451，其平均應(yīng)變與失穩(wěn)特征值與層合板的計(jì)算結(jié)果誤差分別為2.2%和2.1%。可見，利用本文中的剛度等效模型對(duì)層合板的剛度進(jìn)行模擬具有較高的計(jì)算精度。以、、和四個(gè)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)函數(shù)為穩(wěn)定性最大，約束條件按照式（9）的方法計(jì)算，得到：

利用Nastran軟件對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化，得到，，，，優(yōu)化后等效模型的失穩(wěn)特征值為0.5812。將優(yōu)化得出的四個(gè)參數(shù)的值代入式（10）、式（12），可得=0.121，=.0.745，，。

假設(shè)不考慮復(fù)合材料鋪層的工藝限制，在厚度與各鋪層的比例不變的前提下，該層合板可以得到6種極限鋪層方式，使得、、和四個(gè)參數(shù)分別取到最值，6種極限鋪層方式如表1所示。

對(duì)照表1中的6種極限鋪層，、、和的值與鋪層方案2基本相符，因此得出該層合板具有最優(yōu)穩(wěn)定性的鋪層順序?yàn)椋篬（±45）2/03/90]s。將該鋪層順序回代入層合板模型，利用Nastran軟件對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定性分析，得到對(duì)層合板鋪層順序優(yōu)化后該層合板的失穩(wěn)特征值為0.5762，與優(yōu)化前相比，失穩(wěn)特征值提高了9.1%。

5 結(jié)語

（1）通過調(diào)整單層正交各向異性材料的屬性參數(shù)可以對(duì)等厚度的、不同鋪層順序的復(fù)合材料層合板進(jìn)行剛度近似，將離散的鋪層順序變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)的材料屬性變量，使數(shù)學(xué)規(guī)劃法的應(yīng)用更加方便。

（2）通過構(gòu)建鋪層順序代理模型，可以準(zhǔn)確的對(duì)剛度等效模型的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行鋪層順序反推。

（3）利用方法對(duì)層合板的鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)可以有效提高層合板的穩(wěn)定性。

參考文獻(xiàn)

[1] 徐芝綸.彈性力學(xué)（上）[M].高等教育出版社，2011

[2] Jones R M.Mechanics of Composite Materials[M].McGraw-Hill， Washington DC，1975.

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[4] 瓊斯.復(fù)合材料力學(xué)[M].上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1981：20-30.endprint