剖析與二次函數(shù)圖象有關(guān)的最值問(wèn)題

林榮坤

摘要：對(duì)于二次函數(shù)的最值問(wèn)題，我們?cè)诔踔芯烷_(kāi)始接觸，而且也是初中的重要教學(xué)內(nèi)容，但也只是注重基礎(chǔ)，涉及的也是簡(jiǎn)單的二次函數(shù)。隨著知識(shí)的加深，二次函數(shù)的最值問(wèn)題涉及的內(nèi)容越發(fā)的廣泛與深?yuàn)W。作為二次函數(shù)中最基本的問(wèn)題——最值問(wèn)題，本文將從簡(jiǎn)易到復(fù)雜的知識(shí)進(jìn)行剖析。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；最值

對(duì)于二次函數(shù)圖象的最值問(wèn)題，重點(diǎn)關(guān)注的主要是圖象的對(duì)稱軸和所給自變量的區(qū)間（即定義域）的界定。而且掌握二次函數(shù)的最值問(wèn)題，首先需要將二次函數(shù)的圖象形象的畫出來(lái)。然后根據(jù)圖象以及問(wèn)題的條件界定來(lái)進(jìn)行最值問(wèn)題的求解。

一、二次函數(shù)的圖象

對(duì)于二次函數(shù)的圖象，我們需要找到二次函數(shù)的對(duì)稱軸，頂點(diǎn)以及開(kāi)口方向，有時(shí)還需要界定某一到兩個(gè)特殊的線與x-y軸的交點(diǎn)，才能較為準(zhǔn)確的描繪出圖象。

二次函數(shù)的的表達(dá)式有頂點(diǎn)式，交點(diǎn)式以及三點(diǎn)式，其一般的表達(dá)式為y=ax?+bx+c（a≠0），此圖象的對(duì)稱軸，開(kāi)口方向以及頂點(diǎn)都取決于這一般表達(dá)式中的a、b、c三個(gè)系數(shù)。最重要的是求解對(duì)稱軸，對(duì)稱軸的計(jì)算公式為x=-b/2a。

其一般圖形為：

二、二次函數(shù)圖象的最值

1、二次函數(shù)在界定區(qū)間上的最值問(wèn)題（最簡(jiǎn)單，直接的最值問(wèn)題）

此類問(wèn)題基本就是明確給定二次函數(shù)以及定義域區(qū)間的情況下，求最值的。解決方案就是找到此函數(shù)的對(duì)稱軸，看其與定義區(qū)間的關(guān)系，在判斷在此區(qū)間上函數(shù)的增減性，進(jìn)而求出答案。

例如：已知二次函數(shù)y=x2-2x，求在區(qū)間[0，4]上的最值。

根據(jù)二次函數(shù)可以畫出圖象，對(duì)稱軸為x=1，草圖如下：

從圖中可以看出在區(qū)間[0，4]上，y值先遞減后遞增，在對(duì)稱軸x=1處取得最小值y=-1，在x=4處取得最大值y=8.

2、二次函數(shù)在不定區(qū)間上的最值問(wèn)題（相對(duì)上一個(gè)，有些復(fù)雜，需要分類）

此類問(wèn)題是在明確給定二次函數(shù)，但是其自變量的定義區(qū)間是變動(dòng)的（存在未知數(shù)）情況下求解最值的。然而此類問(wèn)題的解決方法就是通過(guò)明確給定的二次函數(shù)畫出圖象，再根據(jù)對(duì)稱軸與自變量的關(guān)系界定進(jìn)行分類討論，最后分別判斷在此區(qū)間上的增減性，求得最值。

例如：已知二次函數(shù)y=x2/2-x-5/2，求在[t，t+1]上的最小值。

根據(jù)二次函數(shù)y=x2/2-x-5/2可以得出對(duì)稱軸x=1，圖象開(kāi)口向上，再分類，畫草圖。

第一類：當(dāng)對(duì)稱軸x=1在所給區(qū)間的左側(cè)，即t≧1，草圖如下：

從圖中可以看出，在區(qū)間[t，t+1]上，函數(shù)遞增，最小值為x=t時(shí)，y=t2/2-t-5/2。

第二類：當(dāng)對(duì)稱軸x=1在所給區(qū)間的右側(cè)，即t+1≦1→t≦0，草圖如下：

從圖中可以看出，在區(qū)間[t，t+1]上，函數(shù)遞減，最小值為x=t+1時(shí)，y=t2/2-3。

第三類：當(dāng)對(duì)稱軸x=1在所給區(qū)間的內(nèi)，即t<1

從圖中可以看出，在區(qū)間[t，t+1]上函數(shù)先減后增，最小值為x=1時(shí)，y=-3。

若是還需求最大值，前兩種可以直觀的看出，而最后一種需要對(duì)比在x=t以及x=t+1時(shí)y值得大小。此時(shí)t的范圍還需劃分。

當(dāng)x1=t時(shí)，y1=t2/2-t-5/2，當(dāng)x2=t+1時(shí)，y2=t2/2-3

y1-y2=1/2-t，從式子中可以看出當(dāng)0

3、不確定的二次函數(shù)在固定區(qū)間下的最值問(wèn)題

此問(wèn)題是在明確給出定義域而二次函數(shù)存在未知系數(shù)（圖象不確定）的情況下，求最值的問(wèn)題。此類問(wèn)題可以先將二次函數(shù)有一般形式轉(zhuǎn)換為頂點(diǎn)式，找出其對(duì)稱軸，開(kāi)口方向以及區(qū)間位置。最重要的是找到其對(duì)稱軸，然后根據(jù)未知系數(shù)分類進(jìn)行求解，最后判斷增減性，求最值。

例如：已知二次函數(shù)y=bx2+4bx+b2-1，求在區(qū)間[-4，1]上的最大值。

根據(jù)二次函數(shù)y=bx2+4bx+b2-1，寫成頂點(diǎn)式y(tǒng)=b（x+2）2+b2-4b-1，可以看出對(duì)稱軸為x=-2，在區(qū)間[-4，1]上，只需根據(jù)圖象開(kāi)口方向來(lái)判斷區(qū)間的最大值。

第一類：當(dāng)b=0時(shí)，y=-1，無(wú)最大最小值之說(shuō)

第二類：當(dāng)b<0時(shí)，圖象開(kāi)口向下，草圖如下：

從圖中可以看出，在區(qū)間[-4，1]上函數(shù)先增后減，最大值為當(dāng)x=-2時(shí)，y=b2-4b-1。

第三類：當(dāng)b>0時(shí)，圖象開(kāi)口向上，草圖如下：

從圖中可以看出，在區(qū)間[-4，1]上函數(shù)先減后增，最大值為區(qū)間的臨界點(diǎn)，需要判定。

當(dāng)x1=-4時(shí)，y1=b2-1

當(dāng)x2=1時(shí)，y2=b2+5b-1

因?yàn)閎>0，可以看出y1=b2-1

4、二次函數(shù)已知區(qū)間和最值求未知函數(shù)的系數(shù)（此類最為復(fù)雜，分類情況較多）

此類函數(shù)是在明確給出自變量區(qū)間，以及在區(qū)間內(nèi)最值得一個(gè)（最大或最?。蠼馕粗瘮?shù)的系數(shù)。此類問(wèn)題通常不會(huì)給定對(duì)稱軸，因此需要進(jìn)行分情況進(jìn)行判定來(lái)求解，再根據(jù)其給出的最值來(lái)求出位置系數(shù)，此類問(wèn)題通常的解有時(shí)會(huì)與條件分類的情況不相符，因此不要因?yàn)榍蟪鲆粋€(gè)就大意，要注意情況與解的一致性。

例如：已知二次函數(shù)y=x2-2ax-1，已知函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最小值為-2，求a的值。

根據(jù)二次函數(shù)y=x2-2ax-1，寫成頂點(diǎn)式y(tǒng)=（x-a）2-a2-1，對(duì)稱軸為x=a，圖象開(kāi)口向上，然后進(jìn)行分類

第一類：當(dāng)a≦0時(shí)，畫出草圖如下：

從圖中可以看出，函數(shù)在區(qū)間[0，2]上是遞增的，最小值為當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，與題中最小值為-2不相符。此分類舍棄。

第二類：當(dāng)a≧2時(shí)，畫出草圖如下：

從圖中可以看出，函數(shù)在區(qū)間[0，2]上是遞減的，最小值為當(dāng)x=2時(shí)，y=3-4a，因?yàn)轭}中給出最小值為-2，所以3-4a=-2求得a=5/4<2與條件不符的，舍棄。

第三類：當(dāng)0

從圖中可以看出，函數(shù)在區(qū)間[0，2]上是先減后增的，最小值為當(dāng)x=a時(shí)，y=-a2-1因?yàn)轭}中給出最小值為-2，所以-a2-1=-2求得a=1或者-1，再根據(jù)分類條件0

綜上得出a=1。

還存在第二種情況，圖象的開(kāi)口方向與未知參數(shù)有關(guān)，則劃分情況求解釋更需注意。

例如：二次函數(shù)y=ax2-2ax-1，已知函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最小值為-2，求a的值。

先根據(jù)二次函數(shù)y=ax2-2ax-1，將其換算成頂點(diǎn)式為y=a（x-1）2-a-1，可以得知對(duì)稱軸為x=1，但開(kāi)口方向不確定，需要分類進(jìn)行求解。

第一類：當(dāng)a=0時(shí)，y=-1與已知條件不相符，舍棄。

第二類：當(dāng)a>0時(shí)，可以畫出草圖：

從圖中可以看出，在區(qū)間[0，2]函數(shù)先減后增，最小值為對(duì)稱軸即x=1時(shí)的y=-a-1，由已知條件最小值為-2，得出a的值為1，符合條件a>0。

第三類：當(dāng)a<0時(shí)，可以畫出草圖：

從圖中可以看出，在區(qū)間[0，2]上函數(shù)先增后減，最小值為區(qū)間端點(diǎn)值，需要進(jìn)行比較。當(dāng)x=0時(shí)，y=-1；當(dāng)x=2時(shí)，y=-1，而此種情況下，最小值只能是-1，與已知條件相違背，舍棄。

所以綜上得出a=1。

對(duì)于這兩道題相對(duì)來(lái)說(shuō)簡(jiǎn)單，要么給定了開(kāi)口方向，要么給定了對(duì)稱軸而且區(qū)間端點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱。但是有時(shí)題中既不會(huì)給定對(duì)稱軸也不給定開(kāi)口方向，就需要結(jié)合這兩道題綜合考慮未知系數(shù)的值，題目就會(huì)相對(duì)復(fù)雜。你只需要找準(zhǔn)全部的區(qū)間，并且針對(duì)分類情況，將所有的值求出即可。

通過(guò)剖析二次函數(shù)圖象的最值問(wèn)題，可以看出關(guān)鍵點(diǎn)在于圖象的對(duì)稱軸以及區(qū)間的界定，以及在分情況求解中條件的限定。其實(shí)對(duì)于二次函數(shù)圖象的最值問(wèn)題，能畫出大概的草圖會(huì)有利于對(duì)于最值的把握，但是也不能一概而論，畢竟是草圖，不能主觀判斷。記住這幾點(diǎn)，然后在求解二次函數(shù)的圖象的最值問(wèn)題時(shí)就會(huì)顯得游刃有余。

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