Lebesgue積分的應(yīng)用及其注記

崔方達(dá)，楊 婷，嚴(yán) 萍，姚云飛，吳士林

（1.阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037；2.宿松九成學(xué)校，安徽 安慶 246220）

Lebesgue積分的應(yīng)用及其注記

崔方達(dá)1，楊 婷1，嚴(yán) 萍1，姚云飛1，吳士林2

（1.阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037；2.宿松九成學(xué)校，安徽 安慶 246220）

Riemann積分問題的處理往往都很困難，事實(shí)上，可以借助實(shí)變函數(shù)的Lebesgue積分的理論與方法對數(shù)學(xué)分析中有關(guān)問題的處理是非常有效的。因此本文將研究實(shí)變函數(shù)的思想方法在數(shù)學(xué)分析中若干應(yīng)用，給出Lebesgue積分在Riemann積分中等系統(tǒng)問題的應(yīng)用，從而獲得一系列Riemann積分及其困難的問題簡單處理及其證明。

實(shí)變函數(shù)；思想方法；數(shù)學(xué)分析；Riemann積分；Lebesgue積分

現(xiàn)行的有關(guān)實(shí)變函數(shù)的文獻(xiàn)[1-8]關(guān)于Riemann積分定理與問題的處理往往都很困難。特別是有些較難的Riemann積分問題，從Riemann積分自身去看，很難理解，形如詩句“不識廬山真面目，只緣身在此山中”。而現(xiàn)行的實(shí)變函數(shù)的文獻(xiàn)，基本上只給出Lebesgue積分和Riemann積分一個關(guān)系的命題，并沒有給出其在Riemann積分中系統(tǒng)的系列的應(yīng)用。事實(shí)上，可以借助實(shí)變函數(shù)的Lebesgue積分的理論與方法對數(shù)學(xué)分析中有關(guān)問題的處理是有效的。因此，本文將研究實(shí)變函數(shù)的思想方法在數(shù)學(xué)分析中若干應(yīng)用，給出Lebesgue積分在Riemann積分中等系統(tǒng)問題的應(yīng)用，從而獲得一系列Riemann積分及其困難的問題簡潔的處理和新的證明。為了簡單，本文僅考慮有限維歐氏空間。

1 預(yù)備知識

1.1 記號

RK：表示K維歐式空間；

R積分：Riemann積分；

L積分：Lebesgue積分；

C(E)：集合E(E?RK)的全體連續(xù)函數(shù)；

B(E)：定義在集合E上的有界函數(shù)全體；

L(E)：定義在可測集E上的Lebesgue可積的全體函數(shù)；

R[a,b]：在[a,b]的全體正常的R可積函數(shù)；

m(E)：Lebesgue可測集E的測度；

M(E)：定義在Lebesgue可測集E上的可測函數(shù)的全體；

M+(E)：定義在Lebesgue可測集E上的非負(fù)的可測函數(shù)的全體；

Card(E)：集合E之基數(shù)；

?0：可列集E之基數(shù)；

Lip[a,b]：在[a,b]的滿足李普希茲條件的函數(shù)的全體；

BV[a,b]：[a,b]的有界變差函數(shù)全體；

f=g a.e于E：在E的f(x)和g(x)幾乎處處相等的兩個函數(shù)。

1.2引理

引理1[1]設(shè)f∈B[a,b],則f∈R[a,b]?m(Ef)=0。

注1 由引理1知當(dāng)f∈R[a,b]時，則（i）[a,b]-Ef有?個點(diǎn)（不可列），f∈C([a,b]-Ef)，其中m([a,b]-Ef)=m([a,b])-m(Ef)=b-a＞0；（ii）在[a,b]的任一鄰域都有f之連續(xù)點(diǎn)[9-13]；（iii）f在[a,b]必有無窮多個點(diǎn)連續(xù)存在[9,12]；（iv）f在[a,b]必有無限多個處處稠密的連續(xù)點(diǎn)[9]；（v）f∈R[a,b]?f在[a,b]幾乎處處連續(xù)[7]，即f在[a,b]不連續(xù)點(diǎn)可用長度任意小開區(qū)間集覆蓋[12]。

注2 注1中的命題（i）、（ii）、（iii）、（iv）、（v）在文獻(xiàn)[9]、[11]、[12]、[13]中處理得都較難，此處有了引理1，這類問題的處理就成了推論，簡潔易懂。

注3（i）設(shè)f∈B[a,b]，若Card(Ef)=?0，則f∈R[a,b]；

（ii）設(shè)f∈B[a,b]，只有有限個聚點(diǎn)，則f∈R[a,b]

此處（i）、（ii）是文獻(xiàn)[12]173-174的問題，在本文系統(tǒng)下成為引理1的特例。

引理2[1-3]設(shè)f∈B[a,b],若f∈R[a,b]，則

2 L積分在R可積性中的應(yīng)用及其注記

例1[9，13，14]f∈C[a,b]?f∈R[a,b]。

證由f∈C[a,b]知Ef=?，據(jù)[9]P78的引理組知f∈B[a,b],于是由引理1得f∈R[a,b]。

注4該例1是文獻(xiàn)[9]P211的定理9.4，[13]P80的可積函數(shù)類I的命題，[14]的定理7.1.2的推論1。但這些文獻(xiàn)中的證明都較本文例1引用引理1之法繁，沒有此處簡單。

例2[9，13,14]

證明由Card(Ef)=n0∈N?m(Ef)=0，又已知f∈B[a,b]，于是由引理1知f∈R[a,b]。

注5該例2是文獻(xiàn)[9]的定理9.5，[13]的P80的可積函數(shù)類II的命題，[14]的定理7.1.3的推論3.但這些文獻(xiàn)中的證明都較本文例2引用引理1之法難，沒有此處簡易。

注6在Reimann積分系統(tǒng)中獲得了例3的結(jié)果，但是若從本文的引理1的思想出發(fā)，在f∈B[a,b]的條件下，為f在[a,b]的間斷點(diǎn)}的基數(shù)可以是?0，甚至可以是 ?，但只要其m(Ef)=0，就有f∈R[a,b]。

例3[9]設(shè)。若f∈[a,b]上只有an為其間斷點(diǎn)，則f∈R[a,b]。

證明由題設(shè)知，m(Ef)=0，又已知f∈B[a,b]，于是由引理 1知f∈R[a,b]。

注7該例即文獻(xiàn)[9]P15的問題4，一般文獻(xiàn)中在處理這個問題時都較此處難。

則f∈R[0,1]。

注8例4是文獻(xiàn)[10]問題2194，是文獻(xiàn)[14]問題5(4)，此處較文獻(xiàn)[11]的證明簡單。

例5[9-10]設(shè)

證明由f(x)知 0≤f(x)＜1,0≤x≤1即f∈B[0,1]，，其中。而Card(Ef)=?0,，m(Ef)=0，于是由例3或據(jù)引理1知f∈R[0,1]。

注9是文獻(xiàn)[9]P219問題6，文獻(xiàn)[10]問題2196，較文獻(xiàn)[11]的證明簡潔。是文獻(xiàn)[15]問題110，此處較文獻(xiàn)[15]說清楚了，事實(shí)上，在Riemann積分中很難解決。

例6[9]設(shè)f,g∈B[a,b]，若僅在[a,b]中有限個點(diǎn){x1,x2,…,xk}處f(x)≠g(x),f∈R[a,b],則（i）

證明(i)由題設(shè)知Eg?Ef?{x1,x2,…,xk}，據(jù)f∈R[a,b]與引理1及其有限點(diǎn)集的測度為零的性質(zhì)知

所以m(Eg)=0。已知g∈B[a,b]，故g∈R[a,b]。

(ii)因?yàn)閙({x1,x2,…,xk})=0，所以f(x)=g(x),a.e于[a,b]，于是由引理1，引理2與[2]定理1（iv)得

注10此例是[9]P215問題3。

例7[9]設(shè)f在[a,b]有定義，且 ?ε＞0,?g∈R[a,b]使得

今證，凡g之連續(xù)點(diǎn)，一定是f的連續(xù)點(diǎn)。

設(shè)x0為g(x)在[a,b]的連續(xù)點(diǎn)，于是由連續(xù)性之定義知：?ε＞0,?δ＞0,當(dāng)x∈[a,b]且|x-x0|＜δ時，恒有，從而據(jù)（*）式知：

故x0為f在[a,b]的連續(xù)點(diǎn)。

由此可知，Ef?Eg，由于g∈R[a,b]故由引理1知m(Eg)=0，所以0≤m*(Ef)≤m(Eg)=0，

故m(Ef)=0。由引理1知f∈R[a,b]。

注11此例是[9]的P215的問題7。

例8[9]狄利克雷函數(shù)

證明因?yàn)閒∈B[0,1]且Ef=[0,1]，而m(Ef)=1-0=1＞0，所以由引理1知f?R[0,1]。

注12此例8為[9]P210例1，在此簡潔證之。

證明因?yàn)閒∈B[0,1]，而Ef∈[0,1]，m(Ef)=1＞0，所以由引理1知f?R[0,1]。

注13此例9為[9]P219的例題在此簡潔之證之。

證明由f(x)之狀得f(x)=xD(x)，其中D(x)為定義在[0,1]的狄利克雷函數(shù)，于是由[9]P72的例1知Ef=(0,1]，而m(Ef)=m(0,1]=1≠0，故由引理1知f?R[0,1]。

注14此例10是[9]P240問題3，在此獲得簡單的證明。

例11【9】f,g∈R[a,b]，則f+g∈R[a,b]，f-g∈R[a,b]。

證明由f,g∈R[a,b]知f,g∈B[a,b],據(jù)此知f+g,f-g∈B[a,b]，由f,g∈R[a,b]與連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算 性 質(zhì) 知Ef+g?Ef?Eg，Ef-g?Ef?Eg，m(Ef)=0,m(Eg)=0。于是據(jù)[2]P67的定理1的零測度集的性質(zhì)知m(Ef+g)=0，m(Ef-g)=0，故由引理1知f+g∈R[a,b]，f-g∈R[a,b]。

注15[9]P216性質(zhì)2在此給出了新證明。

例 12[9]若f∈R[α,β]，a≤f(t)≤b,t∈[α,β]，且φ∈C[a,b]，則φ°f∈R[α,β]，即φ(f(t))∈R[α,β]。

證明因?yàn)閍≤f(t)≤b，φ∈C[a,b]，所以φ∈B[a,b]，φ°f∈B[α,β]。

由f∈R[α,β]與引理1知m(Ef)=0，由復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性知當(dāng)t0為f之連續(xù)點(diǎn)，由φ∈C[a,b]知其也一定為φ(f(t))在[α,β]的連續(xù)點(diǎn)。故知Eφ°f?Ef，由m(Ef)=0，據(jù)[2]P67定理 1知m(Eφ°f)=0,由引理1知φ°f∈R[α,β]。

注16較文獻(xiàn)[9]P239例2、[11]P370-371的問題2202、[13]P174例4.1.3等文獻(xiàn)的解法簡潔。

注17本例為文獻(xiàn)[9]的第9章的最后一個例子，特別有用，但可惜很多文獻(xiàn)只述證而很少在理論上用于定理的證明。

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On some applications of Lebesgue integral and their notes

CUI Fang-da1,YANG Ting1,YAN Ping1,YAO Yun-fei1,WU Shi-lin2
(1.School of Mathematics and Statistics,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui236037,China;2.Jiucheng School of Susong,Anqing Anhui246220,China）

The existing literatures on mathematical analysis are often hard to deal with several problems of Riemann integral.In fact,with the help of the theory and method of Lebesgue integral in real variable function,mathematical analysis issues related to treatment is very effective.So this article will study some applications of the thinking method of real variable function in mathematical analysis,and especially give the application of Lebesgue integral in some problems related to Riemann integral. As a result,some simple processing and proofs of difficult problems on Riemann integral are given．

real variable function;thinking method;mathematical analysis;Riemann integral;Lebesgue integral

O17，O174.1

：A

：1004-4329（2016）04-015-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2016)04-015-04

2016-09-25

國家級大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項目（AH201410371005）資助。

崔方達(dá)（1979- ），男，碩士，講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。