考慮橋面不平順的車橋耦合系統(tǒng)非線性振動(dòng)

朱素紅， 徐 斌

(南昌工程學(xué)院 土木與建筑工程學(xué)院， 江西 南昌 330099)

考慮橋面不平順的車橋耦合系統(tǒng)非線性振動(dòng)

朱素紅， 徐 斌

(南昌工程學(xué)院 土木與建筑工程學(xué)院， 江西 南昌 330099)

以車橋接觸處為界，提出了2自由度的1/4車輛模型，應(yīng)用哈密爾頓能量原理，考慮梁的幾何非線性影響，將橋面不平順模擬成波動(dòng)的正弦函數(shù)曲線，建立了車橋耦合作用下系統(tǒng)的非線性振動(dòng)方程組。采用伽遼金法和龍格-庫塔法求解，得到不平整橋面簡(jiǎn)支梁橋在車輛運(yùn)行下的時(shí)域響應(yīng)，探討了幾何非線性、橋面不平順波長(zhǎng)及幅值、車速等參數(shù)對(duì)車-橋耦合系統(tǒng)非線性振動(dòng)性能的影響。

車橋耦合； 非線性振動(dòng)； 橋面不平順； 龍格-庫塔法

0 前言

近年來，車橋耦合作用領(lǐng)域的研究已取得了長(zhǎng)足的發(fā)展，其中橋面不平順作為車橋互動(dòng)體系的激振源之一，成為影響車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)的一個(gè)重要因素。目前國(guó)內(nèi)外對(duì)考慮橋面不平順的車橋耦合振動(dòng)分析取得了很多成果。文獻(xiàn)[1-5]利用功率譜密度函數(shù)，用不同級(jí)別的橋面平整度模型作為激勵(lì)源，對(duì)車橋耦合系統(tǒng)振動(dòng)進(jìn)行了分析，文獻(xiàn)[6-8]采用正弦或余弦曲線對(duì)橋面平整度進(jìn)行模擬，分析不平順因素對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。在目前的研究中，對(duì)于橋梁本身的非線性因素考慮較少，肖勇剛，朱素紅[9，10]利用能量法研究車橋耦合作用下公路橋梁振動(dòng)響應(yīng)問題，考慮了簡(jiǎn)支梁橋的幾何非線性影響，但在模擬過程中沒有考慮橋面不平順因素，這就使得研究結(jié)論不夠精確及缺乏實(shí)際指導(dǎo)意義。

為了更深入的研究影響車橋耦合系統(tǒng)振動(dòng)的因素，本文以哈密爾頓能量原理為基礎(chǔ)，將簡(jiǎn)支梁的幾何非線性因素考慮在內(nèi)，并將橋面不平順模擬成波動(dòng)的正弦函數(shù)曲線，建立了車橋耦合作用下系統(tǒng)的非線性振動(dòng)方程組，對(duì)車-橋耦合系統(tǒng)非線性振動(dòng)性能進(jìn)行研究，數(shù)值結(jié)果對(duì)橋梁的動(dòng)力設(shè)計(jì)具有一定的理論指導(dǎo)意義。

1 建立動(dòng)力方程

車輛本身的運(yùn)動(dòng)是比較復(fù)雜的，圖1將移動(dòng)車輛簡(jiǎn)化為兩個(gè)自由度的車輛模型，不考慮繞各軸的角運(yùn)動(dòng)，假定車輛只有豎向跳動(dòng)，車輪以及懸架的阻尼均與相對(duì)速度成線性關(guān)系，車輪及懸架的剛度則為位移線函數(shù)，Mv和Mw動(dòng)位移分別為Zv和Zw。

將簡(jiǎn)支梁橋模擬為一維Euler-Bernoulli梁，即只考慮其彎曲剛度。

假定車輛沿著橋梁長(zhǎng)度方向以勻速V移動(dòng)并且輪胎與梁體表面為點(diǎn)接觸，不發(fā)生脫離，車輪與橋梁接觸處的豎向位移y(x，t)可表示如下：

y(x，t)=w(x，t)+r(x)

(1)

式(1)中：y(x，t)和w(x，t)分別為輪胎與梁體接觸點(diǎn)處車輪和橋梁的豎向位移，均以圖示(見圖1)方向?yàn)檎?；r(x)為輪胎與梁體接觸點(diǎn)處橋面不平順值。

圖1 車橋耦合振動(dòng)模型Figure 1 Coupling vibration of vehicle-bridge mode

若車輛體系以勻速V在梁上通過，以哈密爾頓能量原理為基礎(chǔ)，建立如圖1所示簡(jiǎn)化的車橋耦合系統(tǒng)橋梁子系統(tǒng)的動(dòng)力方程，其中作用在梁上的荷載包括：移動(dòng)質(zhì)量的重力和慣性力，即：

(2)

根據(jù)文獻(xiàn)[11]，對(duì)橋梁子系統(tǒng)的動(dòng)力方程進(jìn)行變分后整理得到以下的運(yùn)動(dòng)方程：

(3)

從上式可以看出：加入簡(jiǎn)支梁的幾何非線性影響因素后，橋梁子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程增加了第三項(xiàng)作為非線性項(xiàng)。

圖1簡(jiǎn)化的車橋耦合系統(tǒng)中移動(dòng)質(zhì)量(包括Mv和Mw)的動(dòng)力方程：

(4)

(5)

聯(lián)立式(3)、式(4)、式(5)三個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，將車輪與橋梁接觸處的豎向位移式(1)代入，得到考慮幾何非線性影響，在橋面不平整條件下車橋耦合系統(tǒng)的動(dòng)力平衡方程組。

邊界條件為：

(6)

2 耦合方程求解

采用伽遼金法對(duì)上述非線性動(dòng)力平衡方程組進(jìn)行求解。由邊界條件式(6)，可以設(shè)定解的形函數(shù)形式為：

(7)

(8)

(9)

(10)

將式(8)、式(9)和式(10)三個(gè)式子聯(lián)立，得到考慮橋面不平順因素后，簡(jiǎn)支梁在移動(dòng)振動(dòng)車輛模型作用下系統(tǒng)的非線性動(dòng)力平衡方程組。這個(gè)聯(lián)立方程組具有無窮多自由度，如果位移級(jí)數(shù)中取n項(xiàng)，簡(jiǎn)支梁的廣義自由度也將為n個(gè)，再加上車輛的兩個(gè)自由度，運(yùn)動(dòng)方程的N+2階矩陣表達(dá)式為：

(11)

[M]=10…0Pvφ1Pwφ101…0Pvφ2Pwφ2???0??00…1PvφnPwφn00…0Mv000…0MvMwé?êêêêêêêêù?úúúúúúúú

[C]=2ξ1ω10…00002ξ2ω2…000??????00…2ξnωn0000…0cv-cvcw?1cw?2…cw?n0cwé?êêêêêêêêù?úúúúúúúú

[K]=ω210…0000ω22…000??????00…ω2n0000…0kv-kvkw?1kw?2…kw?n0kwé?êêêêêêêêù?úúúúúúúú

[H]=3A8Iω210…0000ω22…000??????00…ω2n0000…00000…000é?êêêêêêêêù?úúúúúúúú

在具體計(jì)算中，橋面不平順值通常采用正弦函數(shù)來模擬[7，8]：r(x)=Hsin(ω0x)，其中H和ω0分別為橋面不平順的幅度和頻率，ω0=πv/L0(L0為橋面不平順的半波長(zhǎng))。

從上式中可以看出：由于考慮了橋梁的幾何非線性而增加了非線性矩陣項(xiàng)[H]，由式(11)可知，考慮幾何非線性使得結(jié)構(gòu)的剛度有了影響，從而彈簧力呈現(xiàn)非線性。由于車輛在梁上運(yùn)動(dòng)，矩陣[M]、 [C]、 [K]中的系數(shù)都在不斷的變化，成為一個(gè)時(shí)變系數(shù)的二階非線性微分方程組，一般只能用數(shù)值法來求解。本文通過編制Visual-Fortran(RK4.F90)程序，采用四階龍格—庫塔法來求解方程組[9，10]。

3 振動(dòng)響應(yīng)及影響因素討論

忽略梁的幾何非線性和橋面不平順的影響，采用文獻(xiàn)[11]中的數(shù)據(jù)，利用上述方法求解式(11)的運(yùn)動(dòng)方程，得到不同速度作用下橋梁跨中的位移響應(yīng)，結(jié)果如圖2所示。本文所得計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[11]結(jié)果基本吻合，說明本文的模型和計(jì)算方法是可行的。

采用以下車橋系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行分析討論：簡(jiǎn)支梁橋：I=24 m，A=1.0 m2，m=9.36×103 kg/m，I=1.025×10-3 m4，E=1.999 5×1 012 N/m2，，ξ=0.025。車輛系統(tǒng)：Mv=15 670 kg，Mw=2 530 kg，kv=1.8×106 N/m，cv=1×104 Ns/m，kw=3.5×106 N/m，cw=5×103 Ns/m；車輛移動(dòng)速度V=15 m/s。圖3為在分別加入了橋面不平順和幾何非線性影響后，橋梁跨中的豎向位移變化曲線圖。從對(duì)比曲線可以看出：非線性條件下橋梁跨中最大位移響應(yīng)比線性條件下相應(yīng)的位移響應(yīng)要小些，兩種情況下跨中最大豎向位移都出現(xiàn)在移動(dòng)荷載駛經(jīng)橋梁跨中前后處，但很明顯的是，考慮非線性因素時(shí)，移動(dòng)荷載所處的位置相比線性條件下對(duì)應(yīng)的位置更靠前一點(diǎn)，同時(shí)可以看出非線性條件下橋梁跨中的位移波動(dòng)明顯加劇，出現(xiàn)了多個(gè)位移峰值。這說明加入了幾何非線性影響后，橋梁跨中的最大豎向位移出現(xiàn)時(shí)間提前，而且跨中的波動(dòng)加劇，出現(xiàn)多個(gè)位移峰值，加入了橋面不平順因素后，跨中位移時(shí)程曲線變化規(guī)律并沒有發(fā)生根本的改變，但跨中位移波動(dòng)明顯加大。

圖2 不同車速下橋梁跨中位移響應(yīng)Figure 2 Mid-span displacement vs vehicle speed

圖3 非線性和不平順下跨中位移對(duì)比Figure 3 Mid-span displacement in nonlinear & roughness

限于篇幅，本文只顯示了考慮梁的幾何非線性因素后，V=30 m/s車速時(shí)不同橋面不平順下橋梁跨中位移響應(yīng)，以及同一橋面不平順下不同車速下橋梁跨中位移響應(yīng)，如圖4～圖6。

由圖4我們可以看出：橋面不平順時(shí)，橋梁跨中位移圍繞其平順狀態(tài)下的位移上下波動(dòng)，不平順半波長(zhǎng)相同的情況下，不平順幅度H越大，耦合作用對(duì)橋梁跨中產(chǎn)生的動(dòng)撓度越大，但這種增大并不是隨不平順幅度的增大而線性增加的，同時(shí)橋梁跨中動(dòng)撓度的波動(dòng)越劇烈。由圖5可知：橋面不平順幅度H相同，半波長(zhǎng)越大，橋梁跨中動(dòng)撓度的波動(dòng)頻率有變緩趨勢(shì)，但動(dòng)撓度大小變化并不明顯。綜合圖4和圖5可知：橋面不平順對(duì)車橋耦合系統(tǒng)的動(dòng)力性能影響較大，橋面平整度越差，橋梁跨中的最大動(dòng)位移就越大，波動(dòng)也越頻繁。如果橋面鋪裝層路況惡化，會(huì)給橋梁結(jié)構(gòu)帶來很不利的影響，所以在施工中確保橋梁鋪裝層的質(zhì)量，在平時(shí)的維護(hù)中做好橋面的養(yǎng)護(hù)工作，為延長(zhǎng)橋梁的使用壽命有非常重要的作用。

圖4 不同不平順幅度下跨中位移時(shí)程曲線Figure 4 Mid-span displacement vs amplitude

圖5 不同不平順波長(zhǎng)下跨中位移時(shí)程曲線Figure 5 Mid-span displacement vs wavelength

圖6 不同車速時(shí)跨中位移時(shí)程曲線Figure 6 Mid-span displacement vs vehicle speed

由圖6可以得到在同一橋面不平順狀態(tài)下，車速增大，橋梁跨中最大響應(yīng)呈增大趨勢(shì)，最大響應(yīng)位置也越靠后，波動(dòng)頻率有所緩解。這是由于速度較低時(shí)，部分撓度可以回彈，而高速狀態(tài)下，橋梁來不及恢復(fù)變形，導(dǎo)致動(dòng)撓度增加，但其與速度的增加并不呈線性關(guān)系，從圖6可以看出：速度從15～30 m/s，橋梁跨中最大位移也在增加，但在40 m/s時(shí)卻出現(xiàn)了跨中最大動(dòng)位移小于30 m/s時(shí)的相對(duì)應(yīng)的動(dòng)位移。因此可以認(rèn)為：在30～40 m/s之間時(shí)，存在至少一個(gè)理論上車橋共振點(diǎn)。因此，為確保橋梁安全，應(yīng)對(duì)速度共振點(diǎn)進(jìn)行監(jiān)控，防止橋梁出現(xiàn)過大的跳躍。

4 結(jié)語

① 考慮了梁的幾何非線性因素后，橋梁跨中位移響應(yīng)變得更加復(fù)雜，最大響應(yīng)出現(xiàn)時(shí)間更早，且跨中波動(dòng)加劇，這種影響對(duì)于剛度較柔的長(zhǎng)大橋梁更為明顯。

② 考慮了橋面不平順因素后，橋梁跨中位移時(shí)程曲線變化規(guī)律并沒有發(fā)生根本的改變，但跨中位移波動(dòng)明顯加大。橋面不平順幅度越大，跨中動(dòng)撓度也增大，波動(dòng)也更劇烈，兩者之間呈非線性增大。橋面不平順半波長(zhǎng)越大，跨中動(dòng)撓度波動(dòng)頻率變緩，動(dòng)撓度變化不明顯。

③ 同一橋面不平順狀態(tài)下，車速增大，橋梁跨中最大響應(yīng)呈增大趨勢(shì)，最大響應(yīng)位置也越靠后，波動(dòng)頻率有所緩解。由于存在車橋共振點(diǎn)，應(yīng)對(duì)速度共振點(diǎn)進(jìn)行監(jiān)控。

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Nonlinear Dynamic of Vehicle-Bridge Coupled Interaction System Considering Bridge Surface Roughness

ZHU Suhong， XU Bin

(Department of Civil and Building Engineering， Nanchang Institute of Technology， Nanchang， Jiangxi 330099， China)

Vehicle and bridge are separated from two systems，The 1/4 two free degree vehicle model is proposed，Simulated by sinusoid for bridge surface roughness，the systematic nonlinear vibration equations on vehicle-bridge coupled interaction were derived based on the Hamilton principle.The equations were solved by using Galerkin and Runge-Kutta methods，then the time-domain response of the simply-supported beam in bridge surface roughness caused by moving vehicle is obtained.The influence of the nonlinear，wavelength and amplitude of bridge surface roughness，vehicle velocity on vehicle-bridge coupled nonlinear vibration behaves was discussed.

coupling vibration of vehicle-bridge； nonlinear vibration； bridge deck roughness； runge-kutta method

2015 — 09 — 14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51409140)；江西省教育廳科技項(xiàng)目(GJJ11253)；南昌工程學(xué)院青年基金項(xiàng)目(2010kj005)

朱素紅(1979 — )，女，湖南雙峰人，講師，碩士，研究方向：橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析。

U 441+.3

A

1674 — 0610(2016)06 — 0066 — 04