二階變系數(shù)線性微分方程的解法

王 莉

（湖南汽車工程職業(yè)學院，湖南 長沙 410000）

二階變系數(shù)線性微分方程的解法

王 莉

（湖南汽車工程職業(yè)學院，湖南 長沙 410000）

探討微分方程解法，明確方程解法技巧，提出3種新的解決方案，拓展二階變系數(shù)線性微分方程的處理方法。

二階變系數(shù)；線性；微分方程；變量交換

微分方程來源于生產實踐，建立在客觀事物發(fā)展規(guī)律基礎之上，能夠全面、具體反映各類現(xiàn)象，幫助人們更好地了解事物發(fā)展規(guī)律，預測未來，其發(fā)展是社會實踐的結果，二者互相作用，相互促進。

1 了解微分方程解法的意義

微分方程是自然學科及偏微分方程發(fā)展的重要基礎，也是相關領域發(fā)展的主要驅動力。自發(fā)展以來，受到了多位學者的關注，且相關理論研究成果較為豐富，在一定程度上完善了微分方程理論體系。根據(jù)微分方程基本理論來看，任何非線性微分方程的解都能夠納入到相應的解組當中。不僅如此，高階微分方程能夠通過降階法，簡化其繁瑣的內容，將其轉化為一階或者二階方程進行求解?？梢姡碗A微分方程求解在整個微分方程求解中占據(jù)十分重要的地位，也是求解的開始。在數(shù)學領域中，任何一個一階或者二階微分方程都具有可解性特點，而變系數(shù)二階線性微分方程難度較大[1]。目前為止，僅有一個近似解法，還沒有一個較好的方法能夠解決該問題，加之冪級數(shù)解法計算量較大，且難以求得結果，在理論上難以達到求解目標。因此加強對二階變系數(shù)線性微分方程解法的研究十分必要，不僅能夠豐富微分方程理論體系，還能夠幫助我們尋找到一種較為簡單的計算方法。

2 方程求解發(fā)展現(xiàn)狀

要想更為深入地了解和掌握微分方程解決方法，需要明確其當前發(fā)展狀況。誠然，該類方法應用較為廣泛，且在理論層面上，求解結構也較為完善。但是具體求解方法并沒有很多實際方法可以參考。一般都是已知的特殊函數(shù)方程，且多數(shù)只是借助冪級數(shù)解法，不僅方法繁瑣，且運算量太大，增加了求解難度。很多學者經過不懈的努力，試圖通過特殊的變換方式解決一類方程，但是可行性并不高，且不適用于陌生的變系數(shù)方程當中，在一定程度上阻礙了微分方程可持續(xù)發(fā)展[2]。信息時代下，一些計算機軟件具有運算功能，但計算機技術終歸是人們研究成果，如果理論上缺少完善的求解體系，在系統(tǒng)當中仍然無法較好的解決該問題，甚至會將問題變得更為復雜。

3 方程的解法分析

3.1 待定函數(shù)法的應用

一般來說，由于該類方程較為復雜，其中包括實常數(shù)等內容，為了能夠高效求解，需要對方程進行相應的處理，具體是通過自變量變換，將原來的方程轉變?yōu)槌Ｏ禂?shù)齊次線性方程。然后帶入函數(shù)，對方程進行相應的整理，簡化成為常系數(shù)化方程，最后對函數(shù)消除，獲取精簡方程，證明相關結論的正確性。

基于理論來看，在線性變換情況下，求解該類方程可以通過未知函數(shù)的變換實現(xiàn)方程常系數(shù)化。線性性質十分重要，能夠保持微分方程的線性性質變換為保線性變換，在具體變換過程中，可以保持方程原有性質不發(fā)生任何變化，然后通過一些已知可解的方程達到求解目標。如

可以借助線性變換，將x=φ（t），轉換為：

通過此獲得了常系數(shù)微分方程，便將其中的函數(shù)進行相應處理，最后獲得具體方程，達到求解目標。

例如：求解Besssl方程。

解：對上述方程進行相應處理，主要借助函數(shù)法，變換為：

3.2 自變量變換法

該方法在求解中較為常見，在應用中主要步驟如下：第一，利用雙線性將原方程轉變?yōu)槌Ｏ禂?shù)線性微分方程，然后結合常數(shù)變易等方法求解。第二，針對其中任何一個微分方程，可以將方程轉換為標準形式，最后確定P（x）、Q（x），然后對他們做出常數(shù)的具體判斷。第三，對于一般方程來說，可以依次檢驗并判斷1Δ等是否是常數(shù)，以此來作為方程系數(shù)化的判斷標準，如果可以，便可以進行線性變換，最后求簡化后的方程。

3.3 常數(shù)變易法

顧名思義，常數(shù)變易法主要是將方程進行簡易化處理，且該方法應用范圍較廣，只要獲得了非齊次線性方程對應的基本解組，便能夠利用該方法求解。在具體研究實踐中，可以積極拓展思路、擴展應用范圍，利用該方法求解。

一般來說，可以憑借自己所學知識觀察或者分析方程，利用常數(shù)變易法設另外的特解，然后將原方程帶入其中獲取一個可降階微分方程，最后得出原方程的通解。利用該方法，不僅能夠快速找到方程中各要素之間的關系，還能夠簡化方程求解難度，更為高效、快速的解決實際問題，進而為后續(xù)研究工作奠定堅實的基礎。綜上來看，解決該類方程的方法并不多，在解決實際問題過程中，要堅持合理原則，先觀察方程特點，選擇合理的解法對方程進行相應的調整和簡化處理，將其轉換為可解方程，然后獲取結果，發(fā)現(xiàn)事物之間的關系，從而提高研究有效性。

隨著各領域的不斷發(fā)展，微分方程的重要性愈發(fā)突出，然而現(xiàn)有求解方法還有待完善，需要學者加大研究力度，不斷挖掘新解法，為各領域研究和發(fā)展提供更加簡單、可行的解法，從而促使該方程的重要作用得到充分發(fā)揮，更好地探索客觀事物發(fā)展規(guī)律。

[1]高楊,王賀元.一類二階變系數(shù)線性微分方程的解法[J].高等數(shù)學研究,2014,01:77+82.

[2]鄧勇.兩類變系數(shù)二階線性齊次微分方程通解的構造[J].西南師范大學學報(自然科學版),2011,06:1-5.

Second order linear differential equation with variable coefficients

WANG Li
(Hunan automotive engineering vocational college,Changsha Hunan 410000)

Discussion on the solution of differential equation and the technique of solving equation,3 new solutions are proposed,processing method of two order linear differential equation with variable coefficients.

Second order variable coefficient; Linear; Differential equations; Variable exchange

：A

10.3969/j.issn.1672-7304.2016.01.062

1672–7304(2016)01–0133–02

（責任編輯：吳 芳）

王 莉（1980-），女，湖南株洲人，講師，研究方向：微分方程。