相振子網(wǎng)絡(luò)中集聚系數(shù)和度分布對(duì)復(fù)雜度的影響

李玨璇，趙 明(.廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,廣西 桂林 54004； 2.廣西科技師范學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院，廣西 柳州 545004)

相振子網(wǎng)絡(luò)中集聚系數(shù)和度分布對(duì)復(fù)雜度的影響

李玨璇1,2，趙 明1
(1.廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,廣西 桂林 541004； 2.廣西科技師范學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院，廣西 柳州 545004)

分析了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù)和度分布的異質(zhì)性這兩個(gè)重要的描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的特征量對(duì)復(fù)雜度的影響。研究發(fā)現(xiàn)，增大集聚系數(shù)能增大復(fù)雜度的最大值以及增大復(fù)雜度鐘形曲線的寬度，而增大度分布的異質(zhì)性不能增大復(fù)雜度的最大值卻可以明顯增大復(fù)雜度在上升段和下降段的取值。對(duì)于小世界網(wǎng)絡(luò)集聚系數(shù)對(duì)復(fù)雜度的影響更明顯，而對(duì)于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，度分布的異質(zhì)性更能顯著的改變復(fù)雜度的取值。進(jìn)一步加深了人們對(duì)描述網(wǎng)絡(luò)部分同步狀態(tài)的復(fù)雜度的認(rèn)識(shí)，為設(shè)計(jì)合理的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)提供了理論基礎(chǔ)。

復(fù)雜度；集聚系數(shù)；度分布

0 引言

經(jīng)過十余年的發(fā)展，人們對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[1-2]的結(jié)構(gòu)、動(dòng)力學(xué)等性質(zhì)已經(jīng)有了比較深刻的了解，目前人們的研究目標(biāo)已經(jīng)轉(zhuǎn)移到更符合實(shí)際背景的動(dòng)力學(xué)行為[3-4]上，探討其具體過程及內(nèi)在結(jié)構(gòu)對(duì)動(dòng)力學(xué)行為的影響。就復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上動(dòng)力系統(tǒng)的同步現(xiàn)象來說，最初的研究主要考察了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的整體同步性質(zhì)、分析了網(wǎng)絡(luò)的各種結(jié)構(gòu)特征量對(duì)網(wǎng)絡(luò)整體同步能力或穩(wěn)定性的影響[5-7]，而目前的研究更多集中在網(wǎng)絡(luò)的中尺度結(jié)構(gòu)對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步狀態(tài)的影響[8-13]上。中尺度結(jié)構(gòu)包括網(wǎng)絡(luò)的群落結(jié)構(gòu)、層次結(jié)構(gòu)等，而此時(shí)的同步狀態(tài)更多的是部分同步而非之前研究的完全同步。以中尺度結(jié)構(gòu)和部分同步狀態(tài)為研究目標(biāo)是因?yàn)橹谐叨冉Y(jié)構(gòu)是一種廣泛存在的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并且部分同步而不是完全同步才是更常見的同步現(xiàn)象[14]。

很長時(shí)間以來，物理領(lǐng)域?qū)Σ糠滞降难芯繋缀跏强瞻椎模瑸榱私鉀Q這樣的問題，在之前的工作中，我們定義了復(fù)雜度的概念[13]：當(dāng)網(wǎng)絡(luò)處于完全的不同步或者接近完全同步狀態(tài)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的同步狀態(tài)很簡單，復(fù)雜度的值很??；當(dāng)網(wǎng)絡(luò)介于兩者之間處于部分同步狀態(tài)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的同步狀態(tài)很復(fù)雜，復(fù)雜度的值很大。具體說來，隨著耦合強(qiáng)度從0開始增加，網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)慢慢開始同步到部分同步狀態(tài)、再到完全同步狀態(tài)的過程中，復(fù)雜度的取值從0開始增加到一個(gè)小于1的最大值之后再降低到0。這樣，網(wǎng)絡(luò)的部分同步狀態(tài)就被定量刻畫出來。復(fù)雜度的取值與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和節(jié)點(diǎn)間的耦合強(qiáng)度都有關(guān)系，我們以貓的腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[15]和線蟲的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[16]為例證明真實(shí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處于復(fù)雜度最大的結(jié)構(gòu)狀態(tài)。在上述工作中，我們只研究了群落結(jié)構(gòu)對(duì)復(fù)雜度的影響，實(shí)際上影響復(fù)雜度的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)因素還有很多，本文就探討網(wǎng)絡(luò)的團(tuán)簇結(jié)構(gòu)和度分布對(duì)部分同步狀態(tài)的影響。本文以小世界網(wǎng)絡(luò)[1]和具有初始吸引度的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)[17-18]為模型，通過能夠保持節(jié)點(diǎn)度不變的隨機(jī)交叉換邊方法[19-20]討論網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)和度分布的異質(zhì)性對(duì)網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度[13]的影響。

1 復(fù)雜度、隨機(jī)交叉換邊方法

1.1 復(fù)雜度

本文采用相振子作為節(jié)點(diǎn)上的動(dòng)力系統(tǒng)：

(1)

其中，φi、ωi分別為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的位相和固有頻率，σ為節(jié)點(diǎn)間的耦合強(qiáng)度，N為網(wǎng)絡(luò)規(guī)模，〈k〉為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的平均度，aij為鄰接矩陣的矩陣元，也就是說當(dāng)節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間有邊相連時(shí)aij取值為1，當(dāng)兩節(jié)點(diǎn)間沒有邊相連時(shí)aij取值為0。網(wǎng)絡(luò)的部分同步狀態(tài)用復(fù)雜度[13]來描述，為了獲得復(fù)雜度，首先就要計(jì)算所有節(jié)點(diǎn)對(duì)之間的平均位相差，注意這個(gè)位相差是要經(jīng)過不同的固有頻率分布、初始位相分布和長時(shí)間演化的平均獲得的。本文中固有頻率ω∈(0,1)，節(jié)點(diǎn)的位相φ的取值在0到2π之間均勻且隨機(jī)分布。由于沒有反相同步現(xiàn)象的存在，平均位相差的取值介于0(同步)到π/2(完全不同步)之間。將0到π/2之間的空間均勻劃分m個(gè)，平均位相差落在第l個(gè)空間的節(jié)點(diǎn)對(duì)概率為Pl，那么利用式(2)就可以計(jì)算出復(fù)雜度：

(2)

其中，Sm為復(fù)雜度的最大可能取值，用于歸一化，這時(shí)所有的平均位相差均勻地落在m個(gè)區(qū)間里，即Sm=lnm。本文取m=50。

1.2 隨機(jī)交叉換邊算法

我們的工作研究集聚系數(shù)和度分布對(duì)復(fù)雜度的影響，這就需要調(diào)節(jié)這兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)，為了在調(diào)節(jié)的過程中這兩者不互相干擾，采用隨機(jī)交叉換邊的方法[19-20]調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，在調(diào)節(jié)的過程中節(jié)點(diǎn)的度分布保持不變，而集聚系數(shù)卻發(fā)生了改變。具體的操作過程是：隨機(jī)找到兩條邊并斷開，將這兩個(gè)邊交叉重新連接起來，如果經(jīng)過這個(gè)操作網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù)變大(小)該操作就保留，否則撤銷。重連過程要保證節(jié)點(diǎn)之間沒有重復(fù)連邊也不會(huì)連接到自身。重復(fù)上述操作直到獲得足夠大(小)的集聚系數(shù)。

2 集聚系數(shù)和度分布對(duì)復(fù)雜度的影響

由于WS型小世界網(wǎng)絡(luò)和具有初始吸引度的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)具有比較大的集聚系數(shù)，因此本文以這兩種網(wǎng)絡(luò)模型為研究對(duì)象，通過隨機(jī)交叉換邊的方法在保證度分布異質(zhì)性不變的同時(shí)逐步降低網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù)。

2.1 小世界網(wǎng)絡(luò)中的情況

在我們的工作中，取WS型小世界網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模為1 000，平均度為6，重連概率分別為0.001、0.01、0.1，保證網(wǎng)絡(luò)具有小世界屬性，這時(shí)對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)的平均集聚系數(shù)分別為0.68、0.66、0.50，平均度分布的方差μ分別為0.11、0.35、1.07。以這些網(wǎng)絡(luò)為初始網(wǎng)絡(luò)，對(duì)它們進(jìn)行斷邊重連操作，只保留能使得集聚系數(shù)變小的操作，在重連的過程中記錄下來一些典型的集聚系數(shù)下的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，比如當(dāng)集聚系數(shù)降到0.55，0.45，0.35，0.20，0.05時(shí)就記錄下網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并計(jì)算其復(fù)雜度S隨耦合強(qiáng)度σ的變化關(guān)系，如圖1所示。注意在同一幅圖中，例如圖1a，雖然這些網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù)不同，但是度分布是保持不變的，也就保證度分布的方差相同。圖1a、b、c分別對(duì)應(yīng)于重連概率為0.001，0.01，0.1的3類初始網(wǎng)絡(luò)?？梢钥吹皆谕环鶊D中即使度分布的方差相同，不同的集聚系數(shù)也會(huì)使得復(fù)雜度曲線截然不同：集聚系數(shù)越大曲線越右移、上升段與下降段之間的寬度越大，并且集聚系數(shù)越大該現(xiàn)象越明顯；同時(shí)注意到：集聚系數(shù)越大復(fù)雜度的最大值也越大，其所對(duì)應(yīng)的耦合強(qiáng)度也是單調(diào)遞增的，兩者之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。產(chǎn)生該現(xiàn)象的物理機(jī)制如下：通過交叉換邊網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù)逐漸減小，在此過程中網(wǎng)絡(luò)的平均距離也逐漸降低，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間的連邊也越來越隨機(jī)，使得網(wǎng)絡(luò)的整體同步能力顯著提高，在小的耦合強(qiáng)度下網(wǎng)絡(luò)就能開始同步(復(fù)雜度增大)并迅速接近完全同步(復(fù)雜度減小)狀態(tài)，網(wǎng)絡(luò)中不會(huì)出現(xiàn)很復(fù)雜的同步狀態(tài)(最大復(fù)雜度比較小)，這就使得網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度曲線表現(xiàn)出在小的耦合強(qiáng)度下就能提升并在達(dá)到峰值后迅速下降，上升和下降段之間的寬度不寬；但當(dāng)集聚系數(shù)比較大時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中除了少量的長程連邊外絕大多數(shù)的邊還局限在小范圍內(nèi)，網(wǎng)絡(luò)的平均距離還是比較大，耦合強(qiáng)度要比較大時(shí)網(wǎng)絡(luò)才開始出現(xiàn)同步現(xiàn)象(復(fù)雜度曲線上升段右移)，增加耦合強(qiáng)度的取值只能使得團(tuán)簇內(nèi)部的同步狀態(tài)變好卻不能促進(jìn)整體的同步，網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)復(fù)雜的同步狀態(tài)(最大復(fù)雜度比較大)，耦合強(qiáng)度的持續(xù)增加也難以實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的完全同步(復(fù)雜度的取值依然較大)，這就是在大的集聚系數(shù)時(shí)復(fù)雜度曲線整體右移、峰值升高并且寬度變大的原因。上述結(jié)果表明在小世界網(wǎng)絡(luò)中集聚系數(shù)對(duì)復(fù)雜度有很大的影響，大的集聚系數(shù)意味著更緊密的局部連接，更有利于網(wǎng)絡(luò)中形成同步團(tuán)簇，進(jìn)而造成網(wǎng)絡(luò)在很大的耦合強(qiáng)度范圍內(nèi)都能處在比較復(fù)雜的同步狀態(tài)。

經(jīng)過仔細(xì)觀察還可以發(fā)現(xiàn)由于大的集聚系數(shù)所造成的復(fù)雜度曲線整體右移導(dǎo)致了在耦合強(qiáng)度比較小的區(qū)域在相同的耦合強(qiáng)度下集聚系數(shù)越大復(fù)雜度越小(如圖1中的區(qū)域I所示)，在耦合強(qiáng)度很大的區(qū)域集聚系數(shù)越大復(fù)雜度越大(如圖1中的區(qū)域III所示)，而當(dāng)耦合強(qiáng)度介于兩者之間時(shí)復(fù)雜度隨集聚系數(shù)先上升后下降(如圖1中的區(qū)域II所示)，復(fù)雜度存在最大值。區(qū)域I、II的分界線位于最小的集聚系數(shù)對(duì)應(yīng)的復(fù)雜度曲線的最大值位置σ1，區(qū)域II、III的分界線位于最大的集聚系數(shù)對(duì)應(yīng)的復(fù)雜度曲線的最大值位置σ2。為了更仔細(xì)地分析集聚系數(shù)對(duì)復(fù)雜度的影響，將兩者的關(guān)系用曲線表示出來，如圖2所示。圖中明顯表現(xiàn)出了對(duì)于3個(gè)不同的度分布方差，當(dāng)耦合強(qiáng)度的取值小于σ1時(shí)復(fù)雜度隨集聚系數(shù)的增加單調(diào)遞減(所有的點(diǎn)都取在復(fù)雜度曲線的上升段)，當(dāng)耦合強(qiáng)度的取值大于σ2時(shí)復(fù)雜度隨集聚系數(shù)的增加單調(diào)遞增(所有的點(diǎn)都取在復(fù)雜度曲線的下降段)，而當(dāng)耦合強(qiáng)度的取值介于兩者之間時(shí)復(fù)雜度的值表現(xiàn)為先升高(下降段)后降低(上升段)，由于復(fù)雜度的最大值與耦合強(qiáng)度之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，該曲線的最大值就是對(duì)應(yīng)耦合強(qiáng)度的復(fù)雜度最大值。

為了分析度分布的異質(zhì)性對(duì)復(fù)雜度的影響，重新排布了圖1中的曲線，將集聚系數(shù)相同而度分布的方差不同的曲線畫到了同一幅圖里，如圖3所示。有趣的是，即使度分布方差不同，只要集聚系數(shù)相同，同一幅圖中的曲線都非常接近。分析造成這一現(xiàn)象的原因可能是度分布的方差差別不大，比如模擬中3條曲線的度分布方差分別為0.11、0.35和1.07，所有節(jié)點(diǎn)的度都非常接近。在后面的結(jié)果中可以證明本文分析的正確性。

2.2 具有初始吸引度的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的情況

除了小世界網(wǎng)絡(luò)，本文還研究了具有初始吸引度的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的情況，該網(wǎng)絡(luò)的生成過程與經(jīng)典的BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)類似，都是從初始的m個(gè)全連通的節(jié)點(diǎn)出發(fā)，只不過引入一個(gè)初始吸引度k0，即新加入的節(jié)點(diǎn)連接到已有節(jié)點(diǎn)的概率正比于已有節(jié)點(diǎn)的度與初始吸引度的和ki+k0，這樣，通過調(diào)節(jié)k0的大小就可以獲得具有不同冪指數(shù)的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。值得注意的是要求k0>-m+1，使得ki+k0>0。在模擬中同樣采用網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模為1 000，平均度為6，而初始吸引度分別取-5.0，-4.0，-3.0，這時(shí)對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù)分別為0.33、0.17、0.11，對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)的度分布方差分別為29.77、21.78、17.65。與具有相同的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模和平均度的WS小世界網(wǎng)絡(luò)比較，此時(shí)集聚系數(shù)要小一些而度分布方差要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于小世界網(wǎng)絡(luò)的度分布方差。圖4給出了在度分布的異質(zhì)性相同而集聚系數(shù)不同時(shí)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度與耦合強(qiáng)度的變化關(guān)系，圖4a、4b、4c分別對(duì)應(yīng)初始吸引度為-5.0，-4.0，-3.0的網(wǎng)絡(luò)。從圖4可以看出：與小世界網(wǎng)絡(luò)的情況不同，相同的度分布情況下集聚系數(shù)的不同沒有造成復(fù)雜度曲線的明顯差異。仔細(xì)觀察就可以發(fā)現(xiàn)這是由于在該網(wǎng)絡(luò)模型中集聚系數(shù)可調(diào)節(jié)的范圍不是很大，以至于集聚系數(shù)的影響難以體現(xiàn)出來。

為了分析度分布的異質(zhì)性對(duì)該網(wǎng)絡(luò)的影響，在圖5a-c中給出了集聚系數(shù)相同而度分布方差不同的情況下復(fù)雜度隨耦合強(qiáng)度的變化曲線，從圖5可以看出在相同的集聚系數(shù)下不同的度分布異質(zhì)性使得不同的網(wǎng)絡(luò)具有相接近的復(fù)雜度最大值，并且最大值對(duì)應(yīng)的耦合強(qiáng)度也是重合的，但是當(dāng)耦合強(qiáng)度偏離該最大值附近，復(fù)雜度處于上升和下降段時(shí)度分布的異質(zhì)性更大的網(wǎng)絡(luò)具有更大的復(fù)雜度。為了解釋這一現(xiàn)象，計(jì)算了描述系統(tǒng)同步狀態(tài)的序參量，序參量的定義如下：

(3)

其中，i為虛數(shù)單位，φj為第j個(gè)振子的相位，括號(hào)〈〉表示對(duì)時(shí)間取平均。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中各振子振蕩的相位不相關(guān)時(shí)R=0，當(dāng)所有振子達(dá)到同步時(shí)R=1，因此R越大，網(wǎng)絡(luò)同步狀態(tài)越好。在圖5d中給出了集聚系數(shù)為0.11，而度分布方差分別為29.77和17.65的兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的序參量隨耦合強(qiáng)度的變化關(guān)系。有趣的是耦合強(qiáng)度使得復(fù)雜度曲線差異比較大時(shí)對(duì)應(yīng)的序參量曲線差異也比較大，而復(fù)雜度曲線差異比較小時(shí)對(duì)應(yīng)的序參量曲線差異也比較小。但這兩種曲線在耦合強(qiáng)度比較大和比較小的時(shí)候的排布順序是不同的：對(duì)于復(fù)雜度曲線，大的度分布異質(zhì)性總是對(duì)應(yīng)著大的復(fù)雜度，但是對(duì)于序參量曲線，在耦合強(qiáng)度比較小時(shí)度分布異質(zhì)性大的網(wǎng)絡(luò)的序參量相對(duì)大，但不十分明顯，而在耦合強(qiáng)度比較大時(shí)度分布異質(zhì)性大的網(wǎng)絡(luò)的序參量反而明顯小。通過分析不難理解這種現(xiàn)象：當(dāng)耦合強(qiáng)度比較小時(shí)，在度比較大的節(jié)點(diǎn)周圍會(huì)形成同步團(tuán)簇，并且度分布的異質(zhì)性越大這種同步團(tuán)簇越容易形成，這使得度分布異質(zhì)性大的網(wǎng)絡(luò)的序參量比較大并且復(fù)雜度也較大；當(dāng)耦合強(qiáng)度比較大時(shí)，在不同大度節(jié)點(diǎn)周圍形成的同步團(tuán)簇不容易融合起來，并且度分布異質(zhì)性越大越不容易融合，這就造成度分布異質(zhì)性大的網(wǎng)絡(luò)的同步狀態(tài)更差但復(fù)雜度依然較大。

3 結(jié)論

本文以小世界網(wǎng)絡(luò)和具有初始吸引度的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)為模型，分析了集聚系數(shù)和度分布的異質(zhì)性對(duì)復(fù)雜度的影響，研究發(fā)現(xiàn)：集聚系數(shù)能增大復(fù)雜度的最大值以及增大復(fù)雜度曲線中峰的寬度，而度分布的異質(zhì)性不能增大復(fù)雜度的最大值卻可以增大復(fù)雜度在上升段和下降段的值。在小世界網(wǎng)絡(luò)中由于集聚系數(shù)取值范圍比較大因此該參數(shù)對(duì)復(fù)雜度的影響比較明顯；在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，由于度分布的異質(zhì)性有很大的調(diào)節(jié)空間因此該參數(shù)對(duì)復(fù)雜度的影響比較明顯。我們的工作加深了人們對(duì)于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)復(fù)雜度影響的理解，為設(shè)計(jì)合理有效的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)提供了新的理論基礎(chǔ)。我們的工作目前僅考慮了網(wǎng)絡(luò)的度分布的異質(zhì)性和集聚系數(shù)對(duì)復(fù)雜度的影響，而刻畫復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的參數(shù)還有很多，比如度相關(guān)性、平均距離、網(wǎng)絡(luò)的層次結(jié)構(gòu)等，這些參數(shù)對(duì)復(fù)雜度的影響情況還不清楚，有待于進(jìn)一步研究。

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(責(zé)任編輯 耿金花)

Effects of Clustering Coefficient and Degree Distribution on Complexity in Oscillator Networks)

LI Juexuan1,2，ZHAO Ming1)

(1.College of Physics and Technology, Guangxi Normal University, Guilin 541004, China； 2.Department of Physics and Information Science, Liuzhou Teachers College, Liuzhou 545004, China)

Complexity is defined to describe the partial synchronization state in complex networks, which is sensitive to the network structure, however, how the structure affects the complexity is still unclear. Clustering coefficient and degree distribution are two typical parameters in complex networks. In this paper, the effects of these two parameters on complexity are studied. After careful study it is found that increasing clustering coefficient would increase the maximal complexity and broaden the width of the complexity curves, and increasing the heterogeneity of the degree distribution will increase the value of rising and falling part of complexity curve but have no effect on the maximal complexity. Furthermore, complexity is sensitive to clustering coefficient in small-world networks and sensitive to heterogeneity of degree distribution in scale-free networks. Our work deepens the knowledge of complexity, and provide useful theory to design complex network structure.

complexity; clustering coefficient; degree distribution

10.13306/j.1672-3813.2016.04.005

2015-03-12；

2015-10-09

國家自然科學(xué)基金(11165003)；廣西自然科學(xué)基金(2015GXNSFGA139009)；廣西高校優(yōu)秀人才資助計(jì)劃項(xiàng)目

李玨璇(1964-),女,廣西武宣人,高級(jí)實(shí)驗(yàn)師,主要研究方向?yàn)槠胀ㄎ锢韺?shí)驗(yàn)。

TP79

A