不同形狀磨粒隨機(jī)分布磨料表面的三維建模仿真

段 念, 王文珊, 于怡青, 黃 輝

(華僑大學(xué) 脆性材料加工技術(shù)教育部工程研究中心, 福建 廈門 361021)

不同形狀磨粒隨機(jī)分布磨料表面的三維建模仿真

段 念, 王文珊, 于怡青, 黃 輝

(華僑大學(xué) 脆性材料加工技術(shù)教育部工程研究中心, 福建 廈門 361021)

為了更準(zhǔn)確地對(duì)不同形狀磨粒的加工過(guò)程進(jìn)行仿真，基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理，利用打靶法模擬多顆不同形狀(圓錐形、正四棱錐形、正三棱錐形以及半球形)的磨粒表面的隨機(jī)分布，實(shí)現(xiàn)了通過(guò)設(shè)定不同的參數(shù)(粒度、出露高度、圓角半徑、錐角)，生成位置隨機(jī)的三維磨料表面模型，并對(duì)結(jié)果做了相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)驗(yàn)證，結(jié)果基本符合工程上的要求.模擬結(jié)果表明，磨粒尺寸的參數(shù)誤差控制在1‰范圍內(nèi), 磨料地貌圖中不存在磨粒重疊現(xiàn)象和空位現(xiàn)象，且磨粒分布相對(duì)較均勻.

磨料表面；統(tǒng)計(jì)學(xué)；隨機(jī)分布；打靶法；磨粒

磨削過(guò)程中的材料去除需要在磨料表面與工作表面發(fā)生物理接觸的相對(duì)運(yùn)動(dòng)中實(shí)現(xiàn).與材料發(fā)生接觸摩擦的每顆磨粒的形狀會(huì)在一定程度上影響材料去除的模式和工作表面的三維形貌.為了深入研究磨粒的形狀對(duì)被加工表面三維形貌的影響機(jī)制，需要對(duì)符合工程實(shí)際的多顆磨粒隨機(jī)分布的表面進(jìn)行模擬，獲得磨粒表面的幾何模型，為后續(xù)的加工過(guò)程的仿真奠定基礎(chǔ).因此，對(duì)磨料表面地貌進(jìn)行模型建立是精密加工領(lǐng)域一直以來(lái)的研究熱點(diǎn)[1].

目前已經(jīng)有很多的試驗(yàn)技術(shù)被開(kāi)發(fā)用于測(cè)量砂輪表面地貌，如輪廓測(cè)定法、顯微鏡觀察法[2]、測(cè)力法[3]、劃痕法、印痕法和熱電偶法[3].但是通過(guò)試驗(yàn)獲得的地貌數(shù)據(jù)受到微觀觀測(cè)方法及觀測(cè)者個(gè)人主觀的局限，且所得到的結(jié)果針對(duì)微納米尺度精密加工過(guò)程而言，誤差也較大.因此，對(duì)磨料表面進(jìn)行建模是十分必要的.

宏觀砂輪形貌特征可從以下4個(gè)方面描述: 磨粒突出高度分布、靜態(tài)平面顆粒密度、晶粒間距分布以及露出磨粒的投影面積百分比.這些指標(biāo)均是隨機(jī)變量，且每個(gè)磨料表面的特性都獨(dú)立依賴于其制備過(guò)程中的修整情況和使用的技術(shù)[4].因此，在磨削系統(tǒng)中，磨料面的形成是一個(gè)隨機(jī)性事件.隨機(jī)模擬是一種多用途的數(shù)字技術(shù)，以隨機(jī)抽樣的方式來(lái)模擬，本質(zhì)上是概率性的系統(tǒng).對(duì)磨料面建立隨機(jī)模型，用概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法對(duì)其描述和求解是非常重要的一種方法.文獻(xiàn)[5-6]將磨粒形狀假設(shè)為帶球頭圓錐的形狀生成了隨機(jī)分布模型，但假設(shè)的形狀單一，不符合工程中實(shí)際情況，且未考慮不同參數(shù)的設(shè)定.

本文主要根據(jù)不同形狀及形狀參數(shù)的磨粒參數(shù)信息(幾何參數(shù)和分布參數(shù))，利用打靶法的原理來(lái)實(shí)現(xiàn)不同形狀(圓錐形磨料面、正四棱錐形磨料面、三棱錐形磨料面以及半球形磨料面)磨粒的隨機(jī)分布磨料表面模型，在此基礎(chǔ)上，利用Fortran語(yǔ)言生成了不同形狀金剛石磨粒隨機(jī)分布的三維地貌表面模型.

1 磨料表面三維建模

1.1 磨粒幾何參數(shù)的確定

尺寸為150～300 μm各種常見(jiàn)磨料的外觀形貌如圖1所示.由圖1可知，在同樣尺寸范圍內(nèi)，由于磨料材質(zhì)的不同，其形狀也是各異的.磨料形狀的不規(guī)則性給模擬帶來(lái)了很大困難，目前，主要是通過(guò)簡(jiǎn)化的方法將其固定為圓錐形、棱錐形、針形等形狀.

(a) 玻璃珠 (b) 石英砂 (c) 石榴石

(d) 金剛砂 (e) 石英 (f) 氧化鋁圖1 磨料的形貌圖像Fig.1 Abrasive morphology

本文分別以帶球頭的圓錐形、正四棱錐形、三棱錐形以及半球形來(lái)模擬磨料的形狀.不同形狀磨粒及其參數(shù)圖如圖2所示.

圖2(a)中，帶球頭錐形磨料的形狀參數(shù)包括球頭半徑(r)、錐臺(tái)底面直徑(D)、錐臺(tái)高度(h)等.

設(shè)定錐面與球面相切，則:

D-2r cos θ=2htan θ

(1)

(a) 帶球頭的圓錐 (b) 正四棱錐

(c) 正三棱錐 (d) 半球圖2 不同形狀磨粒及形狀參數(shù)圖Fig.2 Schematic diagram of grains with different shape and relative parameters

為了保證球面與錐面相切，球心在錐臺(tái)軸線上的位置由式(2)確定:

(2)

其中:h′為球形端頭球心到底面的距離;θ為錐面母線與磨料中軸線的夾角.

圖2(b)中，正四棱錐形磨料的形狀參數(shù)包括棱線與高的夾角(θ)、正四棱錐底邊長(zhǎng)(L)及棱錐高度(h)，可得:

(3)

圖2(c)中，三棱錐形磨料的形狀參數(shù)包括棱線與高的夾角(θ)、正三棱錐底邊長(zhǎng)(L)和棱錐高度(h)，可得:

(4)

圖2(d)中，半球形磨料的形狀參數(shù)為球半徑r.

1.2 磨粒參數(shù)分布

通過(guò)對(duì)金剛石磨粒做顆粒分布測(cè)試試驗(yàn)，先后分別使用不同目數(shù)的篩網(wǎng)過(guò)篩，統(tǒng)計(jì)出在各篩上留下的金剛石磨粒百分?jǐn)?shù)，然后用正態(tài)概率坐標(biāo)紙來(lái)確定磨料顆粒的分布情況.結(jié)果表明，金剛石磨粒粒徑呈正態(tài)分布，并近似地估算出粒徑的平均值為0.127 mm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.059 mm.因此，本文中與磨料粒徑相關(guān)的參數(shù)設(shè)定為正態(tài)分布，其余參數(shù)為均勻分布.

2 磨料表面數(shù)據(jù)生成算法及數(shù)據(jù)檢驗(yàn)

2.1 磨料表面數(shù)據(jù)生成算法原理

磨料面生成算法主要采用打靶法，即在給定的平面內(nèi)，隨機(jī)確定每個(gè)磨料的位置，每確定一個(gè)磨料的位置后，將其所處區(qū)域去除，然后在剩下的區(qū)域內(nèi)確定下一個(gè)磨料的位置，并記憶其位置和形狀參數(shù)，直至達(dá)到所要求的磨料面密度為止，從而生成一個(gè)磨粒隨機(jī)分布的磨料面[5].

以帶球頭的圓錐形磨料面為例，磨料面的長(zhǎng)度和寬度確定以后，在磨料面內(nèi)隨機(jī)生成一點(diǎn)的x軸坐標(biāo)x0和y軸坐標(biāo)y0及磨料的直徑D0，判斷該點(diǎn)所確定的區(qū)域是否完全在磨料面內(nèi)，如果是，則確定該點(diǎn)為磨料面的第一點(diǎn)，繼而隨機(jī)生成該磨料的高度h0和尖端半徑r0或者錐角θ0，以結(jié)構(gòu)型數(shù)組記憶第一顆磨料參數(shù)；反之，則重新生成.

如果在磨料面內(nèi)，則(D0+D1)/2<

半球形磨料面的磨粒表面數(shù)據(jù)生成算法與帶球頭圓錐形磨料表面的數(shù)據(jù)生成算法類同.

2.2 算法模擬結(jié)果的驗(yàn)證

以帶球頭圓錐為例，分別對(duì)給定數(shù)值的磨料底面直徑、磨料高度和磨料尖端半徑的數(shù)學(xué)期望及方差進(jìn)行了檢驗(yàn)，表 1～3分別 為不同試驗(yàn)次數(shù)(N)下對(duì)應(yīng)的磨粒底面直徑、磨粒高度和磨粒尖端半徑的數(shù)學(xué)期望(E(x)′)和方差(D(x)′).由大數(shù)定律可知，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，有較大偏差的事件發(fā)生的可能性很小.由實(shí)際推斷原理，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，便可以用事件發(fā)生的概率來(lái)代替事件的概率.可以看出，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)達(dá)到 102 401次時(shí)，相對(duì)誤差已控制在1‰以內(nèi)，在工程上是符合要求的.

表1 磨粒底面直徑的數(shù)學(xué)期望和方差(正態(tài)分布)

(續(xù) 表)

注: E(x)=μ=5×10-5, D(x)=σ2=4×10-12.

表2 磨粒高度的數(shù)學(xué)期望和方差(正態(tài)分布)

注: E(x)=μ=5×10-5, D(x)=σ2=4×10-12.

表3 磨粒尖端半徑的數(shù)學(xué)期望和方差(正態(tài)分布)

(續(xù) 表)

3 程序?qū)崿F(xiàn)及砂輪地貌生成結(jié)果分析

3.1 基于DISLIN圖像顯示庫(kù)的磨料表面數(shù)據(jù)可 視化程序?qū)崿F(xiàn)

本文在Intel Visual Fortran 平臺(tái)上，用支持Fortran語(yǔ)言的圖像顯示庫(kù)DISLIN對(duì)打靶法生成的磨料面進(jìn)行可視化編程.圖3為磨料表面數(shù)據(jù)生成程序算法流程圖.

圖3 磨料表面數(shù)據(jù)生成算法流程圖Fig.3 Flow chart of abrasive surface data generation algorithm

以圓錐形磨粒為例，圖4為基于DISLIN圖像顯示庫(kù)的磨料表面顯示算法流程圖.

圖4 圓錐形磨粒隨機(jī)分布磨料表面顯示算法流程圖Fig.4 Flow chart of randomly distributed algorithm of conical grain surface

當(dāng)磨料面為圓錐形時(shí)，由式(1)三角變換后可得：

(5)

(6)

式(6)整理后可得：

-(D+2r)x4-4hx3+4rx2-4hx+
(D-2r)=0

(7)

式(7)為一元四次方程，可用求實(shí)系數(shù)代數(shù)方程全部根的牛頓-下山法[7]進(jìn)行求解.

3.2 結(jié)果分析

圖5為文獻(xiàn)[8]應(yīng)用Mente-Carlo法生成的磨料面仿真圖. 由圖5可知，其生成的最大磨料和最小磨料之間的尺寸偏差已經(jīng)超過(guò)了設(shè)定的范圍，而且出現(xiàn)了磨粒過(guò)密(重疊)現(xiàn)象和過(guò)疏(空位)現(xiàn)象.

圖6和7分別為3.5 mm×3.5 mm范圍內(nèi)的不同形狀(圓錐形磨料面、正四棱錐形磨料面、三棱錐形磨料面以及半球形磨料面)磨粒的隨機(jī)分布磨料表面地貌圖，圖中磨粒尺寸為0.127 mm，方差為5.9 μm，球頭半徑的分布區(qū)域?yàn)閇2，8] μm，面密度值為48.5%.出露高度在后期可視化程序中實(shí)現(xiàn)，將出露高度控制在一定范圍內(nèi)，圖中所示的出露高度范圍(0，0.6h).以圓錐形磨料面為例，對(duì)仿真得到的磨料面進(jìn)行直觀觀察，由圖6(a)的細(xì)節(jié)圖可看出出露高度參差不齊的狀態(tài).圖6(b)的俯視圖中，磨料地貌圖中不存在磨粒重疊現(xiàn)象和空位現(xiàn)象，且磨粒分布相對(duì)較均勻.磨粒尺寸的參數(shù)誤差控制在1‰范圍內(nèi)，較之文獻(xiàn)[8]的仿真結(jié)果更為合理.

圖5 磨料面仿真圖[8]Fig.5 The abrasive surface simulation diagram

(a) 立體圖

(b) 俯視圖圖6 圓錐形磨料面Fig.6 Conical grain surface

(a) 四棱錐

(b) 球形

(c) 三棱錐圖7 其他形狀磨料面立體圖Fig.7 Stereogram of the other shapes of grains

4 結(jié) 語(yǔ)

本文根據(jù)磨料表面隨機(jī)參數(shù)信息，利用打靶法的原理來(lái)實(shí)現(xiàn)不同形狀(圓錐形磨料面、正四棱錐形磨料面、三棱錐形磨料面以及半球形磨料面)磨粒的隨機(jī)分布磨料表面模型，可以通過(guò)設(shè)定不同的參數(shù)(粒度、出露高度、圓角半徑、錐角)得到相應(yīng)的不同模型.在Intel Visual Fortran 平臺(tái)上，用支持Fortran語(yǔ)言的圖像顯示庫(kù)DISLIN對(duì)打靶法生成的磨料面進(jìn)行可視化編程.仿真結(jié)果表明，磨料地貌圖中不存在磨粒重疊現(xiàn)象和空位現(xiàn)象，磨粒分布相對(duì)較均勻, 且磨粒尺寸的參數(shù)誤差控制在1‰范圍內(nèi).這進(jìn)一步證明了隨機(jī)分布算法在磨料表面建模的可行性，對(duì)于深入研究磨粒的形狀對(duì)被加工材料三維形貌的影響機(jī)制有著重要的意義.

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3D-parametric Modeling and Programming of Abrasive Surface with Grains of Different Shape on Random Distribution

DUANNian,WANGWen-shan,YUYi-qing,HUANGHui

(Engineering Research Center for Brittle Material Machining, Ministry of Education, Huaqiao University, Xiamen 361021, China)

In order to simulate the machining process of abrasives that have different shapes accurately, according to the principle of statistics, the models of the abrasive surface that have a large number of grains on different shapes (cone abrasive surface, right square pyramid abrasive surface, right triangle pyramid abrasive surface and half- spherical abrasive surface) are built, which are based on random distribution by using the shooting method. By setting different parameters (granularity, exposed height, radius and cone angle), different abrasive surfaces are came into being. On account of that, the abrasive surfaces that have random shape and position are generated. The results show that the size parameters error of grains is controlled within 1‰, abrasive overlapping phenomenon and vacancy phenomenon do not exist in the abrasive surface, and the distribution of grains is relatively uniform.

abrasive surface; statistics; random distribution; shooting method;grain

1671-0444 (2016)04-0500-06

2015-11-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375179)；福建省教育廳重點(diǎn)資助項(xiàng)目(JA13010)

段 念(1981—)，女，福建福州人，講師，博士，研究方向?yàn)槟ハ骷庸み^(guò)程仿真. E-mail: duannian@hqu.edu.cn

TG 501

A