五自由度混聯(lián)機(jī)器人優(yōu)化設(shè)計(jì)與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

張東勝，許允斗,2，侯照偉，姚建濤,2，趙永生,2

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五自由度混聯(lián)機(jī)器人優(yōu)化設(shè)計(jì)與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

張東勝1，許允斗1,2，侯照偉1，姚建濤1,2，趙永生1,2※

（1. 燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島 066004； 2. 燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島 066004）

為提高農(nóng)業(yè)自動(dòng)化程度，拓寬并聯(lián)機(jī)構(gòu)在農(nóng)業(yè)工程領(lǐng)域的應(yīng)用，提出一種存在連續(xù)轉(zhuǎn)軸、關(guān)節(jié)數(shù)目少、易于控制的兩移一轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)冗余平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)任意位置的轉(zhuǎn)軸均為相互平行的連續(xù)轉(zhuǎn)軸，使其具備良好的靈活性?；诖似矫娌⒙?lián)機(jī)構(gòu)，構(gòu)造出了多種五自由度混聯(lián)機(jī)器人，首先建立了五自由度混聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并對(duì)其進(jìn)行了奇異分析，給出了減少機(jī)構(gòu)奇異位型的條件；然后基于靈活性指標(biāo)，對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了尺寸優(yōu)化，繪制了用于選取結(jié)構(gòu)尺寸的性能圖譜，且借助有限元軟件對(duì)基于優(yōu)化所得結(jié)構(gòu)尺寸繪制的具有運(yùn)動(dòng)冗余特性的平面機(jī)構(gòu)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，，完成了整體結(jié)構(gòu)優(yōu)化前后的靜力學(xué)分析與對(duì)比，結(jié)果顯示優(yōu)化前后整體變形僅增大0.51%，優(yōu)化前后機(jī)構(gòu)優(yōu)化部分的質(zhì)量減少33.02%，滿足機(jī)構(gòu)變形要求。該混聯(lián)機(jī)器人具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)動(dòng)學(xué)模型簡(jiǎn)單、結(jié)構(gòu)剛度高和模塊化程度高的特點(diǎn)，且其結(jié)構(gòu)的變胞性有助于實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)和驅(qū)動(dòng)冗余模式的切換，增強(qiáng)了機(jī)器人的可研究性。該文可為混聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。

機(jī)器人；設(shè)計(jì)；優(yōu)化；平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)；運(yùn)動(dòng)冗余；自由度；變胞機(jī)構(gòu)

0 引 言

農(nóng)業(yè)機(jī)器人技術(shù)是當(dāng)今國(guó)際農(nóng)業(yè)機(jī)械化研究的前沿領(lǐng)域，近年來(lái)隨著新型農(nóng)業(yè)的發(fā)展及新技術(shù)的開(kāi)發(fā)，農(nóng)業(yè)機(jī)器人已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用，如插秧、耕作、果蔬采摘、伐木、篩種、產(chǎn)品包裝機(jī)器人等[1-4]。農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的多樣性及農(nóng)業(yè)作業(yè)的復(fù)雜性等特點(diǎn)對(duì)農(nóng)業(yè)機(jī)器人的先進(jìn)性及實(shí)用性提出了較高的要求。

農(nóng)業(yè)機(jī)器人不再僅僅局限于傳統(tǒng)的串聯(lián)機(jī)構(gòu)，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)方式也走向多樣化市場(chǎng)，其中專門(mén)用于農(nóng)業(yè)領(lǐng)域的并聯(lián)機(jī)器人具有較高的研究?jī)r(jià)值[5-7]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)與串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比具有結(jié)構(gòu)緊湊，剛度高，承載能力大等優(yōu)點(diǎn)，使得并聯(lián)機(jī)器人在某些農(nóng)業(yè)領(lǐng)域有著較高地位和應(yīng)用價(jià)值[8-9]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)又分為空間和平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其中平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)動(dòng)學(xué)模型簡(jiǎn)單、易于控制等特點(diǎn)，所以平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)受到很多研究人員的重視[10-12]。基于平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)特性簡(jiǎn)單及易于實(shí)現(xiàn)軌跡規(guī)劃的特點(diǎn)，很多學(xué)者提出了不同的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)并對(duì)其進(jìn)行了深入的理論研究，例如：平面5R[13]、PRRRP[14]、3(4)-RRR[15-16]、3-RPR[17]并聯(lián)機(jī)構(gòu)（其中R、P分別代表轉(zhuǎn)動(dòng)副、移動(dòng)副）、二自由度五桿移動(dòng)機(jī)器人[18]等。然而現(xiàn)代很多農(nóng)業(yè)領(lǐng)域覆蓋包括食品包裝、種子篩選、果實(shí)分類、果蔬搬運(yùn)、采摘及運(yùn)輸?shù)?。通常情況下，普通的少自由并聯(lián)機(jī)構(gòu)無(wú)法完成此類作業(yè)，而多軸聯(lián)動(dòng)機(jī)器人[6,19-20]便成為首選目標(biāo)。基于平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)造出的五自由度混聯(lián)機(jī)器人，結(jié)合了平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)和串聯(lián)機(jī)器人的優(yōu)點(diǎn)，既有平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)承載能力大、結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)學(xué)模型簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，又有串聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間大且靈活的特點(diǎn)。

齊二機(jī)床廠與清華大學(xué)聯(lián)合研制出大型龍門(mén)式五軸聯(lián)動(dòng)混聯(lián)機(jī)器人XNZ2430[21]，該混聯(lián)機(jī)器人并聯(lián)部分為能夠?qū)崿F(xiàn)垂直平面內(nèi)兩移動(dòng)自由度的平面機(jī)構(gòu)，在動(dòng)平臺(tái)上串聯(lián)兩個(gè)自由度的擺頭，附加可移動(dòng)工作臺(tái)，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的五軸聯(lián)動(dòng)。麻省理工學(xué)院設(shè)計(jì)了一種小型的混聯(lián)五軸聯(lián)動(dòng)機(jī)器人MIT-SS-1[22]，平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)3PRR實(shí)現(xiàn)垂直面內(nèi)的2個(gè)移動(dòng)和回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，附加工作臺(tái)的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)2個(gè)運(yùn)動(dòng)。Rosyid等[23]提出了一種基于平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)3PRR構(gòu)造出的五自由度混聯(lián)機(jī)器人，該混聯(lián)機(jī)器人由相互正交的兩組3PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)組成。從上述混聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型可知，平面并聯(lián)機(jī)器人在現(xiàn)代機(jī)器人中具有非常重要的地位。然而除文獻(xiàn)[18]提到的一種基于平面二自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)所構(gòu)造的種苗移摘的機(jī)器人外，少有能夠應(yīng)用到農(nóng)業(yè)領(lǐng)域的混聯(lián)機(jī)器人。

本文綜合以上內(nèi)容提出了一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、關(guān)節(jié)數(shù)目少、剛度高的兩移一轉(zhuǎn)三自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并基于此并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)造出了存在連續(xù)轉(zhuǎn)軸、模塊化程度高、整體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的五自由度混聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型；建立了五自由度混聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了奇異性分析，然后以動(dòng)平臺(tái)的靈活性指標(biāo)對(duì)平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行了優(yōu)化，繪制了用于選取結(jié)構(gòu)尺寸的性能圖譜，且借助有限元軟件對(duì)基于優(yōu)化所得結(jié)構(gòu)尺寸繪制的具有運(yùn)動(dòng)冗余特性的平面機(jī)構(gòu)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，達(dá)到在保障機(jī)構(gòu)剛度的前提下降低分支質(zhì)量，并對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化前后整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行了靜力學(xué)對(duì)比分析。

1 五自由度混聯(lián)機(jī)器人的構(gòu)型設(shè)計(jì)

在機(jī)器人的研究領(lǐng)域，由于機(jī)器人的不同構(gòu)型，會(huì)對(duì)工作空間、整體剛度以及精度等機(jī)器人性能造成不同影響，故關(guān)于機(jī)器人結(jié)構(gòu)的綜合及對(duì)比分析尤為重要，這使得機(jī)器人的構(gòu)型設(shè)計(jì)成為機(jī)器人產(chǎn)品化之前的一項(xiàng)重要的工作。本節(jié)將首先給出三自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的詳細(xì)設(shè)計(jì)原則，然后列出串聯(lián)部分的幾種構(gòu)型。

1.1 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)

三自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示，由機(jī)架、動(dòng)平臺(tái)及三條結(jié)構(gòu)相同的PRR分支組成，該平面機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)具有沿和軸方向的移動(dòng)和繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度（2T1R）。如圖1所示，左上分支1和左下分支2中連接動(dòng)平臺(tái)的R副共軸，此并聯(lián)機(jī)構(gòu)共有8個(gè)關(guān)節(jié)，運(yùn)動(dòng)副只有移動(dòng)副和轉(zhuǎn)動(dòng)副，使其具備機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)單的特點(diǎn)。當(dāng)右上分支3和動(dòng)平臺(tái)共線時(shí)，此并聯(lián)機(jī)構(gòu)即發(fā)生奇異，影響機(jī)構(gòu)的自由度，對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)以及動(dòng)力學(xué)均造成較大的影響。除此之外，在實(shí)際應(yīng)用中并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位型很大程度上影響了本身的工作空間。

1.左上分支 2.左下分支 3.右上分支 4.右下分支

1.Upper left branch 2.Lower left branch 3.Upper right branch 4.Lower right branch

注：-為參考坐標(biāo)系，下同。

Note:-is reference coordinate system, the same as below.

圖1 三自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)

Fig.1 3-DOF planar parallel mechanism

驅(qū)動(dòng)冗余[5,24-26]可以有效減少奇異、提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度、增大工作空間等，從而提高機(jī)器人的力傳遞性能，改善機(jī)構(gòu)的性能，使機(jī)構(gòu)在原始的奇異位形也能正常工作。因此驅(qū)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)器人已經(jīng)成為并聯(lián)機(jī)器人家族中不可缺少的一部分，而日益成為研究熱點(diǎn)。所以為增加機(jī)構(gòu)的整體剛度、有效減少奇異位型，在2T1R平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)3PRR基礎(chǔ)上添加冗余驅(qū)動(dòng)分支（圖1中虛線部分）構(gòu)成具有冗余驅(qū)動(dòng)的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)（10個(gè)關(guān)節(jié)）。這種方案可有效減少機(jī)構(gòu)的奇異位型，增大機(jī)構(gòu)的靈活性、有效工作空間及整體結(jié)構(gòu)剛度。

雖然通過(guò)添加冗余驅(qū)動(dòng)可以減少機(jī)構(gòu)奇異、增大有效工作空間，但其缺點(diǎn)是會(huì)使機(jī)構(gòu)產(chǎn)生內(nèi)力，給機(jī)構(gòu)的控制帶來(lái)一定的難度[27-29]。如圖2所示（針對(duì)圖1a所示結(jié)構(gòu)），采用引入中間連桿5的方法不僅能有效的減少奇異位型[30]，而且能很好的消除因冗余驅(qū)動(dòng)而造成的內(nèi)力。圖2所示的運(yùn)動(dòng)冗余平面機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)與圖1一樣具有兩移一轉(zhuǎn)3個(gè)自由度，其共有11個(gè)關(guān)節(jié)。該機(jī)構(gòu)的第4個(gè)驅(qū)動(dòng)增加的是連桿5和動(dòng)平臺(tái)之間的姿態(tài)自由度，故該機(jī)構(gòu)的4個(gè)驅(qū)動(dòng)中不含有冗余驅(qū)動(dòng)。

如果將動(dòng)平臺(tái)和中間連桿之間的轉(zhuǎn)動(dòng)副鎖死，那么該機(jī)構(gòu)即成為上述具有冗余驅(qū)動(dòng)的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)。結(jié)構(gòu)的變胞性有助于實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)冗余和驅(qū)動(dòng)冗余模式的切換，使其在后期研究工作中，不僅可以研究運(yùn)動(dòng)冗余平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的控制策略，而且還可以研究具有冗余驅(qū)動(dòng)平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的控制策略，增強(qiáng)了機(jī)器人的可研究性。

1.2 混聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型

構(gòu)造五自由混聯(lián)機(jī)器人關(guān)鍵在于彌補(bǔ)動(dòng)平臺(tái)方向的方位調(diào)整能力和方向的移動(dòng)能力（TR構(gòu)型：具有移動(dòng)和方位調(diào)整能力的機(jī)構(gòu)）。上述平面機(jī)構(gòu)為 2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)，所以還需要添加一個(gè)移動(dòng)和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，從而構(gòu)成五軸聯(lián)動(dòng)。這可通過(guò)將具有一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的工作臺(tái)附加于可移動(dòng)平臺(tái)上（如圖3a和3b所示），或者在動(dòng)平臺(tái)下方添加具有一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的擺頭和可移動(dòng)的平臺(tái)的方式（如圖3c所示）來(lái)構(gòu)造五自由混聯(lián)機(jī)器人。

如上所述，該運(yùn)動(dòng)冗余平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)能實(shí)現(xiàn)沿水平和豎直方向的移動(dòng)、繞方向的方位調(diào)整；可轉(zhuǎn)動(dòng)工作臺(tái)/擺頭可實(shí)現(xiàn)相對(duì)動(dòng)平臺(tái)另外一個(gè)方向的方位調(diào)整；可移動(dòng)平臺(tái)移動(dòng)方向與并聯(lián)機(jī)構(gòu)所在平面垂直，用于實(shí)現(xiàn)沿方向的移動(dòng)，從而形成機(jī)器人的五軸聯(lián)動(dòng)。

對(duì)圖1、圖2和圖3中構(gòu)型方案進(jìn)行排列組合，共可構(gòu)造出15種五自由度混聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)，其中驅(qū)動(dòng)冗余混聯(lián)機(jī)器人6種、運(yùn)動(dòng)冗余混聯(lián)機(jī)器人3種，既非驅(qū)動(dòng)冗余又非運(yùn)動(dòng)冗余混聯(lián)機(jī)器人6種。

通過(guò)觀察圖1給出的驅(qū)動(dòng)冗余平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)：圖1a，4條分支上下和左右對(duì)稱布置，且尺寸相同；圖1b，4條分支左右對(duì)稱布置，兩兩尺寸相同。圖1a所示方案具有正反解簡(jiǎn)單、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、控制容易的特點(diǎn)，圖1b所示方案具有結(jié)構(gòu)緊湊的特點(diǎn)。通過(guò)觀察圖3給出的3種TR構(gòu)型：圖3a和3c結(jié)構(gòu)的相似之處在于彌補(bǔ)的是動(dòng)平臺(tái)繞軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)能力，圖3b彌補(bǔ)的是動(dòng)平臺(tái)繞軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)能力。3種方案均可實(shí)現(xiàn)混聯(lián)機(jī)器人的五軸聯(lián)動(dòng)，但是圖3b所示方案與另外2種方案相比具有更易于保障結(jié)構(gòu)剛度的特點(diǎn)。

通過(guò)以上結(jié)果的對(duì)比分析，結(jié)合圖3和圖2b即可從上述15種混聯(lián)機(jī)器人中優(yōu)選出一種運(yùn)動(dòng)冗余五自由度混聯(lián)機(jī)器人。此類型五自由度混聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型簡(jiǎn)單、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，具有運(yùn)動(dòng)冗余機(jī)器人的特性，以及串聯(lián)環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)剛度大的優(yōu)點(diǎn)。下文將對(duì)此種機(jī)器人進(jìn)行分析。

2 五自由度混聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

結(jié)合圖2和圖3b組成運(yùn)動(dòng)冗余五自由度混聯(lián)機(jī)器人，其三維模型和結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖4所示。為了更好的對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析，需要建立該機(jī)構(gòu)的參數(shù)模型，在動(dòng)平臺(tái)上建立動(dòng)系-，在定平臺(tái)上建立參考坐標(biāo)系（定系）-。在定系中，轉(zhuǎn)動(dòng)副中心A的位置向量為；點(diǎn)、、的位置向量分別表示為、、。

2.1 位置分析

2.1.1 位置反解

由于該五自由度混聯(lián)機(jī)器人的并聯(lián)部分和串聯(lián)部分為獨(dú)立設(shè)計(jì)，所以目標(biāo)體的位姿由并聯(lián)和串聯(lián)部分協(xié)調(diào)完成，且兩部分的運(yùn)動(dòng)解耦，故在此僅給出并聯(lián)部分的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的參考點(diǎn)為點(diǎn)，姿態(tài)矩陣為。

動(dòng)平臺(tái)點(diǎn)在定系中的位置向量為

式中=(0)T為點(diǎn)在動(dòng)系中位置向量；為動(dòng)平臺(tái)的長(zhǎng)度，mm；為點(diǎn)在定系中的位置向量。

a. 三維模型a. Three-dimensional modelb. 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖b. Structural sketch

注：為動(dòng)坐標(biāo)系；為動(dòng)平臺(tái)左側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的中心；為動(dòng)平臺(tái)右側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的中心；為中間連桿上側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的中心；A（=1,2,3,4）為滑塊上轉(zhuǎn)動(dòng)副的中心；l（=1,2,3,4）為各分支的長(zhǎng)度，mm；ρ（=1,2,3,4）為各分支的移動(dòng)副中心到軸的距離，mm；為兩側(cè)滑塊在方向的距離，mm；r（=1,2,3）為無(wú)量綱參數(shù)。

Note:-is moving coordinate system;is center of revolute joint located in left of moving platform;is center of revolute joint located in right of moving platform;is center of revolute joint located in top of intermediate link; A(=1,2,3,4) is center of revolute joint located in slider;l(=1,2,3,4) is branch length, mm;ρ(=1,2,3,4) is distance from the center of prismatic joint to theaxis, mm;is horizontal distance of sliders on both sides, mm;r(=1,2,3) is dimensionless parameter.

圖4 五自由度混聯(lián)機(jī)器人

Fig.4 5-DOF hybrid serial-parallel manipulator

式中為A點(diǎn)在定系中的位置向量；單位向量=(0 1)T，與定系的軸同向；ρ為移動(dòng)副中心到軸的距離，mm；=(0)T為34直線與軸交點(diǎn)在定系中的位置向量，為兩側(cè)滑塊在方向的距離，mm。

設(shè)分支桿的長(zhǎng)度為l（=1,2），那么

將式（3）代入式（4）可得

（5）

式（5）展開(kāi)化簡(jiǎn)得

式中1i為一次項(xiàng)系數(shù)；1i為常數(shù)項(xiàng)。

設(shè)動(dòng)平臺(tái)和連桿之間的角度（用于體現(xiàn)機(jī)構(gòu)的奇異性），rad，那么

式中為點(diǎn)在定系中的位置向量；為單位矩陣；為連桿相對(duì)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)矩陣；為連桿的長(zhǎng)度，mm。

根據(jù)分支3，4的定桿長(zhǎng)可知

式（8）展開(kāi)化簡(jiǎn)得

（9）

式中*為中間代換量；2i為一次項(xiàng)系數(shù)；2i為常數(shù)項(xiàng)。

當(dāng)給定目標(biāo)體的抓取點(diǎn)位置和抓取方向時(shí)，即可求解出移動(dòng)平臺(tái)和旋轉(zhuǎn)工作臺(tái)的輸入量，并可折射出動(dòng)平臺(tái)的位姿，然后結(jié)合式（6）和式（9）即可根據(jù)動(dòng)平臺(tái)的給定位姿和動(dòng)平臺(tái)和之間的角度，求解出并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各個(gè)驅(qū)動(dòng)的輸入量。

2.1.2 位置正解

不同于空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)，平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解非常簡(jiǎn)單，可通過(guò)幾何法求出。當(dāng)給定4個(gè)驅(qū)動(dòng)分支的輸入時(shí)，即可快速求解出動(dòng)平臺(tái)的位姿。

當(dāng)給定驅(qū)動(dòng)的輸入量ρ（=1，2，3，4），轉(zhuǎn)動(dòng)副中心A的位置即可確定。分別以點(diǎn)1和2為圓心，做半徑為的圓，其交點(diǎn)記為點(diǎn)；分別以點(diǎn)3和4為圓心，做半徑為的圓，其交點(diǎn)記為點(diǎn)；分別以點(diǎn)和為圓心，以和為半徑做圓，其交點(diǎn)記為點(diǎn)。平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解需考慮并聯(lián)機(jī)構(gòu)的幾何特點(diǎn)，對(duì)圓交點(diǎn)進(jìn)行取舍得到唯一的位置正解，例如：交點(diǎn)點(diǎn)和點(diǎn)應(yīng)取機(jī)架左右移動(dòng)副之間的點(diǎn)，交點(diǎn)需根據(jù)的具體值進(jìn)行取舍。

2.2 雅克比矩陣的建立

將式（2）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

將式（4）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

將式（3）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并代入式（11）中可得

（12）

由連桿長(zhǎng)度為，得

將式（13）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

（14）

聯(lián)立式（10），（14）可得

將式（8）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并對(duì)其進(jìn)行整理

（16）

將式（16）記為

由式（17）可得

（18）

將式（18）代入式（15）中可得

結(jié)合式（12）和式（19）可得

（20）

由式（20）可知，在保證分支1、2不重合，分支3、4不重合的前提下，直線不通過(guò)點(diǎn)（0<<π/2），矩陣和滿秩，機(jī)構(gòu)即可避免發(fā)生奇異。值得一提的是，動(dòng)平臺(tái)和之間的角度可以體現(xiàn)機(jī)構(gòu)的奇異度：當(dāng)趨近于π/2時(shí)，機(jī)構(gòu)遠(yuǎn)離奇異；當(dāng)趨近于0時(shí)，機(jī)構(gòu)接近奇異。

3 尺寸及結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

機(jī)器人優(yōu)化設(shè)計(jì)是對(duì)機(jī)器人綜合性能的量化，在機(jī)器人的設(shè)計(jì)階段，優(yōu)化可分為尺寸優(yōu)化和機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。尺寸優(yōu)化是在保證機(jī)器人性能的前提下獲取較佳的結(jié)構(gòu)參數(shù)；結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化是在保證機(jī)器人結(jié)構(gòu)剛度的前提下獲取較佳的結(jié)構(gòu)構(gòu)型。

3.1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺寸優(yōu)化

為了使機(jī)構(gòu)遠(yuǎn)離奇異，取=π/2，則動(dòng)平臺(tái)和連桿可看成一個(gè)新的動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)，其長(zhǎng)度為，mm。。為簡(jiǎn)化優(yōu)化參數(shù)，定義=3，則機(jī)構(gòu)所需優(yōu)化的尺寸參數(shù)為、、。

尺寸參數(shù)無(wú)量綱化[14]，消除機(jī)構(gòu)的物理屬性，令=(++)/3，則1=/，2=/，3=/（為歸一化因數(shù)）。為滿足機(jī)構(gòu)的可裝配性，無(wú)量綱參數(shù)1，2，3應(yīng)滿足以下方程

據(jù)式（21），分別以1、2和3為兩兩垂直的坐標(biāo)軸，可以得到該機(jī)器人設(shè)計(jì)空間的三維表示形式，創(chuàng)建一個(gè)如圖5a所示的設(shè)計(jì)空間，圖5a中的三角形為該機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)空間。將空間的三角形轉(zhuǎn)換到二維平面中（如圖5b所示），其轉(zhuǎn)換關(guān)系式為

（22）

式中、為無(wú)量綱參數(shù)。

由于此并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型主要限制動(dòng)平臺(tái)在方向的運(yùn)動(dòng)能力，絲杠的行程主要限制動(dòng)平臺(tái)在方向的運(yùn)動(dòng)能力。所以接下來(lái)以動(dòng)平臺(tái)的靈活性指標(biāo)對(duì)平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行優(yōu)化，定義動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的有效行程（動(dòng)平臺(tái)任意點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)能力達(dá)到±π/6），將動(dòng)平臺(tái)的有效行程與理論最大行程(3?2)之比作為目標(biāo)值[=/(3?2)]，則目標(biāo)值∈(0,1)。借助Matlab繪制性能圖譜，如圖6所示。

觀察圖6中可以得到：優(yōu)化區(qū)域輪廓趨于三角形。通過(guò)分析圖中三角形邊所在位置的優(yōu)化值，可以較方便的獲得較優(yōu)區(qū)域。

由于結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化并沒(méi)有最優(yōu)尺寸，而只能取得相對(duì)較好的結(jié)構(gòu)尺寸[14]，所以為獲得較大的有效行程比，可以取目標(biāo)值>0.7的坐標(biāo)點(diǎn)。當(dāng)坐標(biāo)(,)=(1.47, 0.5)時(shí)，=0.78>0.7，由式（22）可知2==0.5，取動(dòng)平臺(tái)長(zhǎng)度=180 mm，根據(jù)歸一化因數(shù)，求出=388.22 mm，=560.46 mm。運(yùn)用此組優(yōu)化數(shù)據(jù)所得的結(jié)構(gòu)尺寸，設(shè)計(jì)出的三維模型如圖4a所示。

3.2 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

在盡量保證機(jī)器人結(jié)構(gòu)剛度的前提下，以材料質(zhì)量為狀態(tài)變量對(duì)模型分支桿（材料定義為結(jié)構(gòu)鋼）進(jìn)行優(yōu)化。利用ANSYS Workbench中的拓?fù)鋬?yōu)化模塊對(duì)機(jī)構(gòu)的上下分支桿結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，以達(dá)到盡量維持原結(jié)構(gòu)剛度基礎(chǔ)上，降低分支桿質(zhì)量的目的。

上分支和下分支優(yōu)化前結(jié)構(gòu)分別如圖7a和7b所示，優(yōu)化目標(biāo)：?jiǎn)畏种г试S變形量小于10%，分支減輕質(zhì)量比大于25%。分支桿可以看做二力桿，受到重力、沿桿長(zhǎng)方向拉（壓）力、沿方向的壓力。

如果將分支桿與滑塊連接端視為固定端，分支桿水平布置，在分支另一端加載沿桿長(zhǎng)方向拉力和沿方向的壓力各100 N。為使拓?fù)鋬?yōu)化所得結(jié)果更加直觀，鑒于分支結(jié)構(gòu)重力方向?yàn)檩S方向（位于平面中），所以將分支受桿長(zhǎng)方向的拉力與重力歸為一組，將分支桿受垂直于平面的壓力（軸方向的壓力）為另一組，然后對(duì)上述兩組單獨(dú)進(jìn)行優(yōu)化。上分支優(yōu)化結(jié)果如圖8a和8b所示，下分支優(yōu)化結(jié)果如圖8c和8d所示，其中圖8a和8c為分支受重力和拉力時(shí)拓?fù)浣Y(jié)果，圖8b和圖8d為分支受壓力時(shí)拓?fù)浣Y(jié)果。

拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果為不規(guī)則形狀，在實(shí)際的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，考慮到零件外觀、加工工藝性、可實(shí)施性及應(yīng)力分布問(wèn)題等情況，不能將所有淺色區(qū)域（虛線內(nèi)部）全部切除，參考圖8所示拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，優(yōu)化后模型如圖9所示。為了更好的驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果，對(duì)上分支和下分支進(jìn)行有限元對(duì)比分析，并且將上下單分支的靜剛度分析結(jié)果及減輕質(zhì)量比進(jìn)行匯總，參考表1。

通過(guò)觀察對(duì)比分析表1中的數(shù)據(jù)可知：與優(yōu)化前分支相比，上分支的變形量增大0.001 7 mm，占原分支變形量的9.66%；質(zhì)量降低了2.744 8 kg，占原分支質(zhì)量的36.79%；下分支的變形量增大0.001 4 mm，占原分支變形量的6.28%；質(zhì)量降低了3.126 1 kg，占原分支質(zhì)量的29.24%。上下分支均滿足單分支允許變形量小于10%及分支減輕質(zhì)量比大于25%的優(yōu)化目標(biāo)。

a. 優(yōu)化后上分支a. Upper branch after optimizingb. 優(yōu)化后下分支b. Lower branch after optimizing

表1 分支桿結(jié)構(gòu)優(yōu)化前后對(duì)比

表1中的數(shù)據(jù)針對(duì)的是上下單分支，為了進(jìn)一步提高結(jié)果可靠性，將優(yōu)化分支導(dǎo)入模型，通過(guò)有限元軟件對(duì)整體機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行了靜力學(xué)分析。圖10給出了在動(dòng)平臺(tái)上施加沿方向各100 N情況下的初始位姿整體變形，其中圖10a為分支優(yōu)化前位移變形，圖10b為分支優(yōu)化后位移變形。

a. 優(yōu)化前位移變形

a. Total displacement deformation before optimizing

由圖10所示機(jī)器人整體結(jié)構(gòu)受力變形前后的對(duì)比可知，機(jī)器人優(yōu)化后整體變形較優(yōu)化前整體變形僅僅增大了0.51%，但優(yōu)化前后機(jī)構(gòu)優(yōu)化部分的質(zhì)量減少了33.02%，達(dá)到了結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的目的，這對(duì)機(jī)構(gòu)整體性能的提升起到良好的推進(jìn)作用。

4 結(jié) 論

1）提出一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、存在連續(xù)轉(zhuǎn)軸、關(guān)節(jié)數(shù)目少的2T1R運(yùn)動(dòng)冗余平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并構(gòu)造出了多種五自由度混聯(lián)機(jī)器人。

2）推導(dǎo)出了五自由度混聯(lián)機(jī)器人的位置正反解，體現(xiàn)出了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，建立了并聯(lián)部分的速度雅克比矩陣，并對(duì)其進(jìn)行了奇異分析，給出了減少機(jī)構(gòu)奇異位型的條件及遠(yuǎn)離機(jī)構(gòu)奇異的原則。

3）基于靈活性指標(biāo)，對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了尺寸優(yōu)化，繪制了用于選取結(jié)構(gòu)尺寸的性能圖譜；借助有限元軟件對(duì)具有運(yùn)動(dòng)冗余特性的平面機(jī)構(gòu)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，達(dá)到減少機(jī)構(gòu)質(zhì)量的目的，并分別完成了單分支及整體結(jié)構(gòu)優(yōu)化前后的靜力學(xué)分析與對(duì)比，結(jié)果顯示優(yōu)化前后整體變形僅增大0.51%，優(yōu)化前后機(jī)構(gòu)優(yōu)化部分的質(zhì)量減少33.02%，驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的合理性。

本文研究為該五自由度混聯(lián)機(jī)器人后期樣機(jī)的研制提供了理論依據(jù)，為拓展農(nóng)業(yè)機(jī)器人的應(yīng)用范圍提供了參考。

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Optimal design and kinematics analysis of 5-DOF hybrid serial-parallel manipulator

Zhang Dongsheng1, Xu Yundou1,2, Hou Zhaowei1, Yao Jiantao1,2, Zhao Yongsheng1,2※

(1066004; 2,066004)

In recent years, with the development of various types of intelligent robots, new agricultural robots have become frontier technology in the field of international agricultural machinery. And as the complexity and diversity of the agricultural production and operation, the characteristics of advancement and practicability are needed to add to the agricultural robots. In this paper, in order to increase the automation level of agricultural operations and improve the ability of adapting to different working environments, a novel kinematically redundant planar parallel mechanism (PM) with continuous rotational axis and fewer joints is proposed, which has one rotational degree of freedom (DOF) and 2 translational DOFs (2T1R). For the rotational DOF, the rotational axes of the moving platform are mutually parallel at any position of the whole workspace; for the translational DOFs, the directions are simple horizontal and vertical. This robot has a quite simple structure. As we all know, simple structures of the robot can reduce the manufacturing cost to a great extent. This kinematically redundant planar PM is a metamorphic mechanism. For instant, when the moving platform and the intermediate link are locked, the PM becomes an actuation redundant PM. So this PM can be used to research not only the kinematically redundant property but also the actuation redundant property. Actually, this new type PM can be used in the field of food packaging, seed selection, fruit classification, transport, picking, and so on. For the purpose of improving the robot properties, 15 5-DOF hybrid serial-parallel manipulators are constructed on the basis of this type of planar PM. One of these manipulators is selected to do some analysis in this paper, which is more likely to be applied in agriculture. Firstly, the kinematic model of the 5-DOF hybrid manipulator is established. Especially, the forward and inverse kinematics models show the briefness of this robot. What is worth mentioning is that a simple kinematics model is conducive to realize the control of the robot. And this matches the strategy of robot intelligence. The velocity Jacobian matrix is deduced, the singularity analysis of the PM is done according to the Jacobian matrix, and the conditions for reducing singularity are listed. The concept of singularity degree is defined, which can be used to keep away from mechanism singularity. Then based on the flexibility performance index, the optimal design of the 2T1R planar PM is investigated and the performance atlas is drawn. From the performance atlas, we can choose the physical dimensions of the PM. The 3-dimentional model based on a set of optimal physical dimensions is established. After that, in order to reduce weight without the loss of stiffness, the structural topology optimization is accomplished by means of the finite element software. The analysis and comparison of the whole structure are also carried out. This novel hybrid manipulator has the characteristics of simple structure, simple kinematic model, high stiffness, and high degree of modularity, which provides a very variety of application prospects in the field of agricultural machinery.

robots; design; optimization; planar parallel mechanism; kinematically redundant; degree of freedom; metamorphic mechanism

10.11975/j.issn.1002-6819.2016.24.009

TP242

A

1002-6819(2016)-24-0069-08

2016-05-12

2016-11-17

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51275439）；河北省重點(diǎn)基礎(chǔ)研究項(xiàng)目（15961805D）；燕山大學(xué)青年教師自主研究計(jì)劃課題資助項(xiàng)目（13LGA001）；河北省研究生創(chuàng)新資助項(xiàng)目（2016SJBS001）

張東勝，男，博士，主要研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)器人理論及其應(yīng)用。秦皇島 燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，066004。 Email：ysuzds@163.com

趙永生，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)器人理論及其應(yīng)用。秦皇島 燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，066004。Email：yszhao@ysu.edu.cn