船舶水下電場(chǎng)的預(yù)測(cè)方法*

譚 浩，陳 聰，蔣治國(guó)

(海軍工程大學(xué) 理學(xué)院 應(yīng)用物理系， 湖北 武漢 430033)

船舶水下電場(chǎng)的預(yù)測(cè)方法*

譚 浩，陳 聰，蔣治國(guó)

(海軍工程大學(xué) 理學(xué)院 應(yīng)用物理系， 湖北 武漢 430033)

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)船舶水下電場(chǎng)信號(hào)目標(biāo)特征的控制，提出一種信號(hào)預(yù)測(cè)的方法。對(duì)測(cè)得的信號(hào)進(jìn)行小波分解并分別在靜電場(chǎng)和軸頻電場(chǎng)頻段進(jìn)行重構(gòu)。對(duì)高頻的軸頻電場(chǎng)信號(hào)構(gòu)建自回歸預(yù)測(cè)模型，對(duì)低頻的靜電場(chǎng)信號(hào)以灰色GM(1，1)模型進(jìn)行擬合。將預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行疊加得到對(duì)下一時(shí)刻電場(chǎng)信號(hào)的預(yù)測(cè)值。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)該方法的檢驗(yàn)結(jié)果表明：用該方法對(duì)船舶水下電場(chǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，電場(chǎng)的預(yù)測(cè)誤差在原信號(hào)幅值的20%以內(nèi)。

水下電場(chǎng)；預(yù)測(cè)模型；小波分解；灰色GM(1，1)模型；自回歸模型

船舶在海水中的腐蝕過(guò)程會(huì)產(chǎn)生電流，為了抑制船體腐蝕，船身普遍安裝有陰極保護(hù)系統(tǒng)。不過(guò)抑制腐蝕的過(guò)程，也伴隨著防腐電流的輸出，因此，船體在其海水周圍會(huì)產(chǎn)生靜電場(chǎng)，由于海水?dāng)_動(dòng)和電器設(shè)備穩(wěn)定性等因素的影響，靜電場(chǎng)會(huì)在0.1 Hz的頻率左右波動(dòng)。與此同時(shí)，腐蝕與防腐電流會(huì)經(jīng)海水從船殼(鐵質(zhì))流向螺旋槳(銅質(zhì))，并通過(guò)軸承、密封和機(jī)械線路從螺旋槳返回到船殼形成電流回路，該回路的電阻會(huì)隨著螺旋槳軸承的旋轉(zhuǎn)而發(fā)生周期變化，從而使海水中的電流受到調(diào)制。這些時(shí)變電流會(huì)以轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為基頻，以諧波的形式由船體向外傳播，從而產(chǎn)生基頻與螺旋槳轉(zhuǎn)動(dòng)頻率一致的軸頻電場(chǎng)(1～7 Hz)。靜電場(chǎng)和軸頻電場(chǎng)都是船舶水下重要的目標(biāo)特征信號(hào)源[1]。

從20世紀(jì)50年代起，西方國(guó)家和蘇聯(lián)就非常重視船舶水下電場(chǎng)的研究[2]，到目前為止已經(jīng)設(shè)計(jì)并投入使用了許多高性能的水下電場(chǎng)測(cè)量裝置和抑制自身水下電場(chǎng)信號(hào)特征的裝置[3]。相比之下，我國(guó)在該領(lǐng)域的研究與國(guó)外先進(jìn)水平存在非常大的差距，很多工作尚處于基礎(chǔ)研究階段。

比較目前國(guó)內(nèi)在船舶水下電場(chǎng)領(lǐng)域的各項(xiàng)工作，電場(chǎng)信號(hào)的電偶極子建模研究方面已相對(duì)成熟，理論和實(shí)驗(yàn)研究都顯示，一定范圍內(nèi)一對(duì)電偶極子在水下能夠等效為船舶產(chǎn)生的水下電場(chǎng)[4-5]。在此成果的基礎(chǔ)上，對(duì)于船舶水下電場(chǎng)預(yù)測(cè)方法的研究就顯示出了實(shí)際意義：如果能夠估計(jì)出船舶的水下電場(chǎng)在未來(lái)時(shí)刻產(chǎn)生的電場(chǎng)值，施加一個(gè)與船舶電場(chǎng)等大反向的電場(chǎng)即可使自身船舶的電場(chǎng)目標(biāo)特征得到控制，而剩余的水下電場(chǎng)值即為預(yù)測(cè)誤差。因此，預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確程度能夠反映出電場(chǎng)控制的效果。

本文在分析海洋實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，針對(duì)船舶水下電場(chǎng)以及海洋環(huán)境噪聲的特點(diǎn)，提出了一種基于小波分解的灰色GM(1，1)_AR模型的船舶電場(chǎng)預(yù)測(cè)方法。

1 電場(chǎng)數(shù)據(jù)的獲得及信號(hào)特性分析

通過(guò)自行研制的一套船舶電場(chǎng)采集系統(tǒng)于渤海某海域進(jìn)行了一次海上實(shí)船水下電場(chǎng)的測(cè)量，獲取數(shù)據(jù)。根據(jù)電偶極子模型，只有測(cè)量電極無(wú)限接近時(shí)，兩電極測(cè)得的電位差才能近似等于電場(chǎng)值。實(shí)際測(cè)量中，為了增大信號(hào)的信噪比，將電極距適當(dāng)增大，電場(chǎng)值由測(cè)得的電位差與電極距的比值計(jì)算得到。

水下電場(chǎng)測(cè)量系統(tǒng)主要由岸上控制主機(jī)和測(cè)量體兩部分組成，兩者之間通過(guò)水密電纜相連。岸上控制主機(jī)包括一臺(tái)計(jì)算機(jī)和一個(gè)通信Modem；水下測(cè)量體則包括電極支架、深度傳感器、電場(chǎng)傳感器和置于密封桶內(nèi)的信號(hào)調(diào)理電路。其中，信號(hào)調(diào)理電路對(duì)采集到的信號(hào)先差分放大100倍，經(jīng)過(guò)10 Hz六階低通濾波再放大50倍。采樣率為128 Hz。

傳感器采用全固態(tài)Ag/AgCl電極，測(cè)量電極之間的距離設(shè)置為3 m，平行于螺旋槳轉(zhuǎn)軸放置，與轉(zhuǎn)軸距離約4 m。由于測(cè)試用船的螺旋槳為變矩槳，可調(diào)整螺旋槳使其轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)不產(chǎn)生推力，所以本次測(cè)試在碼頭進(jìn)行。盡管港口內(nèi)環(huán)境干擾噪聲相對(duì)于海上的干擾更大，但是在碼頭進(jìn)行試驗(yàn)可保持電極與螺旋槳的位置相對(duì)固定，而且電極對(duì)與螺旋槳之間較近的距離也保持了測(cè)得的電場(chǎng)信號(hào)的信噪比相對(duì)較高，且實(shí)施操作更加方便。

為了獲得更加全面的信息，在測(cè)量船舶電場(chǎng)數(shù)據(jù)之前首先對(duì)該海域大量的環(huán)境電場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行了測(cè)量，其中一組數(shù)據(jù)如圖1所示。

圖1 環(huán)境噪聲的時(shí)域和頻域幅值Fig.1 Noise in time and frequency zone

由環(huán)境噪聲的頻譜部分可以發(fā)現(xiàn)，該海域的環(huán)境電場(chǎng)主要集中在4 Hz以下的頻段(經(jīng)分析主要為人為噪聲，實(shí)際海洋電場(chǎng)噪聲主要集中在1 Hz以下[1])，所以為了更好地驗(yàn)證本方法的有效性，提高信號(hào)的信噪比，可調(diào)節(jié)螺旋槳的轉(zhuǎn)動(dòng)速度到避開(kāi)環(huán)境噪聲較集中的頻段。測(cè)得的其中一組軸頻電場(chǎng)序列及其功率譜如圖2所示。

圖2 實(shí)船軸頻電場(chǎng)信號(hào)的時(shí)域值與功率譜Fig.2 Shaft-rate electric field signal in time zone and the power spectrum

較低頻率的靜電場(chǎng)主要集中在0.1 Hz左右的頻段，即測(cè)得的船舶水下電場(chǎng)信號(hào)為帶有不明顯趨勢(shì)的非平穩(wěn)時(shí)間序列。所以，對(duì)該信號(hào)進(jìn)行預(yù)測(cè)的基本思想為：把信號(hào)分為分別對(duì)應(yīng)于軸頻電場(chǎng)以及靜電場(chǎng)的高頻信號(hào)和低頻信號(hào)兩個(gè)部分，分別對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)，之后把各自的預(yù)測(cè)結(jié)果相疊加得到對(duì)信號(hào)的預(yù)測(cè)值。

然而在傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)中，各種方法和結(jié)論只有在樣本趨于無(wú)窮大時(shí)其性能才有理論上的保證，而在眾多的工程實(shí)際中，樣本數(shù)常常是有限的，這就導(dǎo)致很多傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分析方法難以取得理想的效果。對(duì)于均值具有趨勢(shì)性的非平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)問(wèn)題，關(guān)鍵取決于如何提取時(shí)間序列中的低頻和高頻成分并進(jìn)行建模以及如何避免對(duì)高頻信息的過(guò)擬合。

為了解決這類問(wèn)題，考慮到二進(jìn)正交小波對(duì)非平穩(wěn)時(shí)間序列的適應(yīng)性[6]，采取該方法對(duì)高低頻成分進(jìn)行分離。對(duì)于低頻成分而言，灰色系統(tǒng)是建立系統(tǒng)運(yùn)行趨勢(shì)模型的有效方法，適用于動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，且只需少量已知信息就可建立預(yù)測(cè)模型；對(duì)于頻譜特性明顯的軸頻電場(chǎng)的高頻成分，則可選用具有線性特征的自回歸(Auto Regressive, AR)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。

2 信號(hào)預(yù)測(cè)的原理及方法

2.1 信號(hào)的小波分解與重構(gòu)

首先將測(cè)得的水下電場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行小波分解，并分別在軸頻段和靜電場(chǎng)的頻段進(jìn)行重構(gòu)。多分辨分析理論認(rèn)為一個(gè)信號(hào)可以分解為低頻信號(hào)和高頻信號(hào)兩部分。

設(shè)f0為待分解信號(hào)，由分解算法有：cj+1=Hcj，dj+1=Gdj，j=0,1,…，J。其中，H和G分別為低通濾波器和高通濾波器的傳遞函數(shù)；J為最大分解層數(shù)；cj+1和dj+1分別為f0在分別率2-(j+1)下的低頻信號(hào)和高頻信號(hào)，最終將f0分解為d1,d2,…，dJ和cJ。該分解算法利用二抽取，使得每層分解比分解前的信號(hào)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度減半，而總輸出數(shù)據(jù)長(zhǎng)度與輸入數(shù)據(jù)長(zhǎng)度保持一致。

經(jīng)Mallat算法分解后的信號(hào)可采用重構(gòu)算法進(jìn)行二差值重構(gòu)。設(shè)H*和G*分別為H和G的對(duì)偶算子，可采用式(1)對(duì)分解后的信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。

Cj=H*Cj+1+G*Dj+1，j=J-1，J-2，…，0

(1)

對(duì)d1,d2,…,dJ和cJ分別進(jìn)行重構(gòu)，得到D1,D2,…,DJ第1層至第J層的高頻信號(hào)重構(gòu)和CJ的第J層低頻信號(hào)重構(gòu)，其中Cj和Dj分別為cj和dj構(gòu)成的列矩陣，分別對(duì)應(yīng)于分解后的靜電場(chǎng)與軸頻電場(chǎng)信號(hào)。在Mallat重構(gòu)算法中利用二插值，在輸入數(shù)據(jù)序列的每相鄰數(shù)據(jù)之間補(bǔ)一個(gè)零，使得數(shù)據(jù)長(zhǎng)度增加一倍，以恢復(fù)抽取前的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度[7]。

2.2 灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)模型

GM(1，1)是關(guān)于數(shù)列預(yù)測(cè)的一個(gè)變量、一階微分的預(yù)測(cè)模型[7-8]。原始時(shí)間序列按時(shí)間累加后所形成的新的時(shí)間序列呈現(xiàn)的規(guī)律，可用一階線性微分方程的解來(lái)逼近。因此，可以此模型對(duì)靜電場(chǎng)頻段的信號(hào)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

設(shè)測(cè)量到的信號(hào)為：

X0(t)={x0(1),x0(2),…,x0(n)},x0(i)>0,

i=1,2,…,n

分別令

(2)

GM(1，1)模型x0+az=b對(duì)應(yīng)的白化微分方程為：

(3)

則有式(4)成立，從而可求得參數(shù)a,b的值。

[x0(2),x0(3),…,x0(n)]T

(4)

模型白化方程時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為：

(5)

對(duì)式(5)兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，得

(6)

即為未來(lái)時(shí)刻的信號(hào)預(yù)測(cè)值。

2.3 AR預(yù)測(cè)模型

由于時(shí)間序列是各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程函數(shù)的取樣，因此可用時(shí)間平均代替集合平均，則有：

(7)

(8)

前、后向預(yù)測(cè)誤差和反射系數(shù)在不同階次時(shí)的遞推關(guān)系為：

(9)

m=1,2,…,p

(10)

得到km后，在m階時(shí)的AR模型系數(shù)仍然由Levinson算法遞推求出，即有：

k=1,2,…,m-1

(11)

其中：am(k)為p階AR模型在m階時(shí)的第k個(gè)系數(shù)，k=1,2,…,m-1；ρm為在m階時(shí)的前向預(yù)測(cè)誤差最小功率。AR參數(shù)在第m-1階時(shí)即可求出。

3 算例

測(cè)得的船舶電場(chǎng)原始數(shù)據(jù)及分解的結(jié)果如圖3所示。建模樣本取400點(diǎn)，之后均采取一步預(yù)測(cè)并做差值運(yùn)算驗(yàn)證預(yù)測(cè)模型準(zhǔn)確度。

(a) 電場(chǎng)序列(a) Electric field sequence

(b) 高頻分量(b) High frequency components

(c) 低頻分量(c) Low frequency components圖3 原始信號(hào)及其高、低頻分量信號(hào)Fig.3 Original signal, high frequency components and low frequency components in time zone

采用基于db3小波分解、灰色GM(1，1)_AR預(yù)測(cè)模型對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)效果如圖4所示。以預(yù)測(cè)信號(hào)與原信號(hào)的差值的幅度譜作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。幅度譜計(jì)算方法為：在信號(hào)中截取等長(zhǎng)度的10段序列(序列之間可以相互重疊)，分別對(duì)每段信號(hào)采用周期圖法計(jì)算512點(diǎn)功率譜，并取平均值，再進(jìn)行開(kāi)方，計(jì)算結(jié)果取其10倍常用對(duì)數(shù)。預(yù)測(cè)誤差的時(shí)域值如圖5所示，原信號(hào)以及預(yù)測(cè)誤差的幅度譜如圖6所示。

圖4 實(shí)船軸頻電場(chǎng)預(yù)測(cè)效果Fig.4 Prediction of SR electric field signal

圖5 預(yù)測(cè)誤差的時(shí)域值Fig.5 Error in time zone

(a) 原信號(hào)的幅度譜(a) Amplitude spectrum of original signal

(b) 差值的幅度譜(b) Amplitude spectrum of error圖6 原信號(hào)與預(yù)測(cè)誤差的幅度譜Fig.6 Amplitude spectrum of original signal and error

由圖6中預(yù)測(cè)誤差的時(shí)域值可以發(fā)現(xiàn)，預(yù)測(cè)誤差的時(shí)域峰值大約為原信號(hào)的30%左右。在信號(hào)的幅度譜中，3.9 Hz處原信號(hào)從3.399 dB降低到預(yù)測(cè)誤差的-5.161 dB，設(shè)信號(hào)控制前后信號(hào)時(shí)域的幅度分別為A和B，則有10 lg(B/A)=-8.56，計(jì)算得到預(yù)測(cè)誤差大約為原信號(hào)的13.93%。

處理后的信號(hào)中有明顯的大約周期為500個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的“尖峰”出現(xiàn)，其并非由于方法的有效性存在問(wèn)題，而是由于硬件系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)的缺陷所致。測(cè)量過(guò)程中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)寫入SD卡所持續(xù)的時(shí)間內(nèi)，采集到的數(shù)據(jù)沒(méi)有存儲(chǔ)，所以會(huì)有周期性數(shù)據(jù)點(diǎn)的丟失，如圖5中寫入時(shí)間對(duì)應(yīng)于5680的點(diǎn)所示。丟失數(shù)據(jù)后，波形會(huì)出現(xiàn)不平滑的“突變”，導(dǎo)致預(yù)測(cè)的不準(zhǔn)確。而實(shí)際的信號(hào)特征控制過(guò)程中不存在數(shù)據(jù)長(zhǎng)時(shí)間存儲(chǔ)的情況，所以不會(huì)出現(xiàn)類似問(wèn)題。

由于以上所進(jìn)行處理的僅為一組數(shù)據(jù)的結(jié)果，不具有普遍性，為驗(yàn)證方法的適用性，另對(duì)該海域其他時(shí)段的測(cè)量數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)室不同時(shí)段的共十幾組測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)有效性檢驗(yàn)。盡管不同數(shù)據(jù)的信噪比各不相同，這些數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)誤差均能控制在20%以內(nèi)。對(duì)比所有數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)誤差發(fā)現(xiàn)，信號(hào)的信噪比越高，預(yù)測(cè)的效果越好；信號(hào)中混入噪聲越多，預(yù)測(cè)模型的階數(shù)需要得越高，模型越復(fù)雜。因此，本方法在使用中需要根據(jù)不同海域和不同時(shí)段的噪聲變化調(diào)整預(yù)測(cè)模型的參數(shù)，這也是本方法的局限性所在。

4 結(jié)論

水下電場(chǎng)是海水中船舶產(chǎn)生的重要的目標(biāo)特征信號(hào)之一，預(yù)測(cè)方法的研究對(duì)其信號(hào)特征控制方面具有重要意義。本文將基于小波分解理論的灰色GM(1，1)模型和AR預(yù)測(cè)模型用于船舶水下電場(chǎng)的預(yù)測(cè)，采用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了計(jì)算。結(jié)果表明，該方法能對(duì)船舶電場(chǎng)信號(hào)進(jìn)行有效的預(yù)測(cè)，誤差能夠維持在原信號(hào)的20%以內(nèi)，能夠?yàn)樵擃I(lǐng)域探測(cè)和信號(hào)特征控制方法的研究提供參考。

需要注意的是，該方法對(duì)船舶水下電場(chǎng)的預(yù)測(cè)在近場(chǎng)條件下的使用會(huì)受到限制，因?yàn)殪o電場(chǎng)的場(chǎng)源是整個(gè)船體受到腐蝕的區(qū)域，不同于軸頻電場(chǎng)明確在螺旋槳附近，因此近場(chǎng)條件下的靜電場(chǎng)無(wú)法等效為單個(gè)的電偶極子。如何對(duì)近場(chǎng)條件下船舶水下靜電場(chǎng)進(jìn)行建模，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)其信號(hào)的預(yù)測(cè)和控制將是下一步研究重點(diǎn)。根據(jù)目前所掌握的資料，邊界元方法在該領(lǐng)域中能夠發(fā)揮重要作用，這也是下一步研究的方向。

References)

[1] 林春生， 龔沈光．船舶物理場(chǎng)[M].北京： 兵器工業(yè)出版社， 2007． LIN Chunsheng， GONG Shenguang. Physical field of ships[M]. Beijing: The Publishing House of Ordnance Industry， 2007.(in Chinese)

[2] 姜潤(rùn)翔， 史建偉， 龔沈光.船舶極低頻電場(chǎng)信號(hào)特征分析[J]．海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)， 2014， 26(1)： 5-8． JIANG Runxiang， SHI Jianwei， GONG Shenguang. Analysis of characteristics of ship′s extremely low frequency electrical field[J]．Journal of Naval University of Engineering， 2014， 26(1)： 5-8．(in Chinese)

[3] Jeffery I, Brooking B. A survey of new electromagnetic stealth technologies[C]//Proceedings of the ASNE 21st Century Combatant Technology Symposium, 1998.

[4] 熊露， 姜潤(rùn)祥， 龔沈光． 淺海中船舶軸頻電場(chǎng)建模方法[J]. 國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào)， 2014， 36(1)： 98-103． XIONG Lu,JIANG Runxiang, GONG Shenguang. Ship modeling method of shaft-ELFE in shallow sea[J]. Journal of National University of Defense Technology, 2014, 36(1): 98-103．(in Chinese)

[5] 陳聰， 李定國(guó)， 蔣治國(guó)， 等． 二次等效法求三層媒質(zhì)中靜態(tài)電偶極子的場(chǎng)分布[J].物理學(xué)報(bào)， 2012， 61(24)： 2441011-2441017. CHEN Cong, LI Dingguo, JIANG Zhiguo, et al. Electric field of a static electric dipole in three-layer medium model[J]. Acta Physica Sinica, 2012, 61(24): 2441011-2441017. (in Chinese)

[6] 吳正國(guó)， 尹為民， 侯新國(guó), 等． 高等數(shù)字信號(hào)處理[M]． 北京： 機(jī)械工業(yè)出版社， 2009． WU Zhengguo, YIN Weimin, HOU Xinguo, et al. Advanced digital signal processing[M]. Beijing: China Machine Press, 2009. (in Chinese)

[7] 許紹杰， 王晗中， 王年生, 等. 改進(jìn)不等時(shí)距灰色GM(1,1)模型及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2011, 41(8): 108-114. XU Shaojie, WANG Hanzhong, WANG Niansheng, et al. Research on amendatory unequal interval grey model[J]. Mathematics in Practice and Theory, 2011, 41(8): 108-114. (in Chinese)

[8] 鄧聚龍.灰理論基礎(chǔ)[M].武漢: 華中科技大學(xué)出版社, 2002． DENG Julong. Grey theory fundation[M]. Wuhan: Huazhong University of Science and Technology Press， 2002.(in Chinese)

[9] 胡廣書． 數(shù)字信號(hào)處理: 理論、算法與實(shí)現(xiàn)[M]． 北京： 清華大學(xué)出版社， 2003． HU Guangshu.Digital signal processing: theory, algorithm and implementation[M]．Beijing：Tsinghua University Press，2003.(in Chinese)

Electric field prediction method for ships at sea

TAN Hao， CHEN Cong， JIANG Zhiguo

(Physics Department, College of Sciences, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

To weaken the strength of the signals, a prediction method was presented. The electric field signal was decomposed into a low frequency signal and several high frequency signals. The high frequency part was predicted with auto regressive prediction model and the low frequency part was predicted with GM(1，1) model. The prediction result was the superimposition of the respective prediction. Based on the measurement at sea, the simulation results show that the prediction error of the electric field can be controlled within 20% of the amplitude of the signal.

electric field in sea; prediction model; wavelet decomposition; gray GM(1,1) model; auto regressive model

10.11887/j.cn.201606027

2015-05-31

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51109215)

譚浩(1984—)，男，湖北武漢人，講師，博士，E-mail：22892728@qq.com

U675.6

A

1001-2486(2016)06-168-05

http://journal.nudt.edu.cn