剪切來流條件下的渦生振蕩機理*

張 輝，劉夢珂，范寶春，陳志華

(南京理工大學 瞬態(tài)物理國家重點實驗室， 江蘇 南京 210094)

剪切來流條件下的渦生振蕩機理*

張 輝，劉夢珂，范寶春，陳志華

(南京理工大學 瞬態(tài)物理國家重點實驗室， 江蘇 南京 210094)

將指數(shù)極坐標系建立在運動的圓柱上，推導了運動坐標中剪切來流條件下，渦生振蕩的渦量-流函數(shù)守恒方程、其初始和邊界條件、圓柱表面的水動力表達式、圓柱振蕩方程。對圓柱從靜止開始振蕩到發(fā)展為穩(wěn)定振蕩狀態(tài)進行了計算和討論，描述了脫體渦街的發(fā)展過程、升阻力相圖的連續(xù)變形和漂移、圓柱振蕩和平衡位置的變化過程。研究了渦生振蕩終態(tài)隨剪切度K的變化。結(jié)果表明：剪切來流給流場加入了背景渦，使圓柱的上渦增強、下渦減弱，流場的對稱性被破壞。隨著剪切度K的增大，渦街的傾斜程度增大，壓力曲線的漂移量增大，由此導致升力的絕對值增大，圓柱的振幅增大且平衡位置向圓柱下側(cè)的漂移也增大。

渦生振蕩；剪切流；流固耦合；水動力；升力

流固耦合問題在航空航天工程、建筑工程及海洋工程等領域大量存在，如高層建筑、近海工程結(jié)構(gòu)以及海底管線等，它會加劇一些復雜的固體振動，在不理想的條件下甚至可能導致結(jié)構(gòu)損傷和破壞，因此對于流固耦合的研究有重要的實用價值和學術(shù)意義。最典型的問題是對于一個裝置在轉(zhuǎn)動底座的圓柱體，周期脫落的尾渦會導致升阻力的周期性變化，進而使圓柱體產(chǎn)生振動。然后振動的圓柱體會改變流場，流場反過來會改變流場中的力，加劇圓柱體的振動，稱為渦生振蕩(Vortex-Induced Vibration， VIV)。

在早期的研究中，研究人員大都關注于渦生振蕩帶來的自鎖現(xiàn)象。相關的實驗研究表明，當尾渦脫落的頻率與固體的固有頻率一致時，會發(fā)生自鎖現(xiàn)象。圓柱體僅在自鎖時產(chǎn)生劇烈的振動，其振幅與圓柱升力和運動之間的相位差有著密切的關系[1-6]。后來，研究人員發(fā)現(xiàn)，在不同的條件下，渦產(chǎn)生的類型也不同[7-8]，可分為2S，2P，P+S等，其渦的產(chǎn)生和物體振動是不同步的。Franzini[9]、Lam[10]和Korkischko[11]等研究了多個圓柱體之間的相互作用，他們發(fā)現(xiàn)圓柱體之間的間距和排列對振動系統(tǒng)的響應有顯著的影響。另外，張輝等[12]曾對均勻來流條件下的渦生振蕩及其電磁力控制進行了數(shù)值研究。但在以往的數(shù)值研究中大都基于正弦振蕩的假設，且很多相關參數(shù)也是基于假設條件下的，因此對于剪切來流條件下的渦生振蕩的過渡過程和流固耦合機理無法深入研究。

1 守恒方程

設繞過圓柱的來流速度沿法向是線性變化的，如圖1所示，U=U∞+Gy。其中坐標y垂直于來流方向，圓柱中心處y=0，G表示來流速度的梯度。來流剪切度K定義為K=2Ga/U∞[13]?，F(xiàn)僅討論剪切度K≥0的情況，即圓柱上側(cè)的速度大于或等于圓柱下側(cè)的速度。

為了討論該問題，將指數(shù)極坐標系建立在振動圓柱上。一方面使計算區(qū)域足夠大，圓柱的振動不會受到流動阻塞的影響；另一方面，圓柱附近區(qū)域的網(wǎng)格足夠密集，可以得到流場的精細結(jié)構(gòu)。另外，將坐標系建立在運動圓柱上，避免了處理流體流入流出時帶來的計算誤差。對于不可壓縮的二維流動，在指數(shù)極坐標(ξ,η)下，(r=e2πξ,θ=2πη)，無量綱形式渦量流函數(shù)方程為：

(1)

(2)

若圓柱僅沿橫向(垂直于流向)振動，則初始條件和邊界條件[12,14]為：

t=0時，

(3)

t>0時,

(4)

2 圓柱表面水動力

2.1 剪應力與壓力

圓柱受到流體的力Fθ*，由剪應力和壓力兩部分組成。

(5)

剪應力為：

(6)

其中，

(7)

(8)

顯然，電磁力通過改變流場和圓柱的運動狀態(tài)來改變圓柱表面的剪應力，但并未直接出現(xiàn)在剪應力方程中。

(9)

(10)

(11)

因此，

(12)

其中，

(13)

(14)

(15)

2.2 阻力和升力

水動力亦可沿流向和法向分解，分別稱為阻力和升力。

(16)

(17)

將力的分布函數(shù)沿圓柱表面進行積分，可得到總力。

(18)

因此，總阻力Cd可寫為：

(19)

總升力Cl為：

(20)

其中，

(21)

(22)

因此，

(23)

顯然，作用于圓柱的升力由三部分組成。式(23)右側(cè)第一項ClF為渦生力，與圓柱表面的渦量和渦通量有關；第二項為慣性力，與圓柱的加速度有關；第三項為黏性阻尼力，與雷諾數(shù)和圓柱的運動速度有關。第二項和第三項與流場的變化無關。

2.3 圓柱運動方程

僅考慮沿y方向的振動，則無量綱的圓柱運動方程為：

(24)

其中，

(25)

數(shù)值計算中具體的流固耦合過程如圖2所示。以剪切來流條件下的圓柱繞流作為初始條件，在式(23)中得到圓柱所受的升力。當t>t1=446時，通過式(24)得到圓柱體的位移和速度。隨后結(jié)合式(1)、式(2)以及更新后的邊界條件可以得到新的流場進而得到新的升力。如此逐步求解，即可得到流固耦合全過程中的流場、水動力和圓柱體的運動結(jié)果。

圖2 數(shù)值計算中的流固耦合過程Fig.2 Process on numerical procedure of fluid-structure interacting

數(shù)值計算時，動量方程(1)采用交替方向隱式(Alternative Direction Implicit, ADI)格式，流函數(shù)方程(2)采用快速傅里葉變換(Fast Fourier Transformation, FFT)格式，圓柱運動方程(24) 采用Runge-Kutta法[12]。上述格式具有時間一階精度和空間二階精度。計算空間步長Δξ=0.004,Δη=0.002，時間Δt=0.005。

3 結(jié)果與討論

3.1 剪切來流條件下渦生振蕩的發(fā)展過程

由上述思路可求得剪切來流條件下渦生振蕩由靜止到穩(wěn)定振蕩的全過程。為了方便討論其振動機理，用A，B，C，D分別代表一個周期T內(nèi)的0T/4，1T/4，2T/4，3T/4時刻。而腳標“1”～“5”代表過渡過程中不同的周期。以Re=150，剪切度K=0.2為例，t1=446時刻，解除圓柱y方向的約束，圓柱在升力作用下振蕩，從固定發(fā)展至穩(wěn)定振蕩。在該過程中，圓柱位移的變化如圖3所示。圖中圓柱在周期變化升力的作用下，振幅逐漸增大，且圓柱的平衡位置離開l/a=0點，向下側(cè)漂移，這是由于剪切來流導致的平均升力指向圓柱的下側(cè)。當t≥640，圓柱達到穩(wěn)定振蕩狀態(tài)。

圖3 剪切來流作用下振蕩圓柱的位移變化(K=0.2)Fig.3 Displacement of cylinder vibration with shear flow (K=0.2)

振動過程中(K=0.2)的流場渦量變化如圖4所示，其中灰色為正渦，黑色為負渦，“+”為圓柱從固定開始釋放的初始0位。圖4中的時刻Bi與圖3相對應，圓柱都處在下側(cè)最大位移處。橫向約束解除后，圓柱振蕩，由于能量從流體轉(zhuǎn)移到圓柱，圓柱的振幅增大，對應的流場如圖4所示。當總能量達到平衡時，圓柱的振蕩也達到穩(wěn)定，此時流場對應B5。

圖4 振動過程中尾渦形態(tài)的瞬時變化(K=0.2)Fig.4 Instantaneous vortex patterns in wake during the vibration process (K=0.2)

流場的變化導致升阻力的變化。振蕩過程中(K=0.2)，渦生升阻力相圖CdF～ClF如圖5所示。A1B1C1D1A1對應固定圓柱的升阻力相圖，由于圓柱振蕩對圓柱上下兩側(cè)剪切層的作用，使相圖逐漸發(fā)生180°的反轉(zhuǎn)。隨著圓柱振蕩的加劇，圓柱的能量增大，點A與C分離，打破了曲線的鏡像對稱，直至振蕩達到穩(wěn)定，點A與C不再重合，對應相圖A5B5C5D5A5。

圖5 渦生振蕩發(fā)展過程中升阻力相圖的變化(K=0.2)Fig.5 Phase diagram of drag and lift in the VIV development (K=0.2)

3.2 渦生振蕩終態(tài)隨剪切度K的變化

來流的剪切度K不同，穩(wěn)定振蕩時的流場和圓柱受力也不同。圖6為不同的剪切度K下，圓柱在橫向形成渦生振蕩時，幾個典型時刻的渦量分布圖，其中灰色為正渦，黑色為負渦，“+”為圓柱從固定開始釋放的初始0位。

剪切來流給流場加入了背景渦，由于圓柱的上渦與背景渦方向相同而下渦與背景渦方向相反，因此圓柱的上渦增強而下渦減弱，流場的對稱性被破壞，且K越大時流場的背景渦越強。渦街向下側(cè)傾斜，傾斜程度隨著K的增大而增大。尾流中兩排渦的渦距增大，剪切度K愈大，渦距愈大。圓柱振蕩的平衡位置也因來流剪切，而向下側(cè)漂移。

(a) K=0 (b) K=0.1 (c) K=0.2圖6 不同剪切度K的渦生振蕩流場周期變化Fig.6 Periodical variation of flow field with different shear rate K

(a) A時刻(a) Moment A (b) B時刻(b) Moment B

(c) C時刻(c) Moment C (d) D時刻(d) Moment D圖7 壓力分布隨剪切度K的變化Fig.7 Distributions of pressure coefficient with different shear rate K

圖8 壓力分布隨剪切度K的變化Fig.8 Distributions of pressure coefficient with different shear rate K

渦生升阻力CdF～ClF相圖隨剪切度K的變化如圖9所示。由圖9可以看出，由于剪切導致曲線向下側(cè)漂移，即升力均值不為0，指向圓柱下側(cè)，且升力均值的絕對值隨著剪切度的增大而增大。另外，隨著剪切度的增大，升力和阻力的振幅也增大，并導致A，C點的分離。

圖9 升阻力CdF～ClF相圖隨剪切度K的變化Fig.9 Variation of CdF～ClF phase diagram with shear rate K

穩(wěn)定振蕩時，圓柱的振幅和平衡位置隨剪切度K的變化如圖10所示，其中圖10(a)為振幅隨K的變化，圖10(b)為平衡位置隨K的變化。由圖10可以看出，隨著剪切度的增大，振幅增大且平衡位置向圓柱下側(cè)的漂移也增大。

(a) 振幅隨K的變化(a) Variation of amplitude with K

(b) 平衡位置隨K的變化(b) Variation of equilibrium position with K圖10 圓柱的振幅和平衡位置隨剪切度K的變化Fig.10 Variation of amplitude and equilibrium position with shear rate K

4 結(jié)論

本文將指數(shù)極坐標系建立在運動的圓柱上，推導了運動坐標中剪切來流條件下，渦生振蕩的渦量-流函數(shù)守恒方程及其初始和邊界條件，圓柱表面的水動力表達式以及圓柱振蕩方程。以推導得到的真實的水動力代入圓柱的運動方程，代替以往研究假設的正弦振蕩，實現(xiàn)真正的流固耦合。對渦生振蕩的發(fā)展過程及其終態(tài)隨剪切度K的變化進行了數(shù)值研究。結(jié)果表明，剪切來流給流場加入了背景渦，改變了圓柱的邊界層結(jié)構(gòu)。由于圓柱的上渦與背景渦方向相同而下渦與背景渦方向相反，因此圓柱的上渦增強而下渦減弱，流場的對稱性被破壞。隨著剪切度K的增大，背景渦的強度增大，因此渦街的傾斜程度增大，壓力曲線的漂移量增大，由此導致升力的絕對值增大，圓柱的振幅增大且平衡位置向圓柱下側(cè)的漂移也增大。

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Vortex-induced vibration with shear flow

ZHANG Hui, LIU Mengke, FAN Baochun, CHEN Zhihua

(National Key Laboratory of Transient Physics, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

The initial and boundary condition, the hydrodynamic force on the cylinder surface and the cylinder response equations with shear flow were derived based on the stream function-vorticity equations in the exponential-polar coordinates attached on the moving cylinder. The whole evolutions of cylinder starting from rest and then undergoing development and vibration steady were calculated and discussed. The development process of separation vortexes, the deformation and shift of drag-lift phase diagram and the variation of cylinder vibration and equilibrium position were described. Moreover, the steady condition of vortex-induced vibration with the shear rate K was investigated. The results show that the symmetrical flow field will be broken due to the background vorticity generated by the shear flow which also causes the increase of upper vortex strength and the decrease of lower vortex strength. The vortex street inclines toward the lower side and the inclination of vortex streets increase with the increasing shear rate K. So does the shift of pressure curves which leads to the increase of absolute value of lift, the amplitude and the shift of cylinder.

vortex-induced vibration; shear flow; fluid-structure interaction; hydrodynamic force; lift

10.11887/j.cn.201606012

2015-07-03

國家自然科學基金資助項目(11202102)；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20123219120050)；江蘇省高校研究生實踐創(chuàng)新計劃資助項目(SJLX15_0185)

張輝(1981—)，男，江蘇徐州人，教授，博士，碩士生導師，E-mail:zhanghui1902@126.com

O361

A

1001-2486(2016)06-070-07

http://journal.nudt.edu.cn