基于正交誤差函數(shù)的振動信號瞬時(shí)頻率計(jì)算

胡志祥, 王飛宇

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

基于正交誤差函數(shù)的振動信號瞬時(shí)頻率計(jì)算

胡志祥, 王飛宇

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

瞬時(shí)頻率計(jì)算是振動信號處理中的重要內(nèi)容,而希爾伯特變換是計(jì)算信號瞬時(shí)頻率最常用的方法,若信號的希爾伯特變換與其正交信號不相等,會導(dǎo)致信號瞬時(shí)頻率計(jì)算不準(zhǔn)確。文章推導(dǎo)了2組正交誤差函數(shù)估計(jì)公式,提出了通過補(bǔ)償正交誤差函數(shù)以獲得更為準(zhǔn)確的正交信號,從而提升瞬時(shí)頻率估計(jì)精度的方法，并利用數(shù)值分析驗(yàn)證了方法的有效性。

瞬時(shí)頻率;希爾伯特變換;單分量信號;經(jīng)驗(yàn)調(diào)幅調(diào)頻分解;正交信號

非平穩(wěn)信號分析的一個(gè)重要內(nèi)容是估計(jì)信號的瞬時(shí)頻率,這對評價(jià)振動系統(tǒng)的狀態(tài)具有重要作用。對于多自由度系統(tǒng)的振動信號,目前廣泛使用的希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang transform,HHT)首先利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒▽Χ喾至啃盘栠M(jìn)行分解,得到一系列本征模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function,IMF),然后利用希爾伯特變換計(jì)算各IMF的幅值和瞬時(shí)頻率[1-2]。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸饪梢詫⒍喾至啃盘柗纸鉃橐幌盗袉畏至啃盘?。對于一個(gè)實(shí)信號,文獻(xiàn)[3]結(jié)合希爾伯特變換給出了解析信號的定義，Ville將解析信號的相位函數(shù)的導(dǎo)數(shù)視為實(shí)信號瞬時(shí)頻率,這也是學(xué)術(shù)界廣泛接受的一種瞬時(shí)頻率定義方法[4]。因此,希爾伯特變換常用于計(jì)算信號的瞬時(shí)頻率。然而,當(dāng)單分量信號的幅值函數(shù)和純調(diào)頻函數(shù)不滿足Bedrosian乘積定理的要求時(shí),利用希爾伯特變換不能正確地對信號進(jìn)行解調(diào)和頻率計(jì)算[5]。為解決這一問題,文獻(xiàn)[6]提出了經(jīng)驗(yàn)調(diào)幅調(diào)頻分解方法,通過遞歸地使用樣條函數(shù)來擬合信號幅值,最終提取出IMF的幅值和純調(diào)頻項(xiàng),再利用反余弦法計(jì)算信號瞬時(shí)頻率。然而由于樣條函數(shù)擬合誤差,通過反余弦法計(jì)算的瞬時(shí)頻率在信號極值點(diǎn)處會產(chǎn)生畸變。

采用希爾伯特變換進(jìn)行純調(diào)頻信號瞬時(shí)頻率計(jì)算時(shí),信號的希爾伯特變換與其正交信號之差為正交誤差函數(shù)。Nuttall定理給出了正交誤差函數(shù)的能量計(jì)算公式,并指出一般情況下正交誤差函數(shù)的能量不為0[7-8]。如果正交誤差函數(shù)的能量為0,那么利用希爾伯特變換能夠準(zhǔn)確地計(jì)算出瞬時(shí)頻率。本文根據(jù)正交誤差函數(shù)的特點(diǎn),推導(dǎo)了2組正交誤差函數(shù)的計(jì)算公式,通過補(bǔ)償正交誤差函數(shù)得到正交信號,即可計(jì)算精確的信號瞬時(shí)頻率；最后,利用仿真算例驗(yàn)證了補(bǔ)償正交誤差函數(shù)對提高瞬時(shí)頻率計(jì)算精度的效果。

1 信號瞬時(shí)頻率和希爾伯特變換

單分量信號可表示為:

(1)

其中,a(t)為信號的幅值函數(shù);φ(t)為信號的相位函數(shù)。相位函數(shù)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)φ′(t)為信號的瞬時(shí)頻率。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸獾玫降腎MF可視為單分量信號。利用希爾伯特變換可構(gòu)造解析函數(shù):

(2)

(3)

(4)

(5)

其中,H[·]表示希爾伯特變換;A(t)、φ1(t)為利用希爾伯特變換計(jì)算出的信號幅值函數(shù)和相位函數(shù)。φ1′(t)即利用希爾伯特變換計(jì)算出的信號瞬時(shí)頻率。若信號的希爾伯特變換與其正交信號相等,則利用(3)式和(4)式就能計(jì)算出精確的信號幅值和頻率。然而,Nuttall定理表明一般情況下信號的希爾伯特變換與其正交信號不相等,兩者之差稱為正交誤差函數(shù)[7-8],即

(6)

其中,a(t)sinφ(t)為信號x(t)的正交信號。Nuttal定理還給出了正交誤差函數(shù)的能量計(jì)算公式:

(7)

其中,W(ω)為復(fù)信號a(t)[cosφ(t)+i sinφ(t)]的傅里葉變換。盡管Nuttal定理給出了正交誤差函數(shù)能量計(jì)算公式,但并不能直接求出正交誤差函數(shù)。下面推導(dǎo)2種估計(jì)純調(diào)頻信號正交誤差函數(shù)的方法,通過補(bǔ)償正交誤差函數(shù)得到純調(diào)頻信號對應(yīng)的正交信號,從而通過反正切函數(shù)獲得精確的瞬時(shí)參數(shù)計(jì)算精度。

2 正交誤差函數(shù)估計(jì)

下面利用希爾伯特變換的性質(zhì),推導(dǎo)估計(jì)正交誤差函數(shù)的2組公式。2組公式都適用于純調(diào)頻信號正交誤差函數(shù)估計(jì),計(jì)算結(jié)果可相互參照。在對實(shí)際單分量信號進(jìn)行處理時(shí),可先采用經(jīng)驗(yàn)調(diào)幅調(diào)頻分解方法獲得原信號的幅值函數(shù)和純調(diào)頻信號,再對純調(diào)頻信號進(jìn)行瞬時(shí)頻率估計(jì)[6]。首先通過正交誤差函數(shù)補(bǔ)償獲得較為精確的正交信號,再通過反正切法計(jì)算純調(diào)頻信號的瞬時(shí)頻率。

2.1 正交誤差函數(shù)直接計(jì)算法

考慮純調(diào)頻信號x=cosφ,設(shè)

(8)

(9)

其中,φ1為由希爾伯特變換得到的信號相位函數(shù)。若ε=0,此時(shí)利用希爾伯特變換可精確地求得原信號的正交信號,正交誤差函數(shù)為0。若ε≠0,根據(jù)(3)式及(8)式,可得:

(10)

由此可得:

(11)

再根據(jù)(9)式,可得二次方程:

(12)

求解(12)式并排除無意義解,ε可表示為:

(13)

利用級數(shù)展開并忽略高次項(xiàng),可得：

(14)

根據(jù)(14)式,可得:

(15)

當(dāng)sinφ1>0時(shí)，取負(fù)號,當(dāng)sinφ1<0時(shí)，取正號。A、φ1、ε等參數(shù)可由單次希爾伯特變換結(jié)果推導(dǎo),因此(15)式提供了一種估算原信號的正交信號的方法,適用于純調(diào)頻信號正交誤差函數(shù)估計(jì),可將該方法稱為直接法。

2.2 正交誤差函數(shù)計(jì)算的兩步法

利用迭代希爾伯特變換的性質(zhì),可推導(dǎo)出另一種正交誤差函數(shù)估計(jì)算法。對純調(diào)頻信號x=cosφ,構(gòu)造復(fù)信號cosφ+i sinφ,盡管該信號可能不是解析信號,但一般有φ′>0,其頻譜主要集中在正頻區(qū)域,負(fù)頻區(qū)域能量較小,且負(fù)頻區(qū)域能量集中于零頻附近,因此正交誤差函數(shù)主要包含低頻成分,且取值較小。

對x進(jìn)行希爾伯特變換,并利用正交誤差函數(shù)的定義,可得其幅值為:

(16)

利用泰勒級數(shù),并忽略高次項(xiàng),可得：

(17)

因此,根據(jù)(5)式,通過希爾伯特變換后可以得到新的純調(diào)頻信號及其正交信號為:

(18)

(19)

再次計(jì)算x1(t)的希爾伯特變換,注意到正交誤差函數(shù)為慢變函數(shù),近似地利用Bedrosian乘積定理[5],可得：

(20)

利用(19)式和(20)式,可得出x1(t)對應(yīng)的正交誤差函數(shù),即

(21)

在對純調(diào)頻信號進(jìn)行分析時(shí),e1可利用2次希爾伯特變換進(jìn)行計(jì)算,進(jìn)而根據(jù)(21)式,可估計(jì)信號x=cosφ對應(yīng)的正交誤差函數(shù)。由于利用了2次希爾伯特變換,可將該方法稱為兩步法。

3 算 例

考慮調(diào)幅調(diào)頻信號s=[1+0.5cos(πt)]×cos[10πt+9sin(πt)],其瞬時(shí)頻率為ω=10π+9πcos(πt)。為計(jì)算該信號的幅值函數(shù)和瞬時(shí)頻率,先利用經(jīng)驗(yàn)調(diào)幅調(diào)頻分解法對原信號進(jìn)行分解。原信號波形及分解出的純調(diào)頻信號如圖1所示,通過對比純調(diào)頻信號的理論值和分解結(jié)果可發(fā)現(xiàn)，經(jīng)驗(yàn)調(diào)幅調(diào)頻分解法具有較高精度,分解出的純調(diào)頻信號可用作后續(xù)瞬時(shí)頻率計(jì)算。

用x表示信號s的純調(diào)頻項(xiàng),其正交信號為y=sin[10πt+9sin(πt)]。若構(gòu)造復(fù)信號x+iy,則可繪出其傅里葉頻譜,如圖2所示。在負(fù)頻區(qū)域復(fù)信號包含部分能量,而按希爾伯特變換構(gòu)造的復(fù)信號x+iH(x)負(fù)頻區(qū)域能量為0,因而信號希爾伯特變換與其正交信號不相等,正交誤差函數(shù)能量不為0。為提高瞬時(shí)頻率估計(jì)精度,可先估計(jì)正交誤差函數(shù),再得到信號x對應(yīng)的正交信號,最后通過反正切法計(jì)算出信號瞬時(shí)頻率。在實(shí)際計(jì)算時(shí)x是未知的,應(yīng)利用經(jīng)驗(yàn)調(diào)幅調(diào)頻分解法得到純調(diào)頻信號,再代入(15)式或(21)式計(jì)算正交誤差函數(shù)。直接法和兩步法得到的正交誤差函數(shù)估計(jì)結(jié)果及與理論值對比,如圖3所示。

圖1 原始信號及其對應(yīng)的純調(diào)頻信號

圖2 復(fù)信號x+iy的傅里葉變換

圖3 正交誤差函數(shù)估計(jì)結(jié)果

由圖3可見,2種方法估計(jì)出的正交誤差函數(shù)都比較接近理論值。利用(7)式計(jì)算正交誤差函數(shù)的能量為9.54×10-2,而直接法和兩步法計(jì)算的能量分別為2.9×10-3和2.7×10-3,可見估計(jì)精度較高。應(yīng)當(dāng)注意的是,直接法利用 (15) 式計(jì)算正交誤差函數(shù)時(shí),當(dāng)cosφ1接近0時(shí)會造成正交誤差函數(shù)估計(jì)值的突變,使正交誤差函數(shù)曲線包含毛刺,需利用濾波方法進(jìn)行平滑處理,圖3是經(jīng)濾波去噪的結(jié)果。而兩步法估計(jì)出的正交誤差函數(shù)不經(jīng)處理即可用于后續(xù)計(jì)算。

為研究補(bǔ)償正交誤差函數(shù)對瞬時(shí)頻率估計(jì)精度的改善效果,利用希爾伯特變換(Hilbert transform,HT)、反余弦法得到的信號瞬時(shí)頻率和經(jīng)正交誤差補(bǔ)償后得到的瞬時(shí)頻率如圖4所示。

圖4 瞬時(shí)頻率估計(jì)結(jié)果對比

參照(7)式計(jì)算各種方法頻率估計(jì)誤差的能量作為誤差指標(biāo)。由于正交誤差函數(shù)不為0,希爾伯特變換得到的信號瞬時(shí)頻率與理論值相比含有振蕩誤差,頻率估計(jì)誤差的能量為7.98×10-1。由于受到反余弦法經(jīng)驗(yàn)調(diào)幅調(diào)頻分解法中樣條插值誤差的影響,分解出的純調(diào)頻函數(shù)極值可能大于1或小于-1,因而估計(jì)出的瞬時(shí)頻率包含突變,誤差的能量達(dá)5.55×105。通過對比,經(jīng)過正交誤差函數(shù)補(bǔ)償后得到的信號瞬時(shí)頻率更為接近理論值,誤差的能量分別為1.84×10-1和1.86×10-1?？梢?不論是采用直接法還是采用兩步法計(jì)算正交誤差函數(shù)來獲得純調(diào)頻信號對應(yīng)的正交信號,最后通過反正切法計(jì)算出的信號瞬時(shí)頻率都更接近理論值,估計(jì)精度大幅提高。

4 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了2種估計(jì)純調(diào)頻信號正交誤差函數(shù)的計(jì)算公式,利用算例驗(yàn)證了公式的正確性及補(bǔ)償正交誤差函數(shù)對提高瞬時(shí)頻率估計(jì)精度的有效性。通過理論推導(dǎo)和數(shù)值算例得到以下結(jié)論:

(1) 直接法和兩步法都可有效地計(jì)算正交誤差函數(shù),盡管推導(dǎo)中略去了高次項(xiàng),但數(shù)值分析表明2種方法都能近似地得到正交誤差函數(shù)。實(shí)際信號處理中2種方法所得結(jié)果可相互參照。

(2) 利用經(jīng)驗(yàn)調(diào)幅調(diào)頻分解法提取出單分量信號的純調(diào)頻信號,通過希爾伯特變換和正交誤差函數(shù)來獲得其正交信號,再利用反正切法計(jì)算出信號瞬時(shí)頻率,精度高于利用希爾伯特變換和反余弦法得到的結(jié)果。

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[8] NUTTALL A H.On the quadrature approximation to the Hilbert transform of modulated signals[J].Proceedings of the IEEE,1966,54(10):1458-1459.

(責(zé)任編輯 張淑艷)

Vibration signal instantaneous frequency estimation based on quadrature error function

HU Zhixiang, WANG Feiyu

(School of Civil and Hydraulic Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

It is important to compute instantaneous frequency(IF) in the field of vibration signal processing. Hilbert transform method is one of the most frequently used methods for IF computation. If the Hilbert transform of a signal is not equal to its quadrature signal, error will occur in IF estimation. Thus two sets of formulas are derived to compute quadrature error function and the quadrature error function compensation is proposed to obtain accurate quadrature signal, and then IF estimation accuracy can be improved. Finally, the effectiveness of the proposed method is proved by numerical analysis.

instantaneous frequency(IF); Hilbert transform; mono-component signal; empirical AM-FM decomposition; quadrature signal

2015-09-11；

2016-03-04

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51408177);中國博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014M551802)

胡志祥(1985-),男,江西南昌人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.12.017

TN911.7

A

1003-5060(2016)12-1676-04