基于新陳代謝灰色模型的實(shí)時(shí)GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)研究

郭瑞雪 易 梅 高雅萍

(成都理工大學(xué)，四川 成都 610059)

基于新陳代謝灰色模型的實(shí)時(shí)GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)研究

郭瑞雪 易 梅 高雅萍

(成都理工大學(xué)，四川 成都 610059)

實(shí)時(shí)GPS衛(wèi)星鐘差的可靠性預(yù)報(bào)是GPS實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)精密單點(diǎn)定位的關(guān)鍵技術(shù)之一。傳統(tǒng)的GM(1,1)模型不能及時(shí)更新新息數(shù)據(jù)，致使計(jì)算結(jié)果精度較差。本文首先介紹了常用的幾個(gè)鐘差模型，并利用新陳代謝GM(1,1)模型，與常用的二次多項(xiàng)式模型進(jìn)行了對(duì)比。通過(guò)自編程序，依據(jù)某一IGS跟蹤站實(shí)測(cè)的精密衛(wèi)星星歷數(shù)據(jù)，進(jìn)行了實(shí)時(shí)的GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)，并與IGS事后精密鐘差進(jìn)行了比較。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于該新陳代謝GM(1,1)模型估計(jì)的衛(wèi)星鐘差與IGS發(fā)布的最終精密鐘差具有較好的有效性和一致性，這為實(shí)時(shí)GPS動(dòng)態(tài)精密單點(diǎn)定位提供較高精度的衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品。

新陳代謝 灰色模型 實(shí)時(shí)鐘差 精密單點(diǎn)定位

1 引言

在GPS定位過(guò)程中，影響定位精度的誤差來(lái)源主要分為三種，即與用戶(hù)接收機(jī)設(shè)備有關(guān)的誤差如接收機(jī)天線(xiàn)偏心誤差等，與信號(hào)傳播過(guò)程有關(guān)的誤差如電離層延遲、對(duì)流層延遲等和與衛(wèi)星星座有關(guān)的誤差如軌道誤差等。在所有這些誤差影響中，大部分誤差如電離層誤差、對(duì)流層誤差、天線(xiàn)相位中心改正、相對(duì)論效應(yīng)等可以通過(guò)模型改正改正予以消除。通過(guò)差分計(jì)算，我們可以將消除衛(wèi)星鐘差，但會(huì)留有殘差。而很小的衛(wèi)星鐘差殘差對(duì)精密單點(diǎn)定位也會(huì)產(chǎn)生很大的影響，例如，鐘差殘差在幾納秒左右，對(duì)于精密單點(diǎn)定定位也會(huì)造成十幾米甚至更大的影響。因此，衛(wèi)星鐘差不能只是簡(jiǎn)單的通過(guò)雙差進(jìn)行消去，最好的方法就是將其模型化。衛(wèi)星原子鐘的隨機(jī)特性表現(xiàn)為多種冪律噪聲的疊加，具有明顯的非線(xiàn)性特征。目前，IGS提供的IGU預(yù)報(bào)鐘差的精度為3ns，無(wú)法滿(mǎn)足實(shí)時(shí)精密單點(diǎn)定位的精度要求，實(shí)時(shí)且精度高的衛(wèi)星鐘差已顯得尤為重要，也是完成實(shí)時(shí)精密單點(diǎn)定位必須要解決的難題之一。

二次多項(xiàng)式模型是在鐘差估計(jì)鐘差估計(jì)中常用模型之一。其原理簡(jiǎn)單，計(jì)算快捷，且在預(yù)測(cè)時(shí)間較短的情況下，精度較高?；疑A(yù)測(cè)系統(tǒng)是我國(guó)鄧聚龍教授20世紀(jì)80年代首次提出的一個(gè)新的信息理方法?；疑到y(tǒng)是指部分信息已知，部分信息未知的預(yù)測(cè)系統(tǒng)，即信息不完全確知的系統(tǒng)。信息完全狀態(tài)為“白色”，信息缺乏狀態(tài)為“黑色”。它是以灰色模塊為基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)實(shí)行累加或累減生成新的數(shù)據(jù)序列，然后對(duì)生成的新的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行建模。它不用隨機(jī)變量的概念，只把它看作在一定范圍內(nèi)變化的灰色量。而且,它不需要大樣本的原始數(shù)據(jù),只需要少量的已知數(shù)據(jù)(只要原始數(shù)列有4個(gè)以上數(shù)據(jù))就可以建立灰色模型,減少了要使用的數(shù)據(jù)量，提高了建模速度。實(shí)時(shí)衛(wèi)星鐘差估計(jì)正好可以利用灰色模型這一優(yōu)勢(shì)，通過(guò)4個(gè)及以上數(shù)據(jù)便可以估計(jì)任何時(shí)刻的鐘差。

由于灰色GM(1,1)模型隨著時(shí)間的推移，陳舊的信息會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生擾動(dòng)，使得預(yù)測(cè)精度下降，預(yù)測(cè)意義。針對(duì)常規(guī)模型的不足，本文采用新陳代謝GM(1,1)模型對(duì)北斗衛(wèi)星鐘差進(jìn)行實(shí)時(shí)預(yù)報(bào) 計(jì)算結(jié)果與IGS發(fā)布的最終精密鐘差進(jìn)行對(duì)比，具有良好的一致性和有效性。

2 精密星歷鐘差內(nèi)插

IGS精密星歷和鐘差參數(shù)都是以15分鐘或者5分鐘間隔給出，在使用模型進(jìn)行實(shí)時(shí)鐘差估計(jì)時(shí)為保證精度，需要使用幾十秒、幾秒更小的采樣間隔鐘差數(shù)據(jù)，因此需要采用內(nèi)插方法得到所需歷元時(shí)刻的衛(wèi)星位置和鐘差參數(shù)。用于內(nèi)插的方法有很多種,包括：拉格朗日多項(xiàng)式插值、牛頓多項(xiàng)式插值、切比雪夫多項(xiàng)式插值、三角多項(xiàng)式插值等。這里只對(duì)對(duì)拉格朗日多項(xiàng)式差值做簡(jiǎn)要介紹。

若已知函數(shù)y=f(x)的n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)x0、x1、x2…..xn及其對(duì)應(yīng)的數(shù)值y0、y1、y2….yn,對(duì)于插值區(qū)間內(nèi)任何一點(diǎn),可用拉格朗日插值多項(xiàng)式計(jì)算函數(shù)值：

(1)

為使得計(jì)算結(jié)果更加精確，本文選用matlab軟件中自帶的三次多項(xiàng)式內(nèi)插法選擇不同的采樣間隔來(lái)計(jì)算所需的鐘差差值。經(jīng)檢驗(yàn)，其結(jié)果具有滿(mǎn)足精度要求。

3 常用鐘差模型

3.1 二次多項(xiàng)式模型

二次多項(xiàng)式模型在鐘差估計(jì)中應(yīng)用最為廣泛。原因是其原理簡(jiǎn)單，便于計(jì)算。而在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，我們一般會(huì)采用二階多項(xiàng)式的模型?？杀硎緸椋?/p>

Δtsv=a0+a1Δt+a2Δt2+ε,t1≤Δt≤t2

(2)

上式中，Δt=ts-t0；Δtsv為ts時(shí)刻GPS衛(wèi)星鐘差；a0為參考時(shí)刻t0的衛(wèi)星鐘差，a1為參考時(shí)刻t0的衛(wèi)星鐘速，a2為參考時(shí)刻t0的衛(wèi)星鐘漂移率，ε為由于頻率的隨機(jī)誤差而引起的一種隨機(jī)誤差，無(wú)法知道其確切數(shù)值。

二次多項(xiàng)式模型的不足之處表現(xiàn)在：(1)Δtsv是一個(gè)時(shí)間函數(shù)，其誤差會(huì)隨著預(yù)報(bào)時(shí)間的延長(zhǎng)而增大。(2)二次多項(xiàng)式模型的計(jì)算精度，容易受到多項(xiàng)式擬合的階數(shù)及已知數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的影響，具有很多不確定性。

綜上在實(shí)時(shí)鐘差估計(jì)過(guò)程中，由于其動(dòng)態(tài)的特性，使用二次多項(xiàng)式模型會(huì)在多項(xiàng)式擬合的階數(shù)和數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的選取上構(gòu)成一定困難，因此，具有一定的限制性。

3.2 周期項(xiàng)模型

對(duì)于含有周期性變化的鐘差序列，我們可以利用頻譜分析法找出數(shù)據(jù)序列中存在的顯著周期項(xiàng)，從而對(duì)其進(jìn)行建模，以此提高預(yù)報(bào)模型的準(zhǔn)確性。這里以顧及線(xiàn)性趨勢(shì)項(xiàng)為例，構(gòu)建鐘差序列周期項(xiàng)模型可表示為：

式中，a0、b0分別為線(xiàn)性趨勢(shì)項(xiàng)的系數(shù)，p為顯著周期項(xiàng)函數(shù)的個(gè)數(shù)，fk為對(duì)應(yīng)周期項(xiàng)的頻率，Ak、φk分別為對(duì)應(yīng)周期項(xiàng)的振幅和相位，ei為xi的殘差，p和fk可由頻譜分析的方法確定。

由此我們得知，周期項(xiàng)模型的關(guān)鍵就是利用頻譜分析的方法確定其參數(shù)。頻譜分析是利用數(shù)據(jù)形式呈波形的性質(zhì)，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)波形的幅值進(jìn)行分析，找出數(shù)據(jù)序列中存在的顯著周期項(xiàng)。這些周期項(xiàng)在頻譜圖上表現(xiàn)為具有較大能量(幅值)特征。頻譜分析主要是通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式來(lái)計(jì)算數(shù)列中各個(gè)數(shù)值的頻譜值。

3.3 求和自回歸滑動(dòng)平均模型

ARIMA模型簡(jiǎn)稱(chēng)B-J法或求和自回歸滑動(dòng)平均模型，它是美國(guó)威斯康辛大學(xué)的Box和英國(guó)的統(tǒng)計(jì)學(xué)家Jenkins在1970年提出的。該模型包含時(shí)間序列的自回歸(AR)模型和滑動(dòng)平均(MA)模型，是一種綜合的預(yù)測(cè)方法。其中，自回歸滑動(dòng)平均模型ARMA(p,q)形式如下式所示:

xt=φ1xt-1+…+φpxt-p+at-θ1at-1+…+θpat-q

4 GM(1,1)模型介紹

4.1 常規(guī)GM(1,1)模型

(3)

并將其記為GM(1,1)。式中，a、u為灰色參數(shù)。根據(jù)導(dǎo)數(shù)離散化形式，微分方程以矩陣形式表示可以寫(xiě)成：

Y=BU

(4)

其中，

根據(jù)最小二乘原理計(jì)算得參數(shù)估值為：

(5)

根據(jù)得到的參數(shù)估值，代入上述微分方程中，解算得到：

(6)

又由于

(7)

可得到

(8)

4.2 新陳代謝GM(1,1)模型

5 方案設(shè)計(jì)

由于IGU文件中預(yù)報(bào)部分的軌道精度約為5cm，隨著時(shí)間的外推軌道精度會(huì)進(jìn)一步降低到10cm左右，而其預(yù)報(bào)鐘差的精度降低幅度更大，大約為3ns(為0.9m)，基于此的軌道和鐘差并不能滿(mǎn)足高精度精密單點(diǎn)定位的精度要求。

考慮到超快速鐘差產(chǎn)品發(fā)布的延遲性以及數(shù)據(jù)在傳播過(guò)程中硬件延遲等誤差，用戶(hù)接收到衛(wèi)星鐘差會(huì)有3-9小時(shí)延遲。為滿(mǎn)足絕大部分用戶(hù)達(dá)到高精度實(shí)時(shí)定位的要求，這里我們用新陳代謝GM(1,1)模型分別估計(jì)1h、3h、6h、9h、12h的衛(wèi)星鐘差，將其定位結(jié)果與二次多項(xiàng)式法估計(jì)鐘差進(jìn)行對(duì)比，同時(shí)分析不同采樣間隔、不同起算初始?xì)v元對(duì)新陳代謝GM(1,1)模型實(shí)時(shí)精密單點(diǎn)定位的影響。

6 數(shù)據(jù)分析

為了評(píng)估新陳代謝GM(1,1)模型計(jì)算實(shí)時(shí)衛(wèi)星鐘差的精度與可靠性，本文利用自編程序，選取2016年3月13日年積日為73天利用某一跟蹤站測(cè)得的GPS精密星歷數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。該測(cè)站共接收到了32顆衛(wèi)星，由于PG04衛(wèi)星鐘差較大，且不穩(wěn)定，在這里我們不予考慮。為比較不同采樣間隔、不同歷元個(gè)數(shù)對(duì)實(shí)時(shí)估計(jì)鐘差的影響，分別采用5S、10S、15S采樣間隔數(shù)據(jù)及10個(gè)初始?xì)v元、30初始個(gè)歷元來(lái)估計(jì)不同時(shí)刻的衛(wèi)星鐘差，并將得到的鐘差與IGS事后精密鐘差進(jìn)行比較得到其較差。限于篇幅，我們僅以PG1、PG13、PG14、PG32為例來(lái)說(shuō)明問(wèn)題，其他衛(wèi)星亦能得到類(lèi)似的結(jié)論。

(1)用二階多項(xiàng)式對(duì)鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)

這里，衛(wèi)星鐘差用二階多項(xiàng)式表示，可簡(jiǎn)化為：Δt=a0+a1(t-t0)+a2(t-t0)2，其中Δt為任意時(shí)刻鐘差，a0、a1、a2分別為任意時(shí)刻t的鐘差、鐘速、鐘漂。t0為初始時(shí)刻，為計(jì)算簡(jiǎn)便，這里可以設(shè)2016年3月13日00點(diǎn)00分00秒為初始時(shí)刻，采用10個(gè)初始?xì)v元，5秒采樣間隔。為使模型更加準(zhǔn)確，選擇前三個(gè)小時(shí)的數(shù)據(jù)對(duì)鐘差進(jìn)行擬合，求得a0、a1、a2三個(gè)參數(shù)后，便可以對(duì)任何時(shí)刻的鐘差進(jìn)行擬合。表1即為擬合1h、3h、6h、9h、12h鐘差與IGS事后鐘差偏差結(jié)果。

表1 二次多項(xiàng)式法估計(jì)不同時(shí)長(zhǎng)鐘差與IGS 事后鐘差偏差結(jié)果 (單位：納秒)

將所有衛(wèi)星(PG4為問(wèn)題衛(wèi)星，除外)均利用二階多項(xiàng)式模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)，將得到的預(yù)報(bào)結(jié)果，均與事后IGS鐘差進(jìn)行比較，得到不同時(shí)長(zhǎng)下的RMS值，具體結(jié)果如表2所示。

表2 二次多項(xiàng)式法估計(jì)不同時(shí)長(zhǎng)鐘差與IGS事后 鐘差的RMS值 (單位：納秒)

小結(jié)：由表1、2可知，預(yù)測(cè)時(shí)間在前3個(gè)小時(shí)以?xún)?nèi)，RMS值小于0.1ns，因此使用二次多項(xiàng)式預(yù)測(cè)衛(wèi)星鐘差可以得到較好的結(jié)果，但隨著預(yù)測(cè)時(shí)間的延長(zhǎng)，其誤差積累特性愈發(fā)明顯，其預(yù)報(bào)精度也越來(lái)越差，不能夠滿(mǎn)足實(shí)時(shí)精密單點(diǎn)定位的精度要求。

(2)表3為利用新陳代謝GM(1,1)模型，不同衛(wèi)星在10個(gè)初始?xì)v元，5S采樣間隔下得到的估計(jì)不同時(shí)長(zhǎng)的鐘差結(jié)果。

表3 新陳代謝G(1,1)模型估計(jì)不同時(shí)長(zhǎng)鐘差與IGS事 后鐘差偏差結(jié)果 (單位：納秒)

同理，與計(jì)算2表方法類(lèi)似，將將所有衛(wèi)星(PG4為問(wèn)題衛(wèi)星，除外)均利用新陳代謝GM(1,1)模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)，將得到的預(yù)報(bào)結(jié)果，與事后IGS鐘差進(jìn)行比較，得到不同時(shí)長(zhǎng)下的RMS值，具體結(jié)果如表4所示。

表4 新陳代謝G(1,1)模型估計(jì)不同時(shí)長(zhǎng)與IGS事后 鐘差的RMS值 (單位：納秒)

小結(jié)：由表3、4得知，預(yù)測(cè)時(shí)間在前3個(gè)小時(shí)以?xún)?nèi)，RMS值小于0.3ns，同樣可以滿(mǎn)足實(shí)時(shí)精密單點(diǎn)定位精度要求，只不過(guò)其精度比二次多項(xiàng)式模型精度低，隨著預(yù)測(cè)時(shí)間的推移，鐘差誤差變化相對(duì)穩(wěn)定，這也是使用新陳代謝GM(1,1)模型的優(yōu)勢(shì)之一。

(3)為了對(duì)比相同條件下，不同初始?xì)v元個(gè)數(shù)對(duì)估計(jì)鐘差的影響，這里采用相同衛(wèi)星5秒采樣間隔，分別利用10個(gè)初始?xì)v元、30初始個(gè)歷元估計(jì)不同時(shí)長(zhǎng)的結(jié)果。以PG1衛(wèi)星為例。表5為PG1衛(wèi)星不同初始?xì)v元的估計(jì)鐘差結(jié)果。

表5 不同初始?xì)v元個(gè)數(shù)估計(jì)不同時(shí)長(zhǎng)鐘差與IGS事后 鐘差偏差結(jié)果 (單位：納秒)

由表5數(shù)據(jù)可得知，在預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)較短時(shí)，30個(gè)初始?xì)v元估計(jì)精度確實(shí)優(yōu)于10個(gè)初始?xì)v元的計(jì)算精度，但是效果并不是很明顯。這說(shuō)明，預(yù)報(bào)時(shí)間較短時(shí)，不同的初始?xì)v元個(gè)數(shù)對(duì)預(yù)報(bào)精度影響并不大。而初始?xì)v元個(gè)數(shù)越多，反而使計(jì)算過(guò)程變的復(fù)雜，計(jì)算時(shí)間也大大加長(zhǎng)，引起不必要的麻煩。因此我們應(yīng)該在估計(jì)過(guò)程中，適當(dāng)?shù)倪x取初始?xì)v元個(gè)數(shù)，已達(dá)到較高的計(jì)算效率與精度。

(4)為了對(duì)比相同條件下，不同采樣間隔對(duì)估計(jì)鐘差的影響，采用相同衛(wèi)星利用10個(gè)初始?xì)v元數(shù)據(jù)，分別選取5S采樣間隔、10S采樣間隔、15S采樣間隔預(yù)測(cè)實(shí)時(shí)衛(wèi)星鐘差，以PG1為例，結(jié)果如表6所示。

表6 不同采樣間隔估計(jì)不同時(shí)長(zhǎng)鐘差與IGS 事后鐘差偏差結(jié)果 (單位：納秒)

小結(jié)：由表6數(shù)據(jù)得知，隨著采樣間隔逐漸增大，估計(jì)精度也會(huì)逐漸降低。采樣間隔越小，越趨近于動(dòng)態(tài)計(jì)算。但是隨著采樣間隔的不斷減小，計(jì)算也會(huì)越來(lái)越復(fù)雜。因此，在計(jì)算過(guò)程中，我們也應(yīng)在計(jì)算時(shí)間適當(dāng)?shù)那闆r下，選擇合適的采樣間隔，使得計(jì)算精度滿(mǎn)足要求。

7 結(jié)論

通過(guò)上述數(shù)據(jù)分析，我們驗(yàn)證了新陳代謝GM(1,1)模型實(shí)時(shí)估計(jì)衛(wèi)星鐘差的可行性，并與常用的二次多項(xiàng)式模型進(jìn)行了對(duì)比。我們得知，新陳代謝GM(1,1)模型可以得到精度較高的實(shí)時(shí)鐘差數(shù)據(jù)，為GPS精密單點(diǎn)定位提供了可靠的鐘差數(shù)據(jù)。通過(guò)各個(gè)衛(wèi)星不同采樣間隔、不同初始?xì)v元數(shù)據(jù)及相同衛(wèi)星不同估計(jì)不同時(shí)長(zhǎng)鐘差的橫向、縱向比較分析，我們可以得到如下結(jié)論：

(1)預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)在3個(gè)小時(shí)之內(nèi)時(shí)，各衛(wèi)星(問(wèn)題衛(wèi)星除外)均能達(dá)到0.3ns之內(nèi)的精度，滿(mǎn)足實(shí)時(shí)精密單點(diǎn)定位的要求。并且隨著時(shí)長(zhǎng)的增長(zhǎng)，估計(jì)精度變化相對(duì)穩(wěn)定。

(2)在預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)較短時(shí)，不同的初始?xì)v元個(gè)數(shù)對(duì)預(yù)報(bào)精度影響并不大，因此我們應(yīng)當(dāng)適當(dāng)選取初始?xì)v元的個(gè)數(shù)，以保證計(jì)算精度以及計(jì)算時(shí)長(zhǎng)。

(3)采樣間隔越小，精度會(huì)越高。隨著采樣間隔的逐漸增大，鐘差精度會(huì)越來(lái)越低。因此在實(shí)際應(yīng)用中我們應(yīng)當(dāng)結(jié)合實(shí)際情況，選擇合適的采樣間隔，使得估計(jì)衛(wèi)星鐘差滿(mǎn)足所需要的精度要求。

使用灰色模型的不足之處在于：估計(jì)鐘差只能得到與選取初始?xì)v元間隔相同的鐘差，如果想得到任意時(shí)刻鐘差，還需根據(jù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行合適的內(nèi)插，或者選取合適的采樣間隔。

另外，本文是根據(jù)有限數(shù)據(jù)得出的結(jié)論，有不符之處，仍有待于改進(jìn)。

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[9] XuGuochang.GPSTheory,Algorithmsand Applications[M].Berlin Heidelberg:Spring-Verlag,2003.

Based on the Grey Metabolism Model of Real-time GPS Satellite Clock Difference Prediction Research

GUO Rui-xue,YI Mei,GAO Ya-ping

(Chengdu University of Technology,Chengdu Sichuan 610059,China)

Reliability prediction of real-time GPS satellite clock error is real-time GPS precise point positioning of one of the key technologies. The traditional GM (1, 1) model can't update the new rate data, which has poor precision. Using metabolism GM (1,1) model, this paper compared with quadratic polynomial model in common use. Through self-programming, according to a certain IGS tracking station measured precision of satellite ephemeris data, to carry on the real-time GPS satellite clock difference prediction, and are compared with those of the IGS precision clock difference afterwards. Experimental results show that based on the metabolism of GM(1, 1) model to estimate the satellite clock error and eventually released IGS precision clock difference has good validity and consistency, which provides real-time dynamic GPS precise point positioning higher accuracy of satellite clock error products.

metabolism; grey model; real-time clock difference; PPP

2016-05-23

P228.4

B

1007-3000(2016)06-5