多復(fù)變量Hilbert空間上的復(fù)合算子族的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

仝策中，于 洋，張 建

（1.河北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，天津 300401；2.河北工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與軟件學(xué)院，天津 300401）

多復(fù)變量Hilbert空間上的復(fù)合算子族的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

仝策中1，于 洋2，張 建1

（1.河北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，天津 300401；2.河北工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與軟件學(xué)院，天津 300401）

將在算子范數(shù)拓?fù)涞囊饬x下，研究多復(fù)變量函數(shù)的Hilbert空間之間的有界加權(quán)復(fù)合算子族的拓?fù)溥B通性．利用類似的方法還將研究在 Hilbert-Schm idt范數(shù)拓?fù)湎碌倪B通性．這些討論與結(jié)論適用于多種多復(fù)變量函數(shù)空間，比如Hardy空間，Bergman空間Dirichlet空間之間的加權(quán)復(fù)合算子族的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的研究．

多復(fù)變量；Hilbert空間；加權(quán)復(fù)合算子；道路連通；算子范數(shù)；Hilbert-Schm idt范數(shù)

1 基本概念和符號(hào)

復(fù)合算子理論的研究應(yīng)該追溯到20世紀(jì)60年代中期Nordgren的工作[1]．自1987年，以Shapiro在Annals Math.上發(fā)表的文獻(xiàn)[4]為代表，復(fù)合算子的研究得到了快速和巨大的發(fā)展．感興趣的讀者可以參考專著[2-3，5]，這些論著都較系統(tǒng)地介紹了復(fù)合算子理論．復(fù)合算子理論在近些年主要在多復(fù)變量函數(shù)空間的基礎(chǔ)上討論問(wèn)題，而且一個(gè)新興的問(wèn)題是將復(fù)合算子的全體賦以算子范數(shù)拓?fù)洌ɑ騂ilbert-Schm idt范數(shù)拓?fù)洌?，討論這個(gè)拓?fù)淇臻g的連通性．對(duì)復(fù)合算子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和纏繞性質(zhì)感興趣的讀者可以參考近些年的文獻(xiàn)[6-12]．2015年[13]，T.Hosokawa，K.Izuchi和S.Ohno研究了單位圓盤(pán)上的Hilbert函數(shù)空間上的加權(quán)復(fù)合算子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，由于多復(fù)變量的函數(shù)與單復(fù)變量的函數(shù)本質(zhì)上存在很多不同，基于這個(gè)動(dòng)機(jī)，本文研究了高位超球上的Hilbert函數(shù)空間上的加權(quán)復(fù)合算子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)．

設(shè)N維復(fù)歐式空間CN中的單位超球?yàn)?/p>

2 拓?fù)淇臻g

證畢．

根據(jù)假設(shè)，當(dāng)r r0時(shí)，在中有．這意味著在中是一個(gè)道路連通子集．

要說(shuō)明MuC是緊算子，這里利用文獻(xiàn) [2]中的Proposition 3.11的結(jié)論來(lái)證明．如果 fn是中的有界函數(shù)列，即存在K＜0，使得對(duì)于任意n， fn＜K．根據(jù)條件1），可以設(shè)fn在BN上內(nèi)閉一致收斂于某個(gè)．根據(jù)條件 ＜1，有fnf 在H中．再由條件2），，且有

3 拓?fù)淇臻g的道路連通性

證明 可以通過(guò)下面的計(jì)算直接得到證明：

任取δ＞0，則根據(jù)方程 (2)，可以取充分大的自然數(shù)N使得

由此得到，當(dāng)r r0時(shí)，．因此MuC 與MuC0在的同一道路連通分支中．

因此MuC0和MvC0在中的同一道路連通分支中．所以任意的和MvC都是處于中的同一道路連通分支中．

4 理論應(yīng)用

用d v表示BN上的標(biāo)準(zhǔn)化的Lebesgue體測(cè)度，即有．單位球面SN的標(biāo)準(zhǔn)化Lebesgue面測(cè)度記為，即有．這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化常數(shù)分別是BN的實(shí)際體積和SN實(shí)際面積．本節(jié)用符號(hào)表示經(jīng)典BN上的Hardy-Hilbert空間，即由所有滿足下面條件的BN上的全純函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)空間

容易驗(yàn)證空間H2滿足條件1）～4），并且

上述多復(fù)變量函數(shù)空間的基本概念和結(jié)論均可在文獻(xiàn) [5]找到詳細(xì)論述．

經(jīng)過(guò)計(jì)算

由Stirling公式，

再由定理1和定理2，可得下面2個(gè)直接推論．

[1]Nordgren EA．Composition operators[J]．Canadian JournalofMathematics，1968，20：442-449．

[2]Cowen CC，MacCluer BD．Composition Operatorson Spacesof Analytic Functions[M]．Boca Raton：CRC Press，1995．

[3]Shapiro JH．Composition Operatorsand Classical Function Theory[M]．New York：Springer Verlag，1993．

[4]Shapiro JH．Theessentialnorm of a composition operator[J]．AnnalsMath，1987，125（2）：375-404．

[5]Zhu K H．Spacesof Holomorphic Functions in the UnitBall[M]．Grad Texts in Math，Springer，2005．

[6]Tong C，Zhou Z．The compactnessof the sum ofweighted composition operatorson theballalgebra[J]．Journalof Inequalitiesand Applications，2011，Article Number45，DOI：10.1186/1029-242X-2011-45：1-10．

[7]仝策中，周澤華．單位圓盤(pán)代數(shù)上的加權(quán)復(fù)合算子的有限和 [J]．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2012，32A（6）：1102-1109．

[8]Tong C．Comopactdifferencesofweighted composition operatorson H BN[J]．Journalof ComputationalAnalysisand Applications，2012，14 （1）：32-41．

[9]Tong C，Zhou Z．Intertw ining relations forvolterraoperatorson thebergman space[J]．Illinois1JournalofMathematics，2013，57（1）：195-211．

[10]Tong C，Zhou Z．Compact intertwining relations for composition operators between theweighted bergman spaces and theweighted bloch spaces [J]．Journalof Korean MathematicalSociety，2014，51（1）：125-135．

[11]Yuan C，Tong C．Distance from bloch-type functions to theanalytic space F p,q,s [J]．Abstractand Applied Analysis，2014，ArticleNumber 610237，DOI：10.1155/2014/610237：1-10．

[12]Tong C，Yuan C．An integraloperatorpreserving s-Carlesonmeasureon theunitball[J]．AnnalesAcadem iaeScientiarum FennicaeMathematica，2015，40：361-373．

[13]Hosokawa T，Izuch K，Ohno S．Weighted composition operators between Hilbert spaces of analytic functions in the operator norm and Hilbert-Schmidtnorm topologies[J]．JournalofMathematicalAnalysisand Applications，2015，421：1546-1558．

[責(zé)任編輯 楊 屹]

Topologicalstructure of composition operatorson Hilbertspaces in severalcomplex variables

TONGCeZhong1，YU Yang2，ZHANG Jian1

(Schoolof Science,HebeiUniversity of Technology,Tianjin 300401,China;2.Schoolof Computer Scienceand Engineering,Hebei University of Technology,Tianjin 300401,China)

The topological connectednessofweighted composition operatorsbetween the Hilbertspaces in several complex variablesare studied.These resultsare applied to characterize the topologicalstructure ofweighed composition operatorsacting between Hardy spaces,Bergman spacesand Dirichletspacesofseveralcomplex variablesholomorphic functions,which generalizes the resultsof T.Hosokawa,K.Izuchiand S.Ohno.

severalcomplex variables;Hilbertspaces;weighted composition operators;connectedness;operatornorm; Hilbert-Schmidtnorm

O174.56

A

1007-2373(2016)01-0051-06

10.14081/j.cnki.hgdxb.2016.01.010

2015-01-08

國(guó)家自然科學(xué)基金（11301132，11171087）；河北省自然科學(xué)基金（A2013202265）

仝策中（1984-），男（漢族），講師，博士．

張建（1982-），男（漢族），實(shí)驗(yàn)師．