非線性油膜力下裂紋-碰摩故障轉(zhuǎn)子動力學分析

向 玲， 高雪媛， 張力佳， 邸薇薇

(華北電力大學 機械工程系，河北保定 071003)

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非線性油膜力下裂紋-碰摩故障轉(zhuǎn)子動力學分析

向 玲， 高雪媛， 張力佳， 邸薇薇

(華北電力大學 機械工程系，河北保定 071003)

在考慮裂紋軸時變剛度、碰摩力和非線性油膜力的基礎上，建立了裂紋-碰摩雙故障轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線性動力學模型，采用數(shù)值積分方法對其進行求解，結合分岔圖、poincaré截面圖、軸心軌跡圖和最大Lyapunov指數(shù)(LLE)曲線圖，從定性和定量的角度分析了無量綱裂紋深度和轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)響應、穩(wěn)定性及碰摩力的影響.結果表明：該類轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)出現(xiàn)了p-2、p-4、p-8、擬周期和混沌等豐富的非線性運動；隨著無量綱裂紋深度的增加，系統(tǒng)首次分岔點轉(zhuǎn)速提高，進入擬周期和混沌等運動的臨界轉(zhuǎn)速提前；在高速區(qū)間，隨著無量綱裂紋深度的增加，系統(tǒng)響應由擬周期運動演變?yōu)榛煦绾投嘀芷谶\動交替出現(xiàn)；在不同轉(zhuǎn)速階段，裂紋的加深對碰摩力的影響不同，在高速區(qū)間的影響更為明顯.

轉(zhuǎn)子； 裂紋； 碰摩； 非線性動力學； 最大Lyapunov指數(shù)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為大型旋轉(zhuǎn)機械的核心部件，長時間在高溫高壓、重載、高速等惡劣的環(huán)境中工作，會產(chǎn)生疲勞裂紋.隨著裂紋擴展，系統(tǒng)橫向振動加劇，嚴重時可能會導致轉(zhuǎn)子與定子之間出現(xiàn)碰摩現(xiàn)象.裂紋和碰摩都會使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)出現(xiàn)非線性現(xiàn)象，在2種故障同時發(fā)生的情況下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)會出現(xiàn)更復雜、更豐富的非線性動力學行為.

國內(nèi)外學者對含裂紋-碰摩雙故障的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)進行了一系列研究.Patel等[1-2]從頻域角度研究了裂紋、碰摩故障轉(zhuǎn)子的動力學響應，發(fā)現(xiàn)在頻譜圖中存在比較明顯的二倍頻.Hou等[3]研究了航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子在懸停飛行下發(fā)生碰摩的非線性行為. AL-Shudeifat[4]建立了非對稱裂紋轉(zhuǎn)子的有限元模型，找到了區(qū)分呼吸裂紋與開裂紋的方法.Han等[5]在同時考慮非對稱圓盤和斜裂紋的基礎上建立了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型.宋光雄等[6]分析了國內(nèi)外汽輪機組轉(zhuǎn)子裂紋故障的案例，歸納出轉(zhuǎn)子裂紋的主要原因和振動特征.楊丹等[7]研究了含初始彎曲的裂紋-碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，結果表明淺裂紋下初始彎曲起主導作用，隨著裂紋深度的增加，交替出現(xiàn)周期運動和混沌運動.陶海亮等[8]運用多種時頻分析相結合的方法較為全面地研究了轉(zhuǎn)子的故障特征，發(fā)現(xiàn)裂紋轉(zhuǎn)子在1/5、1/3臨界轉(zhuǎn)速時會發(fā)生較明顯的5X、3X諧波.針對帶有裂紋-碰摩雙故障的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，筆者在考慮非線性油膜力的基礎上，建立此類故障轉(zhuǎn)子的非線性動力學模型，并結合分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)(LLE)曲線圖，定性和定量地分析了無量綱裂紋深度對裂紋-碰摩雙故障轉(zhuǎn)子非線性動力學行為以及系統(tǒng)運動穩(wěn)定性的影響.

1 裂紋-碰摩雙故障轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)模型

研究對象為簡化的裂紋-碰摩雙故障轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，轉(zhuǎn)子兩端采用對稱結構的滑動軸承支承，如圖1所示，其中O1為軸端軸承內(nèi)瓦幾何中心，O2為轉(zhuǎn)子幾何中心，O3為轉(zhuǎn)子質(zhì)心；m1為轉(zhuǎn)子在軸承處的集中質(zhì)量，m2為轉(zhuǎn)軸中央圓盤等效質(zhì)量，在靠近圓盤處有一橫向弓形裂紋.另外，軸承半徑為R，長度為L，軸承間隙為c.

假設含裂紋與碰摩的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)左端軸頸的徑向位移為x1、y1，中央圓盤處的徑向位移為x2、y2，c1為轉(zhuǎn)子在軸承處的結構阻尼(以下簡稱軸承阻尼)，c2為轉(zhuǎn)子圓盤處的結構阻尼(以下簡稱圓盤阻尼)；滑動軸承作用在轉(zhuǎn)軸上的非線性油膜力為Fx、Fy，忽略陀螺力矩和扭轉(zhuǎn)振動，只考慮系統(tǒng)的橫向振動，則系統(tǒng)的運動微分方程為

(1)

式中：Px、Py為碰摩力；kij(i=x,y，j=x,y)為考慮裂紋后軸的剛度；e為質(zhì)量偏心；β為裂紋擴展方向與不平衡方向之間的夾角；g為重力加速度；ω為轉(zhuǎn)速；t為時間.

圖1 裂紋-碰摩雙故障轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)

1.1 裂紋軸的剛度

圖2為轉(zhuǎn)軸裂紋處橫截面示意圖，其中xoy為絕對坐標系，ξo′η為固定在圓盤上并隨圓盤轉(zhuǎn)動的坐標系，o′ξ方向為裂紋擴展方向，o′η方向為裂紋擴展垂直方向，Ψ為轉(zhuǎn)子的渦動角，θ=ωt為自轉(zhuǎn)角，φ為轉(zhuǎn)渦差角，φ=θ-Ψ.在考慮呼吸裂紋后，轉(zhuǎn)軸剛度矩陣[9]可表示為

φ)×

(2)

式中：φ=θ+β；k0為無裂紋軸的剛度；Δks(s=ξ,η)為ξ、η方向由裂紋引起的轉(zhuǎn)軸剛度改變量；f(φ)為描述裂紋開閉的函數(shù)，f(φ)=[(1+cosφ)/2]A，A為無量綱裂紋深度，A=a/R，a為實際裂紋深度.

該裂紋軸剛度模型在文獻[10]和文獻[11]中也有使用，較為經(jīng)典，適用于含有裂紋故障的Jeffcott單盤轉(zhuǎn)子模型的建立.

圖2 開閉裂紋模型示意圖

1.2 碰摩力模型

當碰摩發(fā)生時，首先進行如下假設：轉(zhuǎn)子與定子間的初始間隙為δ；與運動周期相比，碰摩的時間非常短，此時可用彈性接觸模型.接觸面的摩擦為庫倫摩擦，并假設摩擦因數(shù)為常數(shù)，即摩擦因數(shù)與轉(zhuǎn)子、定子間的相對速度無關.發(fā)生碰摩時徑向力Pn和切向力Pr可表示為

(3)

在xoy坐標系中，碰摩力[12]可表示為

(4)

(5)

1.3 油膜力模型

本文中滑動軸承處所產(chǎn)生的油膜力具有強非線性，理論分析中采用經(jīng)典的Capone圓軸承理論[13-14]，該模型精度較高，其表達式如下：

(6)

式中：fx、fy分別為滑動軸承處x與y方向上的無量綱油膜力；σ為Sommerfeld修正數(shù).

(7)

(8)

與式(8)相關的表達式如下：

(9)

式中：x、y為軸承位移；μ為潤滑油黏度.

2 系統(tǒng)運動微分方程求解

2.1 系統(tǒng)運動微分方程的無量綱處理

式(1)給出了裂紋-碰摩雙故障轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的運動微分方程，綜合考慮了剛度的變化以及碰摩力和油膜力的影響，將式(2)中的剛度模型、式(5)中的碰摩力及式(8)中的無量綱油膜力代入系統(tǒng)運動微分方程式(1)中，同時引入無量綱變換：

(10)

2.2 參數(shù)設置

系統(tǒng)的主要參數(shù)見表1.由于運動微分方程式(10)表示一個強非線性系統(tǒng)，這里采用四階Runge-Kutta法對其進行數(shù)值積分求解，并且舍去前300個周期的結果以消除瞬態(tài)響應，進而可得到系統(tǒng)的分岔圖和LLE曲線圖等.

表1 系統(tǒng)主要參數(shù)

3 仿真與分析

裂紋的存在會對碰摩-裂紋雙故障轉(zhuǎn)子的動力學行為產(chǎn)生較大影響，且在一定程度上影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性.利用不同無量綱裂紋深度下的分岔圖和LLE曲線圖來分析裂紋深度對系統(tǒng)分岔特性及運動穩(wěn)定性的影響.

3.1 不同無量綱裂紋深度下的系統(tǒng)響應

圖3～圖5為無量綱裂紋深度A分別為0、0.5和0.9 3種情況下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖及對應的LLE曲線圖.對比圖3(a)、圖4(a)和圖5(a)可以發(fā)現(xiàn)，在轉(zhuǎn)速較低時，系統(tǒng)首次發(fā)生倍周期分岔的轉(zhuǎn)速ω分別為700 rad/s，715 rad/s和770 rad/s，此時系統(tǒng)因出現(xiàn)早期油膜渦動而由p-1失穩(wěn)狀態(tài)進入p-2運動狀態(tài)，說明無量綱裂紋深度的增加會使系統(tǒng)首次分岔的轉(zhuǎn)速提高，原因在于裂紋的存在干擾了油膜渦動的形成，使不穩(wěn)定性有所滯后，對應圖3(b)、圖4(b)和圖5(b)中分岔點處的LLE值(La)均為0.

在中速階段，系統(tǒng)由p-2運動狀態(tài)繼續(xù)發(fā)生倍周期分岔，經(jīng)歷了p-4和p-8等運動，在裂紋較深時(A=0.9)，系統(tǒng)經(jīng)由倍周期分岔進入有2個吸引子的混沌運動，此時對應圖5(b)中的La值為正；另外，隨著裂紋的加深，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔的轉(zhuǎn)速窗口在逐漸縮小.隨著轉(zhuǎn)速的繼續(xù)升高，圖3(a)中轉(zhuǎn)速ω=1 505 rad/s時，系統(tǒng)進入到長期的擬周期運動，此時圖3(b)中La約為0；圖4(a)中系統(tǒng)進入到長期擬周期運動區(qū)間的轉(zhuǎn)速閾值為ω=1 455 rad/s，且在轉(zhuǎn)速范圍1 545～1 560 rad/s和1 740～1 770 rad/s內(nèi)出現(xiàn)了p-7運動；而圖5(a)中系統(tǒng)在經(jīng)歷混沌運動發(fā)生倒分岔回到p-2運動后再次進入到強非線性運動區(qū)間的轉(zhuǎn)速為1 070 rad/s，并且圖3(a)和圖4(a)中在此轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)的擬周期運動演變?yōu)殛嚢l(fā)性混沌，對應圖5(b)中的La值正負交替變化，此時系統(tǒng)具有強非線性和強不穩(wěn)定性.

(a)分岔圖

(b)LLE曲線圖

(a)分岔圖

(b)LLE曲線圖

(a)分岔圖

(b)LLE曲線圖

3.2 定轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)響應隨無量綱裂紋深度的變化

為了進一步說明裂紋深度變化對系統(tǒng)響應的影響，圖6給出了ω=980 rad/s時，系統(tǒng)響應隨無量綱裂紋深度A變化的分岔圖和LLE曲線圖.圖7給出了不同無量綱裂紋深度A下轉(zhuǎn)子的軸心軌跡圖和poincaré截面圖.從圖6(a)可以看出，當無量綱裂紋深度A較小時，系統(tǒng)處于p-8運動狀態(tài)，圖6(b)中相對應的La小于0，其運動特性如圖7(a)所示，A=0時的軸心軌跡8環(huán)相交，poincaré截面圖上為8個孤立的相點，此時La為-0.006 9.當A∈(0.380，0.393)時，系統(tǒng)發(fā)生倒分岔，處于p-4運動，對應圖6(b)中的La等于0.在短暫的p-4運動后，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔繼續(xù)進入到p-8運動.當A增至0.78時，系統(tǒng)再次發(fā)生倍周期分岔進入到p-16運動，該處的La跳變?yōu)?.隨著A的增加，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應經(jīng)由倍周期分岔途徑進入到混沌狀態(tài)，在區(qū)間(0.818,0.875)和(0.895,0.985)內(nèi)系統(tǒng)的La均大于0，系統(tǒng)響應的軸心軌跡圖及poincaré截面圖都有所變化，如圖7(b)所示，A=0.87時的軸心軌跡多圓疊交，poincaré截面吸引子圖為4個混沌小島.當A∈(0.878,0.895)時，混沌運動演變?yōu)閜-12周期振動，此時系統(tǒng)的La小于0，圖7(c)中A=0.88時，軸心軌跡圖為有限條曲線交疊，poincaré截面上呈現(xiàn)12個離散相點，La為-0.024 2.隨著A的進一步增加，系統(tǒng)再次進入到混沌狀態(tài)，在區(qū)間(0.889,0.986)內(nèi)系統(tǒng)的La為正值，圖7(d)中軸心軌跡更加復雜，混沌小島由4個變?yōu)?個.當A增至0.99后，系統(tǒng)結束混沌運動，進入到p-10周期運動.因此，隨著A的增加，系統(tǒng)的運動特性趨于復雜，不穩(wěn)定性變強.綜上，系統(tǒng)的運動過程為p-8→p-4→p-8→p-16→混沌→p-12→混沌→p-10，說明裂紋深度的加深使得系統(tǒng)的運動狀態(tài)變得非常復雜，并且可能使系統(tǒng)由穩(wěn)定的周期運動進入不穩(wěn)定的混沌運動，造成系統(tǒng)失穩(wěn).

(a)分岔圖

(b)LLE曲線圖

Fig.6 Bifurcation diagram and LLE curve varying with the non-dimensional crack depthA(ω=980 rad/s)

3.3 無量綱裂紋深度對碰摩力的影響

圖8給出了無量綱裂紋深度A分別為0、0.5和0.9時碰摩力隨轉(zhuǎn)速的變化，其中碰摩力為各轉(zhuǎn)速下x方向無量綱碰摩力的有效值，記為Px.

從圖8可以看出，在轉(zhuǎn)速200～410 rad/s內(nèi)，A=0和A=0.5時的曲線重合度較高，而A=0.9時碰摩力反而小，說明在該轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)較深的裂紋在一定程度上抑制了碰摩的力度；在轉(zhuǎn)速411～515 rad/s內(nèi)，裂紋的加深反而使碰摩力變大，且碰摩力在該范圍內(nèi)出現(xiàn)小波峰，系統(tǒng)振動劇烈，裂紋的影響較大；在ω=515 rad/s后的中速階段，裂紋的加深使同轉(zhuǎn)速下的碰摩力變小，而在高速階段，裂紋的加深會使同轉(zhuǎn)速下的碰摩力變大，且影響很明顯.另外，圖8中中速階段出現(xiàn)了峰谷：A為0、0.5和0.9時的峰谷轉(zhuǎn)速分別為700 rad/s、715 rad/s和770 rad/s，與首次倍周期分岔的轉(zhuǎn)速相同，說明系統(tǒng)周期運動的切換會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，碰摩力由減小趨勢變?yōu)樵龃筅厔荩駝又匦伦兊脛×?系統(tǒng)碰摩力第2次發(fā)生跳變的轉(zhuǎn)速為1 255 rad/s、1 150 rad/s和1 070 rad/s，分別與系統(tǒng)在A=0、0.5時首次進入擬周期運動和A=0.9時進入到陣發(fā)混沌的轉(zhuǎn)速相同.此后A=0和0.5時的碰摩力變化并不大，但在跳躍點1 505 rad/s和1 455 rad/s后碰摩力持續(xù)增大，對應分岔圖中此時系統(tǒng)第2次進入擬周期運動；而A=0.9時的碰摩力一直呈增大趨勢，在跳躍點處均能在分岔圖上找到對應的狀態(tài)切換.

(a)A=0

(b)A=0.87

(c)A=0.88

(d)A=0.92

圖7ω=980 rad/s時不同無量綱裂紋深度A下轉(zhuǎn)子的軸心軌跡圖和poincaré截面圖

Fig.7 Axis orbit and poincaré maps of rotor under different non-dimensional depths of crackA(ω=980 rad/s)

圖8 不同無量綱裂紋深度A下碰摩力隨轉(zhuǎn)速變化的有效值曲線

Fig.8 RMS curve of rub-impact force varying with different non-dimensional depths of crackA

4 結 論

(1)在低速區(qū)間，隨著無量綱裂紋深度A的增加，系統(tǒng)首次分岔點后移，說明裂紋的加深在該轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)增強了系統(tǒng)的穩(wěn)定性；中速區(qū)間內(nèi)，雖然p-2、p-4和p-8等多周期運動轉(zhuǎn)速范圍在逐漸減小，但在無量綱裂紋深度較大時系統(tǒng)經(jīng)由倍周期分岔道路進入到混沌運動，并且系統(tǒng)進入擬周期、混沌等運動的臨界轉(zhuǎn)速提前；在高速區(qū)間，無量綱裂紋深度的增加使得擬周期運動逐漸演變?yōu)榛煦绾投嘀芷谶\動交替出現(xiàn)，分岔情況更為復雜，且隨著無量綱裂紋深度的增加，高速區(qū)間的響應幅值逐漸增大，不穩(wěn)定性增加.

(2)在不同轉(zhuǎn)速階段，裂紋的加深對碰摩力的影響不同，其中在高速區(qū)間的影響更為明顯；隨著轉(zhuǎn)速增大，碰摩力雖呈增大趨勢，但存在多個跳躍點，并且跳躍點數(shù)隨著無量綱裂紋深度的增加而增加，部分跳躍點提前.

(3)裂紋的加深和轉(zhuǎn)速的升高均會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

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Dynamic Analysis of a Rotor with Coupling Faults of Crack and Rub-Impact Under Nonlinear Oil-film Force

XIANGLing,GAOXueyuan,ZHANGLijia,DIWeiwei

(Faculty of Mechanical Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, Hebei Province, China)

A nonlinear dynamic model was established for the rotor with coupling faults of crack and rub-impact, considering the time-varying rigidity of crack, rub-impact force and nonlinear oil-film force, which was solved by numerical integration method. Meanwhile, the bifurcation diagrams, poincaré maps, axis orbit and the largest Lyapunov exponent (LLE) were used to analyze the effects of non-dimensional crack depth and rotating speed on the system response, system stability and the rub-impact force in both qualitative and quantitative ways. Results indicate that, the system has undergone diverse nonlinear motions, such as 2T-periodic motion, 4T-periodic motion, 8T-periodic motion, quasi-periodic motion and chaos. As the non-dimensional crack depth increases, the speed of the first bifurcation rises, and the time reaching the critical speeds of quasi-periodic motion and chaos advances. Besides, with the increase of non-dimensional crack depth, the quasi-periodic motion evolves into alteration of chaos and multi-periodic motion in the high-speed area. Moreover, the influence of crack depth on rub-impact force varies in different speed areas, which becomes particularly noticeable in the high-speed area.

rotor; crack; rub-impact; nonlinear dynamics; largest Lyapunov exponent

2015-11-23

國家自然科學基金資助項目(51475164)

向 玲(1971-),女, 湖北隨州人,教授,博士,研究方向為非線性動力學和故障診斷. 電話(Tel.)：15032496266； E-mail：ncepuxl@163.com.

1674-7607(2016)10-0788-07

TH113

A 學科分類號：470.30