從小學(xué)高段小課題選題的策略看數(shù)學(xué)素養(yǎng)落實(shí)

黃瑋慧

摘要：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人們通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)建立起來(lái)的認(rèn)識(shí)、理解和處理周?chē)挛飼r(shí)所具備的品質(zhì)，通常是在人們與周?chē)h(huán)境產(chǎn)生相互作用時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的思考方式和解決問(wèn)題的策略。義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在教學(xué)內(nèi)容中設(shè)置了四個(gè)部分，“綜合與實(shí)踐”是其中一個(gè)重要的內(nèi)容，這個(gè)部分為學(xué)生提供一種通過(guò)綜合、實(shí)踐的過(guò)程去做數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的實(shí)踐課程。選題是綜合實(shí)踐小課題活動(dòng)得以開(kāi)展的第一步，也是最為關(guān)鍵和重要的一步，選題研究以期待指導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立確立一個(gè)具有可行性、可操作性并富有深度和廣度的課題，然后自主、自信的參與綜合實(shí)踐課的小課題探索研究。這一選題過(guò)程宛若師生間的對(duì)弈，筆者就此探討，以博弈的簡(jiǎn)約、智慧啟迪數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)選題中“3W策略”“對(duì)比追蹤策略”以及“以點(diǎn)帶面挖掘亮點(diǎn)”幾項(xiàng)策略，從而落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：博弈；數(shù)學(xué)小課題；選題

【緣起】？“老師怎么寫(xiě)綜合實(shí)踐小課題？”“老師什么類(lèi)型課題目可以研究”？“老師你能給我定一個(gè)選題方案嗎？”“老師綜合實(shí)踐研究小課題太難了，我不會(huì)做，怎么辦？”“老師我選的題怎么就做不下去了？”……如何確定綜合實(shí)踐小課題的選題，讓學(xué)生能自主、自信、自愿地參與到綜合與實(shí)踐小課題的研究中，從而有效地培養(yǎng)孩子們的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)是我們一線(xiàn)教師見(jiàn)面交流最多，問(wèn)題最大的一個(gè)問(wèn)題。的確選題作為綜合實(shí)踐活動(dòng)基礎(chǔ)性和導(dǎo)向性環(huán)節(jié)，它所涉及的方向關(guān)系著學(xué)生的興趣導(dǎo)向，影響著課程深入實(shí)施的成效。指導(dǎo)學(xué)生自主確立綜合與實(shí)踐的選題能幫助學(xué)生尋找到值得研究的課題，同時(shí)又確保課題來(lái)源于學(xué)生，并尊重學(xué)生，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、信心、和能力，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，還能提高教師的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)、開(kāi)拓教師的視野、改變教師的教學(xué)方式。諾貝爾得主巴爾丁博士曾說(shuō)過(guò)；“決定一個(gè)研究是否能取得成效，很重要的一點(diǎn)就是他所選擇的研究的選題。”？

一、師生共交流——沖破選題之“囚徒的困境”

“囚徒的困境”是博弈論中一個(gè)典型的案例。然而今天當(dāng)我們審視數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐選題活動(dòng)，不難發(fā)現(xiàn)其以淪為“囚徒的困境”的困頓之局。

其一：選題難，學(xué)生研究停滯不前。究其原因，學(xué)生經(jīng)驗(yàn)淺、數(shù)學(xué)思維的深度和數(shù)學(xué)能力等因素的限制，順利開(kāi)展數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)對(duì)于學(xué)生而言是艱難的。首先引一份筆者學(xué)校當(dāng)前學(xué)生選題的整體分布來(lái)看困境：

以上四個(gè)方面的因素都在影響著學(xué)生最終選題的效果，而且也反映出學(xué)生在選題時(shí)這四個(gè)方面都存在不同程度的問(wèn)題和困惑。

案例：一個(gè)小組的選題談起：

教師出具一組選題：

[題目1]關(guān)于六.1班同學(xué)身高、體重、年齡、飲食等方面的調(diào)查。

[題目2]班級(jí)用電量。？？？？？？？？[題目3]上下學(xué)的方式和成本。？？[題目4]課間的重要性。？

[題目5]怎樣坐電梯最快？？？？[題目6]綠色中巴車(chē)是賺還是賠？

初看這幾個(gè)選題都不錯(cuò)，然而事實(shí)卻是這組的6個(gè)選題最后全部放棄。題1，學(xué)生認(rèn)為目標(biāo)不清選擇放棄；選題2，學(xué)生認(rèn)為沒(méi)有新意也選擇放棄；題3，范圍不當(dāng)選擇放棄，題4，題5沒(méi)有研究的價(jià)值選擇放棄，題6，涉及線(xiàn)路的路況、人員調(diào)度、費(fèi)用等問(wèn)題太多瑣碎影響因素導(dǎo)致操作難，最后也導(dǎo)致放棄。一個(gè)月過(guò)去了，這一小組最終沒(méi)有形成一個(gè)選題方案，所有的設(shè)想均以失敗告終。

其二：研究難，教師越俎代庖替學(xué)生研究?？幢拘Ｒ环葸x題調(diào)查報(bào)告：

從以上統(tǒng)計(jì)分析中不難看出：我校目前數(shù)學(xué)教師做法是，給學(xué)生劃定一個(gè)圈，幫學(xué)生確立選題，幫學(xué)生規(guī)劃該選題的實(shí)施步驟。

縱觀其一、其二的現(xiàn)實(shí)，本校數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐已經(jīng)陷入博弈論中的囚徒的困境——“放棄”或“開(kāi)啟”的博弈之間。如若放棄，學(xué)生將失去一個(gè)以數(shù)學(xué)為載體提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)能力的平臺(tái)。如若開(kāi)啟，老師越俎代庖，代學(xué)生研究，學(xué)生真的有提高嗎？真是欲說(shuō)還休，欲語(yǔ)又遲，首鼠兩端，舉棋不定。

再觀“囚徒的困境”如若兩囚徒能互相商量對(duì)策，相信他們就能獲得最佳的策略?？梢?jiàn)溝通、交流是破此局的最佳方案。那么我們數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐獲得困局是否也是如此？師生互相交流、溝通、調(diào)整將形成將數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐引向成功的充足條件。其一：通過(guò)交流發(fā)現(xiàn)學(xué)生選題的問(wèn)題及時(shí)調(diào)整方向。其二：通過(guò)交流把控學(xué)生選題的問(wèn)題，將學(xué)生選題從僅僅停留在調(diào)查方面引向思維的深入。本人試著整理出選題的幾種類(lèi)型，以啟迪學(xué)生的思維。

1、延伸教材中的數(shù)學(xué)問(wèn)題

2、尋找生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題

3、課內(nèi)學(xué)習(xí)交流碰撞中產(chǎn)生數(shù)學(xué)問(wèn)題

4、解密數(shù)學(xué)興趣研究中數(shù)學(xué)問(wèn)題

二、選題交流策略

如上所述“師生互相交流、溝通、調(diào)整將形成將數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐引向成功的充要條件。那么如何實(shí)施交流的策略，讓老師指導(dǎo)有力，學(xué)生研究有勁對(duì)比目前我們數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐的現(xiàn)狀：我們教師幫著學(xué)生立題，幫著形成選題的策略；甚至幫著學(xué)生寫(xiě)研究為得是讓學(xué)生提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，而學(xué)生舒舒服服躺著、看著課題從選題到研究的過(guò)程。當(dāng)然最后的結(jié)果是學(xué)生沒(méi)有付出勞動(dòng)、沒(méi)有成長(zhǎng)，而老師過(guò)于奔波不得已封閉了數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐研究的那扇門(mén)。于是乎我們要調(diào)整策略讓?zhuān)俊皩W(xué)生”不能處于搭便車(chē)的博弈策略中。

1、“3W”策略——輻射問(wèn)題的廣度和深度。數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐選題活動(dòng)，必須要讓學(xué)生有跡可循，分層次，分目標(biāo)看到勞動(dòng)與成功的因果關(guān)系，最大限度調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，為學(xué)生順利開(kāi)心研究活動(dòng)提供保障。問(wèn)題是研究的起點(diǎn)，思考的開(kāi)端。恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題將引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入更深層的研究中。教師要做的是首先嘗試著以3“W”——是什么？為什么？怎么樣？為指向問(wèn)學(xué)生幾個(gè)問(wèn)題，然后讓學(xué)生逐漸洞悉并習(xí)慣這種思考方式，并最終實(shí)現(xiàn)他們獨(dú)立的、自發(fā)的提問(wèn)。

兩個(gè)“W”——“WHAT”？？“WHY”

“WHAT”——研究的數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課題的選題到底是什么？通過(guò)這樣的提問(wèn)讓學(xué)生進(jìn)一步澄清研究?jī)?nèi)容的輪廓，突出研究的主體，并幫助他們整體把握選題的機(jī)構(gòu)和重點(diǎn)。

“WHY”——為什么要研究這樣的一個(gè)選題？這樣的提問(wèn)將對(duì)學(xué)生的研究方向起到收攏和聚焦的效果。同時(shí)，教師的提問(wèn)重在引導(dǎo)學(xué)生的思考，而不能簡(jiǎn)單的包辦代替他們的思考過(guò)程。

一個(gè)“HOW”？

“HOW”——怎么樣研究這樣一個(gè)課題？這樣的提問(wèn)將學(xué)生的思維引向數(shù)學(xué)思維。教師通過(guò)這樣的提問(wèn)把數(shù)學(xué)思想運(yùn)用到數(shù)學(xué)的綜合實(shí)踐活動(dòng)上來(lái)。在設(shè)計(jì)出課題之后，學(xué)生往往會(huì)很沖動(dòng)地開(kāi)始研究和調(diào)查。如果學(xué)生一旦過(guò)早進(jìn)入后面的階段，學(xué)生缺乏對(duì)方法、困難的估計(jì)和預(yù)設(shè)。這就勢(shì)必讓我們教師通過(guò)HOW即如何研究的提問(wèn)讓學(xué)生回歸精心思考、反復(fù)對(duì)比。

案例：班級(jí)座位安排策略

生：研究的目的是讓人人有機(jī)會(huì)嘗試“黃金座位”的座位安排。

師：什為什么要研究這個(gè)課題？（WHY）

生：我們班49%的同學(xué)不滿(mǎn)意自己目前的位置，究其原因有位置太死板影響視力、影響聽(tīng)課質(zhì)量等。此外按傳統(tǒng)的身高方法排位，一般在幾年以?xún)?nèi)，孩子的位置基本固定，也就是說(shuō)，他們與黑板之間都會(huì)一直沿用一種視距，這對(duì)處于身體和眼睛發(fā)育期的孩子不利。一般班級(jí)中間二、三排是比較理想的視覺(jué)觀看舒適位置，被稱(chēng)為“黃金座位”。

師：你準(zhǔn)備以什么樣數(shù)學(xué)問(wèn)題展開(kāi)該課題的研究？，（WHAT）

生：輪流、間隙為研究的起點(diǎn)嘗試讓每個(gè)同學(xué)都有機(jī)會(huì)能坐到黃金位置，享受資源均衡。

師：準(zhǔn)備如何計(jì)算間距、和輪流的次序？（HOW）

生：利用植樹(shù)原理先建立數(shù)學(xué)模型再計(jì)算。

通過(guò)三次不同層次地提問(wèn)，幫助學(xué)生重新審視自己的選題，調(diào)整自己的選題。最終形成研究的問(wèn)題。

2、對(duì)比追蹤策略——拉長(zhǎng)選題的過(guò)程。我們的數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐選題活動(dòng)，我們教師可以通過(guò)對(duì)比同類(lèi)選題的不同形式，讓學(xué)生放慢研究的腳步，也可以采用記錄的方式，讓學(xué)生的思考過(guò)程充分展示出來(lái)。所以筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)踐活動(dòng)的選題報(bào)告單。

選題報(bào)告中設(shè)計(jì)了主選和備選兩個(gè)選題，學(xué)生可以從同個(gè)研究?jī)?nèi)容不同角度篩選出兩個(gè)選題。這是學(xué)生經(jīng)歷的第一次篩選過(guò)程，同時(shí)還要思考選題的目的，對(duì)選題開(kāi)始聚集。然后從這兩個(gè)選題中，再次篩選出一個(gè)最終的選題。學(xué)生只有通過(guò)這兩次篩選的過(guò)程，才可能對(duì)研究的課題產(chǎn)生足夠的思考。

案例：五舍六入的研究

生：在一次對(duì)比醫(yī)院的賬單發(fā)現(xiàn)不同的去尾法，我想研究有多少種不同的去尾法。

師：通過(guò)對(duì)比賬單你發(fā)現(xiàn)兩種去尾法有什么不同？

生：四舍五入與五舍六入。

師：那么我們能否從對(duì)四舍五入與六舍五入的研究小起點(diǎn)開(kāi)始，并推斷其它的去尾法呢？

生：那我就研究“四舍五入和五舍六入”的區(qū)別。

師：你比較一下：研究“不同的去尾法”和研究“四舍五入和五舍六入”有什么區(qū)別？

生：深入思考后我發(fā)現(xiàn)研究“四舍五入和五舍六入”好像具體一點(diǎn)，目標(biāo)明確一些。我可以先研究：1、什么是五舍六入？2、五舍六入與四舍五入有什么區(qū)別？3、是否還存在1舍2入？2舍3入3舍4入等情況呢？4、五舍六入在哪些地方使用的？5、還有精確度更高的取近似值的方法嗎嗎？

師：你猜測(cè)這兩種去尾法的精確度與哪個(gè)數(shù)字有密切的關(guān)系？能設(shè)計(jì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證嗎？

生：我采用9個(gè)？?jī)晌恍?shù)的數(shù)據(jù)，分別采用四舍五人法和五舍六入法保留位一位小數(shù)，比較一下他們?cè)?？保留的精確度上有什么區(qū)別？步驟如下：實(shí)驗(yàn)二：（1-9的數(shù)據(jù)研究）、實(shí)驗(yàn)二：（1-5的數(shù)據(jù)研究）實(shí)驗(yàn)三（末尾為5——9的數(shù)據(jù)研究）實(shí)驗(yàn)四：（沒(méi)有5的數(shù)據(jù)取舍）關(guān)于A舍B入的研究。

在這一過(guò)程中，教師放慢腳步，讓目光變得犀利起來(lái)。將選題以對(duì)比形式記錄下來(lái)讓學(xué)生有更多思想準(zhǔn)備和方法儲(chǔ)備，為后續(xù)的研究活動(dòng)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。正如胡適所說(shuō)：研究要大膽的假設(shè)，小心的求證。讓學(xué)生既要有敢于挑戰(zhàn)的精神，又要有腳踏實(shí)地的行動(dòng)。

3、點(diǎn)面策略——以點(diǎn)帶面，挖掘亮點(diǎn)

以點(diǎn)帶面：簡(jiǎn)而精

由于時(shí)間和精力的限制，教師不可能對(duì)所有小組的問(wèn)題逐一進(jìn)行分析討論，因此筆者認(rèn)為我們應(yīng)當(dāng)在學(xué)生選題期間找到各選題之間的共性或成因，然后和學(xué)生進(jìn)行交流和分析。

教師選取小組出現(xiàn)的一兩個(gè)比較典型的現(xiàn)象，啟發(fā)全體學(xué)生的共同思考，深入分析，以達(dá)到質(zhì)疑借鑒、相互補(bǔ)充、取長(zhǎng)補(bǔ)短的作用。

案例：不規(guī)則圖形的面積

生：黃老師我這個(gè)選題我嘗試了從面積單位、組合圖形面積、圓的面積拼接著手研究，可是都失敗了。這個(gè)課題我不想研究了，沒(méi)有出路了。

師：前面的方法行不通，你有想過(guò)從立體圖形來(lái)看不規(guī)則圖形的面積嗎？

生：哦我不明白，如何從體到面去研究？

師：如何求解這個(gè)長(zhǎng)方體的底面積呢？

確定：體積÷高=底面積，這一求不規(guī)則圖形計(jì)算方法。

生：老師底面積都不知道我們?cè)趺纯赡芮蟪鲶w積呢？

師：確立體積、質(zhì)量之間的轉(zhuǎn)化方法。

你能確定右邊圖形的體積了嗎？

小組歸納：以上的課題在選題時(shí)遇到了困難，什么方法是戰(zhàn)勝這一困難的關(guān)鍵。（化歸的思想）

通過(guò)這一個(gè)選題的分析為大多數(shù)學(xué)生在選題時(shí)苦于策略研究決定放棄選題時(shí)開(kāi)啟了一扇智慧的門(mén)。起到以點(diǎn)之力帶動(dòng)面的綿延。正所謂“迷時(shí)師渡、悟時(shí)自渡”。

挖掘亮點(diǎn)：平淡而深刻

學(xué)生的選題不一定要來(lái)的轟轟烈烈，非要有多么深刻的環(huán)保意識(shí)，非要有驚鴻一瞥的立意，往往平淡中能孕育著深刻。哪怕數(shù)學(xué)上的一道習(xí)題也能閃現(xiàn)了一個(gè)個(gè)閃光的智慧。我們教師要善于捕捉學(xué)生選題背后的數(shù)學(xué)方法和價(jià)值。

案例：和等于積的研究

生：老師我是否可以將研究和等于積的規(guī)律作為選題了呢？

師：當(dāng)然，能否再深入研究一下差等于商的情況規(guī)律呢？

教師對(duì)核心問(wèn)題越清晰，學(xué)生選題的可操作性越強(qiáng)。以上數(shù)學(xué)選題時(shí)學(xué)生看似平常的數(shù)學(xué)習(xí)題中的口算練習(xí)中發(fā)現(xiàn)的一個(gè)極其微小的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但是教師卻挖掘了這一問(wèn)題的閃光點(diǎn)，并形成了一個(gè)有數(shù)學(xué)思維含量有深度的數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)的選題。

四、從零和博弈走向雙贏

正是基于前面選題的策略的認(rèn)識(shí)，筆者經(jīng)過(guò)不斷實(shí)踐和摸索，逐步確立了選題的基本操作流程。流程的操作我們將師生的零和博弈狀態(tài)調(diào)整到雙贏的狀態(tài)。這期間我們師生通力合作，互幫互助、互提互協(xié)。最終形成雙贏的局面——學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力得以提高，教師的數(shù)學(xué)教學(xué)研究能力得以提高。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)總是基于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力實(shí)現(xiàn)的，并且外化于運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力解決問(wèn)題的過(guò)程。同時(shí)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也促進(jìn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解和數(shù)學(xué)基本能力的提升。數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐小課題的研究是解決類(lèi)似實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，能使學(xué)生初步體驗(yàn)從建模準(zhǔn)備（了解、掌握情況）一直到模型檢驗(yàn)、推廣的大致流程。更具發(fā)展意義的價(jià)值在于它能增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)與自信，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科的素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1] 孔企平，著《數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中學(xué)生的參與》華東師范大學(xué)出版社.

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[4] 李寧，著《陪學(xué)生一起做研究》 北京大學(xué)出版社 2012