納米級(jí)缺口起裂臨界條件的晶體相場(chǎng)模擬*

溫振川，寧歲婷，張　睿，高英俊

(廣西大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院，廣西南寧　530004)

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納米級(jí)缺口起裂臨界條件的晶體相場(chǎng)模擬*

溫振川，寧歲婷，張睿，高英俊**

(廣西大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院，廣西南寧530004)

(College of Physical Science and Technology，Guangxi University，Nanning，Guangxi，530004，China)

摘要：【目的】研究初始缺口大小對(duì)裂紋起裂的影響?！痉椒ā坎捎镁w相場(chǎng)(phase-field-crystal，PFC)模型研究單軸拉伸應(yīng)力作用下，材料裂紋起裂的動(dòng)態(tài)演化過(guò)程，并結(jié)合自由能分析裂紋起裂與擴(kuò)展過(guò)程中，不同缺口尺寸對(duì)裂紋起裂的影響。【結(jié)果】沿x方向施加恒應(yīng)變，初始缺口y方向尺寸較小時(shí)，改變?nèi)笨趚方向尺寸，缺口并不起裂；當(dāng)y方向尺寸達(dá)到一定值時(shí)，初始缺口會(huì)起裂。當(dāng)y方向尺寸接近起裂臨界值時(shí)，x方向尺寸的增大會(huì)延緩缺口的起裂。當(dāng)x方向尺寸改變量較小時(shí)，裂紋并不起裂，當(dāng)增大到x方向尺寸臨界值時(shí)，缺口開(kāi)始起裂并擴(kuò)展?！窘Y(jié)論】在應(yīng)力大小一定的情況下，缺口起裂與應(yīng)力作用方向垂直的缺口尺寸密切相關(guān)，只有與應(yīng)變作用方向垂直的尺寸達(dá)到臨界值，缺口才會(huì)發(fā)生起裂。

關(guān)鍵詞：晶體相場(chǎng)模型臨界缺口尺寸缺口起裂

0　引言

【研究意義】材料在生產(chǎn)制造和實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程中，受加載作用下容易產(chǎn)生微裂紋，這些微裂紋在一定的條件下會(huì)發(fā)生擴(kuò)展，從而影響材料的壽命[1]。早期的研究是從材料斷裂的宏觀表象出發(fā)，建立了斷裂力學(xué)理論和模型，來(lái)解釋裂紋萌生和擴(kuò)展的相關(guān)行為[2]。但實(shí)際上，裂紋的萌生與擴(kuò)展[3]在納米尺度就開(kāi)始了。因此，深入研究材料的斷裂特征，就不能只停留在給出表象的宏觀尺度上，而應(yīng)當(dāng)從納觀尺度分析裂紋萌生與擴(kuò)展機(jī)理?！厩叭搜芯窟M(jìn)展】材料在介觀和宏觀尺度上的性能，在很大程度上由其內(nèi)部的微觀缺陷所決定[4]，例如：空洞、空位、位錯(cuò)、晶界以及微裂紋等。這些缺陷起因于在原子尺度發(fā)生的復(fù)雜非平衡動(dòng)力學(xué)過(guò)程[5]。就目前所采用的多尺度模擬研究方法來(lái)說(shuō)，對(duì)這些微觀特征結(jié)構(gòu)的實(shí)時(shí)演化過(guò)程的建模和模擬是一個(gè)重大的挑戰(zhàn)。最近，Elder等[5-7]基于密度泛函理論提出了晶體相場(chǎng)(phase-field-crystal，PFC)模型。該模型給出了新的自由能函數(shù)形式，引入周期序參量作為局域密度場(chǎng)，它將無(wú)序相(液相等)的密度場(chǎng)定義為一常數(shù)，將固相的密度場(chǎng)表示成周期性函數(shù)(波)的形式，進(jìn)而通過(guò)周期的原子密度函數(shù)表現(xiàn)晶體的周期結(jié)構(gòu)。這樣的密度場(chǎng)就很自然地與彈性效應(yīng)、晶粒取向和位錯(cuò)的運(yùn)動(dòng)等由周期性結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的物理特性緊密的關(guān)聯(lián)起來(lái)[8]。目前，PFC方法已有許多具體的應(yīng)用，例如：模擬位錯(cuò)滑移和攀移[9]、相結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變[10]、異質(zhì)外延生長(zhǎng)[11]、納米晶粒長(zhǎng)大[12]等?！颈狙芯壳腥朦c(diǎn)】材料微裂紋擴(kuò)展的研究目前主要集中在材料受到外部載荷累計(jì)改變作用下的疲勞裂紋尖端擴(kuò)展行為以及裂紋分叉特性[13-14]，而應(yīng)用先進(jìn)的PFC模型，研究初始缺口尺寸大小對(duì)裂紋起裂影響的工作還鮮有報(bào)道?！緮M解決的關(guān)鍵問(wèn)題】應(yīng)用PFC方法模擬拉伸應(yīng)變作用下[15]，納米級(jí)裂紋起裂的動(dòng)態(tài)演化過(guò)程，詳細(xì)分析預(yù)制中心缺口尺寸大小對(duì)裂紋起裂的影響。

1　PFC模型與方法

1.1體系的自由能密度函數(shù)

與傳統(tǒng)的相場(chǎng)模型不同，PFC模型采用具有周期性的局域原子密度場(chǎng)作為相場(chǎng)變量[6]。因此，PFC模型能夠反映晶體周期結(jié)構(gòu)特性以及原子尺度的行為。對(duì)于固態(tài)金屬材料，其原子的位置不依賴(lài)于時(shí)間，呈現(xiàn)規(guī)則排列。文獻(xiàn)[6]給出了既能夠描述晶體周期結(jié)構(gòu)，又能描述體系均勻結(jié)構(gòu)的密度函數(shù)，其表達(dá)式可寫(xiě)成

(1)

式中，G為倒格子，r為空間位置矢量，an,m為Fourier系數(shù)。式(1)中等號(hào)右邊第一項(xiàng)反映晶格原子的周期性排列特征；第二項(xiàng)ρ0反映均勻無(wú)序相的原子密度分布平均值，是一個(gè)常量。此時(shí)體系無(wú)量綱的自由能函數(shù)F可以寫(xiě)成

(2)

(3)

式中：A0是一個(gè)特定的常數(shù)，反映固相原子密度周期結(jié)構(gòu)的振幅。由能量函數(shù)取極小值得到：波矢q=2π/a，A0表達(dá)式為

(4)

式中，ρ0和γ為體系能量函數(shù)的兩個(gè)重要參數(shù)。由體系的能量密度函數(shù)可以計(jì)算并畫(huà)出體系的相圖。對(duì)于二維體系，相區(qū)有均勻無(wú)序相和晶體相，且晶體相又有六角格子相和條狀相兩種。文獻(xiàn)[6]已給出均勻相和條狀相的能量密度函數(shù)表達(dá)式，按照平衡相圖的計(jì)算方法可得到二維PFC相圖如圖1所示。

S、T、L分別表示條狀相、三角相、液相；圖(b)為圖(a)中虛線(xiàn)框的放大圖

S,T and L represent stripe phase,triangular phase and liquid phase,respectively；(b)is enlarged image of the dashed box of (a)

圖1PFC模型的二維相圖[6]

Fig.1Two-dimensional phase diagrams of PFC model[6]

1.2動(dòng)力學(xué)方程與數(shù)值化處理

保守的原子密度場(chǎng)變量的演化可用與時(shí)間相關(guān)的Cahn-Hilliard動(dòng)力學(xué)方程[6]描述

(5)

該動(dòng)力學(xué)方程是六階非線(xiàn)性高階偏微分方程，在坐標(biāo)空間求解十分復(fù)雜和繁瑣。因此，為了提高求解動(dòng)力學(xué)方程(5)的效率，需要轉(zhuǎn)換到波矢空間求解。這里采用半隱式傅里葉法[6,17]求解，對(duì)式(5)變換到傅里葉空間[18]，整理可得

(6)

1.3拉伸應(yīng)變的施加以及參數(shù)設(shè)置

對(duì)樣品采用等應(yīng)變(等位移)單軸拉伸加載。在受到拉伸作用后，樣品中所有格點(diǎn)的坐標(biāo)位置都會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。因此，通過(guò)格點(diǎn)坐標(biāo)位置的變化來(lái)反映應(yīng)變作用所引起的樣品變形。設(shè)變形前的樣品中格點(diǎn)位置的坐標(biāo)用(x,y)表示，施加等應(yīng)變作用引起變形后，格點(diǎn)位置的坐標(biāo)用(x′,y′)表示。樣品在y方向受到應(yīng)變?chǔ)舮的拉伸作用。變形前后坐標(biāo)變換關(guān)系為x′=x和y′=y/(1+εy)。由于等應(yīng)變作用引起樣品變形，其內(nèi)部原子密度函數(shù)變?yōu)棣?x′,y′)=ρ(x,y/(1+εy))，因此，在考慮等應(yīng)變作用引起變形的情況下，原子密度函數(shù)表達(dá)式(4)將變換為ρ(x′,y′)，體系的能量也隨之發(fā)生相應(yīng)的變化，但控制演化的動(dòng)力學(xué)方程的形式保持不變。將樣品變形后的原子密度ρ(x′,y′)代入動(dòng)力學(xué)方程(5)中，采用半隱式傅里葉變換方法整理得到(6)，對(duì)其求解并進(jìn)行可視化處理，即可得到裂紋擴(kuò)展的演化圖。

本研究模擬不涉及具體材料的物性參數(shù)，所用參數(shù)均已無(wú)量綱化處理，并將連續(xù)空間離散為四方格子網(wǎng)格，采用周期性邊界條件。計(jì)算網(wǎng)格為512Δx×512Δy，空間步長(zhǎng)Δx=Δy=π/3，時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.05。根據(jù)單模近似下的二維相圖(圖1)，本研究選用無(wú)量綱密度為ρ0=0.49的三角相表征晶體相，對(duì)應(yīng)的溫度參量取為γ=-1.0，如圖1b中A點(diǎn)所示。為模擬中心裂紋，在樣品中心設(shè)置一定大小的缺口作為初始裂口，其參數(shù)設(shè)置為ρ0=0.79，γ=-1.0，如圖1b中B點(diǎn)所示。之所以選取該點(diǎn)是因?yàn)槠鋵?duì)應(yīng)液相與三角相共存區(qū)域附近的原子密度，有利于三角相向裂紋結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變。原子排列取向角θ=1°。

2　結(jié)果與分析

2.1缺口x方向起裂的臨界尺寸

在施加相同應(yīng)變情況下，不同的初始缺口尺寸會(huì)影響裂紋的萌生與擴(kuò)展。如圖2所示，本研究施加拉應(yīng)變方向?yàn)閱蝬方向，應(yīng)變量為ε=10%。固定缺口y方向長(zhǎng)度為10個(gè)格子，改變?nèi)笨趚方向的尺寸，分別取10，12，14，16，18，20，22個(gè)格子(如表1樣品Ai所示)。圖3a～d為實(shí)驗(yàn)條件下，樣品A6缺口形貌圖，從圖3可以看出，整個(gè)過(guò)程中初始缺口沒(méi)有起裂。圖4給出了不同尺寸初始缺口樣品的自由能曲線(xiàn)。由于采取恒應(yīng)變施加的方法，從該圖中可觀察到，在整個(gè)過(guò)程，自由能曲線(xiàn)呈水平直線(xiàn)，體系能量保持常量，這表明裂紋沒(méi)有起裂。由此可以推斷，缺口y方向長(zhǎng)度固定且較小時(shí)，改變?nèi)笨趚方向的尺寸，不產(chǎn)生缺口起裂；但是隨著x方向尺寸的增大，同等應(yīng)變作用下，整個(gè)體系的自由能升高。

圖2施加單軸拉伸應(yīng)變的示意圖

Fig.2Effect diagram of single biaxial stress

表1樣品參數(shù)及起裂情況

Table 1Sample parameters and crack initiation

樣品Sample缺口尺寸NotchsizeΔx×Δy起裂CrackinitiationA110×10NA212×10NA314×10NA416×10NA518×10NA620×10NA722×10NB110×10NB210×12NB310×14NB410×16YB510×18YB610×20YB710×22YC110×14NC212×14YC314×14YC416×14YC518×14YC620×14YC722×14Y

注：N表示沒(méi)有起裂，Y表示發(fā)生起裂

Note:N means no crack initiation，Y means crack initiation

t表示時(shí)間步長(zhǎng)t is time step size圖3　樣品A6缺口形貌Fig 3　The morphology of crack of sample A6

圖4樣品Ai體系的自由能變化曲線(xiàn)

Fig.4Free energy change curve of the evolution of sample Ai

2.2缺口y方向起裂的臨界尺寸

固定缺口x方向尺寸為10個(gè)格子，改變初始缺口y方向的尺寸，分別取10，12，14，16，18，20，22個(gè)格子(如表1樣品Bi所示)。圖5給出了不同尺寸缺口樣品的自由能曲線(xiàn)，從圖中可以觀察到，當(dāng)y方向缺口尺寸小于等于14個(gè)格子時(shí)，自由能幾乎是一條水平的直線(xiàn)，反映了整個(gè)體系能量基本沒(méi)有變化，也表明缺口沒(méi)有起裂。但隨著y方向缺口尺寸增大，不同樣品能量升高；當(dāng)y方向尺寸大于14個(gè)格子時(shí)，自由能曲線(xiàn)在時(shí)間步長(zhǎng)大約為25萬(wàn)的時(shí)候開(kāi)始降低，這意味著缺口在該時(shí)刻開(kāi)始起裂，體系自由能得到釋放。對(duì)于y方向缺口尺寸不同的起裂樣品，起裂時(shí)間與曲線(xiàn)降低速率變化相一致。圖6為樣品B6在x方向的應(yīng)變10%作用下的裂口起裂擴(kuò)展演化圖。從圖6a～b中能看出，缺口沒(méi)有發(fā)生明顯的變化，圖6c中缺口出現(xiàn)明顯的細(xì)小裂縫，對(duì)應(yīng)圖4自由能曲線(xiàn)能量開(kāi)始降低的時(shí)刻，說(shuō)明缺口已經(jīng)開(kāi)始起裂，是由于起裂擴(kuò)展過(guò)程中釋放應(yīng)變能，導(dǎo)致自由能曲線(xiàn)降低。圖7顯示了樣品B1～B7在時(shí)間步長(zhǎng)40萬(wàn)步時(shí)的裂紋形貌，圖7a～c缺口隨著選取缺口參數(shù)的不同而有細(xì)微的變化，但無(wú)明顯起裂情況，符合圖4中自由能曲線(xiàn)1，2和3對(duì)應(yīng)的能量變化規(guī)律；圖7d～g這4個(gè)形貌圖中，裂紋的形貌基本一致，符合圖4中自由能曲線(xiàn)4，5，6和7對(duì)應(yīng)的能量變化規(guī)律。該結(jié)果與格里菲斯強(qiáng)度理論[19]基本一致，即裂紋擴(kuò)展的應(yīng)變大小與垂直應(yīng)變作用方向的缺口尺寸密切相關(guān)[20]。

由2.1，2.2的結(jié)果可推斷，在單x方向施加固定的應(yīng)變量作用下，裂紋擴(kuò)展主要是受初始缺口y方向尺寸變化的影響。只有y方向缺口尺寸達(dá)到臨界值，缺口才會(huì)起裂。

圖5　樣品Bi裂紋演化過(guò)程的體系自由能曲線(xiàn)Fig.5　Free energy curve of sample Bi

t表示時(shí)間步長(zhǎng)

t is time step size

圖6x方向應(yīng)變10%作用下樣品B6的裂紋擴(kuò)展演化

Fig.6The morphology evolution of crack propagation of sample B6under 10% of strain at x direction

圖7時(shí)間步長(zhǎng)40萬(wàn)步時(shí)樣品B1～B7的裂紋形貌

Fig.7The morphology of the sample B1～B7at the time step of 400 thousands

2.3缺口y方向臨界尺寸與起裂的關(guān)系

設(shè)置初始缺口y方向尺寸為14個(gè)格子，x方向尺寸分別取10，12，14，16，18，20，22個(gè)格子(如表1樣品Ci所示)，研究在單x方向施加固定的應(yīng)變量作用下，缺口x方向尺寸變化是否對(duì)樣品裂紋擴(kuò)展情況產(chǎn)生影響。圖8給出了不同x方向尺寸樣品裂紋演化的自由能曲線(xiàn)。從圖中可以觀察到，當(dāng)x方向尺寸取10個(gè)格子時(shí)，曲線(xiàn)是一條比較平滑的直線(xiàn)，這意味著整個(gè)樣品體系的能量幾乎沒(méi)有變化，裂紋沒(méi)有起裂；當(dāng)x方向尺寸取大于10個(gè)格子時(shí)，自由能曲線(xiàn)均有明顯的下滑過(guò)程，能量顯著降低，但曲線(xiàn)走向并不是在同一時(shí)刻開(kāi)始降低，這表明不同的x尺寸對(duì)應(yīng)的能量開(kāi)始降低的起始步長(zhǎng)不同。隨著缺口x方向尺寸增大，能量降低時(shí)間不斷延緩，缺口起裂時(shí)間不斷滯后。由此可知，當(dāng)缺口y方向尺寸達(dá)到裂紋擴(kuò)展臨界尺寸值時(shí)，x方向尺寸增加，會(huì)延緩缺口的起裂。

圖8樣品Ci裂紋演化過(guò)程的體系自由能曲線(xiàn)

Fig.8Free energy curve of evolution of crack propagation of sample Ci

從圖9中可以看出，當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)t達(dá)到15萬(wàn)步(圖9b)時(shí)，初始缺口還沒(méi)有出現(xiàn)明顯的擴(kuò)展，缺口邊緣已經(jīng)出現(xiàn)了原子層局部滑移。當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)t達(dá)到25萬(wàn)步(圖9c)時(shí)，缺口已經(jīng)出現(xiàn)了明顯的裂紋擴(kuò)展，并且隨著時(shí)間步長(zhǎng)的增加，裂紋擴(kuò)展越明顯。圖10顯示了樣品C1～C7在時(shí)間步長(zhǎng)40萬(wàn)步時(shí)的形貌，圖10a對(duì)應(yīng)圖8中的自由能曲線(xiàn)1，整個(gè)過(guò)程初始裂口沒(méi)有起裂；圖10b和圖10c中樣品的裂紋形態(tài)基本一致，分別對(duì)應(yīng)圖8中的自由能曲線(xiàn)2和3；圖10d～f中3個(gè)樣品的裂紋形態(tài)一致，但是不同于圖10b～c樣品裂紋擴(kuò)展情況，圖10d，10e和10f中的樣品分別對(duì)應(yīng)圖8中的自由能曲線(xiàn)4，5和6；圖10g裂紋擴(kuò)展情況落后于圖10其他已經(jīng)起裂樣品，與圖8中其對(duì)應(yīng)的自由能曲線(xiàn)7降低的拐點(diǎn)落后于其他自由能曲線(xiàn)的情況相符。由此可推斷，在施加單方向恒應(yīng)變及缺口y方向尺寸達(dá)到裂紋擴(kuò)展臨界尺寸值的條件下，x方向尺寸改變量較小時(shí)，裂紋并不起裂；當(dāng)增大到臨界值時(shí)，缺口開(kāi)始起裂并擴(kuò)展。

圖9單x方向10%應(yīng)變作用下樣品C6的裂紋擴(kuò)展演化

Fig.9The morphology evolution of crack propagation of sample C6under 10% of strain in uniaxial x direction

圖10時(shí)間步長(zhǎng)為40萬(wàn)步時(shí)樣品C1～C7的形貌

Fig.10The morphology of the sample C1～C7at the time step of 400 thousands

3　結(jié)論

在沿x方向施加恒定10%應(yīng)變量條件下，缺口y方向尺寸遠(yuǎn)小于臨界值時(shí)，改變?nèi)笨趚方向尺寸并使其增大，缺口不起裂；固定缺口x方向尺寸，改變?nèi)笨趛方向尺寸并使其增大，當(dāng)缺口y方向尺寸增大到臨界值時(shí)，開(kāi)始起裂并擴(kuò)展；當(dāng)缺口y方向尺寸接近臨界值時(shí)，則改變?nèi)笨趚方向尺寸時(shí)，當(dāng)x方向尺寸較小時(shí)，裂紋并不起裂，隨著x增大，當(dāng)達(dá)到x尺寸臨界值時(shí)，缺口開(kāi)始起裂并擴(kuò)展。表明在施加恒應(yīng)變作用下，缺口起裂與應(yīng)力作用方向垂直的缺口尺寸密切相關(guān)，只有與應(yīng)變作用方向垂直的尺寸達(dá)到臨界值，缺口才會(huì)發(fā)生起裂。

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(責(zé)任編輯：陸雁)

Phase-field-crystal Simulation of Critical Conditions for the Crack Initiation of Nanoscale Notch

WEN Zhenchuan，NING Suiting，ZHANG Rui，GAO Yingjun

Key words：phase-field-crystal model，critical notch size，notch initiation

Abstract：【Objective】To study the effect of initial crack size on crack initiation.【Methods】The dynamic of process crack propagation under the uni-axial tension deformation in single crystals is simulated by the phase-field-crystal (PFC) model.The free energy is used to analyze the influence of different initial crack size on the crack initiation in the process of crack initiation and crack propagation.【Results】When the initial crack of y direction size is smaller,there is no initiation of crack under the uniaxial tension in the x axis,although the notch size in x direction changes.when the y direction size reaches a certain value,the initial cracks will expand.The time of crack initiation is delayed with the increase of x direction size.When the initial crack of x direction size changes less,there is no initiation of crack,and the initial cracks will expand when the x direction size reaches a certain value.【Conclusion】The initiation of crack is closely related to the crack size of vertical stress direction.The crack extension occurs,if only the size of notch reaches a certain value.

收稿日期：2016-07-25

作者簡(jiǎn)介：溫振川(1991-)，男，碩士研究生，主要從事納米材料設(shè)計(jì)與模擬實(shí)驗(yàn)研究。 **通信作者：高英俊(1962-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事材料納微結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與模擬實(shí)驗(yàn)研究，E-mail:gaoyj@gxu.edu.cn。

中圖分類(lèi)號(hào)：TG111

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1005-9164(2016)05-0448-06

*國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51161003，50661001)，廣西自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(2012GXNSFDA053001)和廣西大學(xué)大創(chuàng)項(xiàng)目(201610593220，201610593218)資助。

廣西科學(xué)Guangxi Sciences 2016,23(5):448～453

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先數(shù)字出版時(shí)間：2016-11-21【DOI】10.13656/j.cnki.gxkx.20161121.014

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先數(shù)字出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/45.1206.G3.20161121.1546.028.html