無失效數(shù)據(jù)下的樁基承載力可靠度研究

摘 要：文章主要針對(duì)樁基靜載試驗(yàn)中無失效數(shù)據(jù)的情況，對(duì)樁基承載力可靠度進(jìn)行計(jì)算分析。以貝葉斯方法為基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)換無失效數(shù)據(jù)指數(shù)模型中的時(shí)間參數(shù)為荷載參數(shù)，運(yùn)用于樁基承載力可靠度的計(jì)算中，并得出無失效數(shù)據(jù)情況下樁基承載力的可靠度函數(shù)。計(jì)算得到的單樁承載力可靠度與實(shí)際情況相符，無失效數(shù)據(jù)可靠度模型能較好的使用在樁基承載力可靠度計(jì)算分析中，并通過工程實(shí)例分析，證明了文章方法的合理性。

關(guān)鍵詞：貝葉斯；樁基承載力；無失效數(shù)據(jù)；可靠度

引言

可靠度理論在很多行業(yè)中得到了應(yīng)用并發(fā)揮著不可替代的作用。近幾年來，關(guān)于樁基承載力可靠度的研究主要是利用大量現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行的。Zhang（2004）[1]利用基樁的現(xiàn)場(chǎng)靜載荷試驗(yàn)數(shù)據(jù)和概率方法研究了試驗(yàn)結(jié)果對(duì)可靠度指標(biāo)的影響，并提出了一種新的基樁承載力評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。Kwak（2010）[2]對(duì)樁承載力數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，并利用貝葉斯統(tǒng)計(jì)將分類后的數(shù)據(jù)進(jìn)行更新，利用更新后的數(shù)據(jù)研究了承載力的指標(biāo)，同時(shí)，給出了承載力的目標(biāo)可靠度。國內(nèi)從20世紀(jì)80年代中期開始，對(duì)樁基可靠性方面的研究日漸增多，傅旭東（1997）等[6]根據(jù)鉆孔灌注樁的承載力資料和可靠度理論系統(tǒng)地研究了灌注樁的可靠度，并給出了具有工程意義的結(jié)論。趙新銘（2008）等[3]收集了南京江北灌注樁承載力的試樁資料，采用“校準(zhǔn)法”分析了PHC樁承載力的可靠度。鄧志勇（2003）等[4]采用無量綱隨機(jī)變量的極限狀態(tài)方程，結(jié)合天津市鉆孔灌注樁試樁資料進(jìn)行了可靠度分析，采用JC法和Monte Carlo法進(jìn)行可靠度指標(biāo)的計(jì)算，并對(duì)影響可靠度指標(biāo)的各因素進(jìn)行了分析，并計(jì)算了單樁承載力的抗力分項(xiàng)系數(shù)。

但是在樁基工程中，因?yàn)楣こ痰奶厥庑裕O(shè)計(jì)方給出的安全系數(shù)較高，現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)樁加載很難達(dá)到極限值，很少有失效情況發(fā)生，并且按《JGJ106-2015建筑樁基檢測(cè)技術(shù)規(guī)范》樁基檢測(cè)試樁數(shù)最少不宜少于總樁數(shù)的1%且不少于3根，試樁成本也較高，一般工程中樁基檢測(cè)樣本占總體的比值非常小，所以更難得到破壞或者失效的樁基試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)。

文章針對(duì)無失效的樁基試驗(yàn)數(shù)據(jù)，考慮樁基試驗(yàn)中無樁基失效或者破壞的情況，對(duì)靜載試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，通過Bayes理論構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，對(duì)樁基靜載試驗(yàn)中無失效數(shù)據(jù)情況，從理論上建立樁基承載力無失效數(shù)據(jù)可靠度計(jì)算模型，并用工程實(shí)例證明該方法的合理性。

1 模型的建立

對(duì)產(chǎn)品壽命的可靠性檢驗(yàn)分析一般采用定時(shí)截尾試驗(yàn)方法，即到達(dá)預(yù)先規(guī)定的時(shí)間如果樣品還沒有失效便停止試驗(yàn)?；蛘呤嵌〝?shù)截尾試驗(yàn)方法，即失效樣本達(dá)到規(guī)定的數(shù)量便停止試驗(yàn)。但樁基靜載檢測(cè)中，試驗(yàn)樁數(shù)量本身就較少而且很難加載到失效或者破壞定數(shù)截尾并不適合來衡量小樣本的樁基承載力可靠度，而加載的時(shí)間相對(duì)于使用壽命幾乎可以忽略不計(jì)，定時(shí)截尾試驗(yàn)方法并不可行。而對(duì)于樁基承載力的研究文章將時(shí)間參數(shù)轉(zhuǎn)化為荷載參數(shù)，那么定時(shí)截尾模型便可以較好的使用在樁基承載力可靠度計(jì)算中了。在樁基豎向靜載試驗(yàn)中，以單樁承載力設(shè)計(jì)值的2倍作為樁基靜載試驗(yàn)截尾荷載，檢測(cè)中，會(huì)出現(xiàn)所有試樣無一失效或者破壞的情況，這時(shí)我們得到的是“無失效數(shù)據(jù)”。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，高可靠度性產(chǎn)品迅速發(fā)展，樁基工程就是屬于這樣的一個(gè)高可靠性的產(chǎn)品，加上容量小、試驗(yàn)時(shí)間不允許長、試驗(yàn)加載程度不高等原因，無失效數(shù)據(jù)越來越頻繁的出現(xiàn)。因此，尋求在無失效數(shù)據(jù)條件下進(jìn)行科學(xué)、有效的可靠性分析方法，已經(jīng)成為可靠性分析的一個(gè)新的十分重要的領(lǐng)域。

在樁基靜載試驗(yàn)中，會(huì)遇到“無失效數(shù)據(jù)”（在規(guī)定的截尾荷載內(nèi)沒有產(chǎn)品失效）。那么對(duì)于樁基靜載試驗(yàn)，無失效問題的提法為：定載截尾的“無失效數(shù)據(jù)”。

在定載截尾試驗(yàn)中，設(shè)產(chǎn)品可承受荷載p的分布函數(shù)為F（p，？茲），？茲∈？專為未知均值參數(shù)，？專為參數(shù)空間，截尾荷載分別為p1，p2，…，pk且滿足p1

在趙春風(fēng)等人的研究中樁基靜載荷P-S曲線能用完整指數(shù)函數(shù)進(jìn)行較好的擬合[5]，當(dāng)樁基載荷在逐漸增大的過程中，樁基的沉降并不是線性增加的，那么樁基失效的概率也不是線性增加的，而是成指數(shù)增加的。故文章用選取指數(shù)分布對(duì)樁基可靠度進(jìn)行分析。

假設(shè)樁基靜載試驗(yàn)失效概率服從單參數(shù)指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：

所以分布函數(shù)為：

（1）

式中？姿為參數(shù)，p為載荷值。那么樁基的可靠性函數(shù)：

R（p）=exp（-？姿p） （2）

現(xiàn)在對(duì)n個(gè)樁基進(jìn)行靜載試驗(yàn)，將樁基靜載試驗(yàn)結(jié)果分成k組，第i組的樁基數(shù)量為ni，i=1，2，…，k且■ni=n。

設(shè)各組試驗(yàn)都從荷載為0開始，第i組試驗(yàn)的極限荷載為pi，pmi

在這里我們樁基進(jìn)行分類，樁基靜載試驗(yàn)中結(jié)尾荷載大于pi的樁基數(shù)量記作Si，

有Si=■ni，j=1，2，…k

因?yàn)檎麄€(gè)過程中與結(jié)果中，沒有任何樁基樣本失效，所以從pi荷載開始，還有Si個(gè)樁基沒有達(dá)到極限荷載值，換句話說，可以認(rèn)為有Si根樁基的極限荷載值大于pi，i=1，2，…k。

（1）p=0時(shí)，樁基失效概率為0，即F（0）=P（p？燮0）=0。

（2）令gi=P（p？燮pi）=F（pi），因?yàn)?，p1

記：Ri=1-gi=1-F（pi），i=1，2，…k

2 參數(shù)估計(jì)

為了更好利用先驗(yàn)分布和指數(shù)分布的無記憶性，我們假設(shè)截尾荷載是等間隔的，即

p2-p1=p3-p2=…=pk-pk-1=p

2.1 R1的估計(jì)

在有n個(gè)樣本樁基參加的定載截尾試驗(yàn)中，如果設(shè)有r根樁基在截尾荷載？滓之前失效，其余n-r根樁基在？滓之前未失效，記？滓r，？滓r+1為第r個(gè)和r+1個(gè)失效樁基的失效荷載，則？滓r？燮？滓r+1，F(xiàn)（？滓r）？燮F（？滓）？燮F（？滓r+1），此時(shí)F（？滓r）及F（？滓r+1）看作來自[0，1]上均勻分布的統(tǒng)計(jì)量，利用數(shù)學(xué)期望可得F（？滓r）和F（？滓r+1）的無偏估計(jì)分別為[12]

■（？滓r）=■，■（？滓r+1）=■

而對(duì)于F（？滓）的估計(jì)，我們一般取■（？滓r）=■

在無失效數(shù)據(jù)場(chǎng)合中，因?yàn)楹奢dp1時(shí)，S1根樁基均未發(fā)生失效，即r1=0，所以可得到g1的估計(jì)值

■1=■

由此得■1=1-■1=■ （3）

2.2 Rj的估計(jì)j=2，3…k

因?yàn)镕（p）是關(guān)于p的嚴(yán)格上凸函數(shù)，及前面假設(shè)1）F（0）=0，可得

即■>■，又由假設(shè)2） g1

我們?nèi)i的先驗(yàn)分布的核為（1-gi）2[10]，則Rj（j=2，3…k）的先驗(yàn)分布為：

式中

那么在平方損失下的Rj的Bayes估計(jì)為：

j=2，3，…k（4）

其中R=1-g'2，■1=1-■1。

3 可靠性指標(biāo)的估計(jì)

由（2）式有

又可以表示為-lnRi=？姿pi，i=1，2，…k

用■i代替Ri產(chǎn)生誤差？著i，則將上式改寫為

-lnRi=？姿pi+？著i，i=1，2，…k，

令yi=-ln■i（5）

則yi=？姿pi+？著i

利用最小二乘法估計(jì)，使得SS=■（yi-■i）2=■（yi-？姿pi）2的值達(dá)到最小，則易得？姿的最小二乘估計(jì)為：

（6）

進(jìn)而可得到任意荷載為p時(shí)的可靠度估計(jì)為：

■（p）=exp（-■p） （7）

4 算例

湖南某公司職工宿舍基礎(chǔ)采用洛陽產(chǎn)灌注樁。該工樁基，樁徑為350mm，單樁設(shè)計(jì)承載力為210kN，設(shè)計(jì)混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C20。于2005年5月對(duì)該工地基礎(chǔ)樁進(jìn)行了單樁豎向抗壓靜載試驗(yàn)。抽檢樁號(hào)為2#、11#、35#、133#、286#樁，共抽檢五個(gè)樁。

表1 試驗(yàn)樁承載力極限值

此時(shí)全部樣本數(shù)據(jù)如表2，表2中同時(shí)給出pi2的值。

表2 試驗(yàn)參數(shù)

利用上述討論，循環(huán)帶入（3）、（4）式，得到■i的估計(jì)值，再帶入（5）式，計(jì)算出yipi。

再由（6）式，得出■的估計(jì)值，■=-0.000115284。

帶入（7）得出樁基在設(shè)計(jì)值210kn時(shí)的可靠度

■（210）=0.9761>0.95。

5 結(jié)束語

（1）文章通過利用無失效數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)模型，對(duì)靜載試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，得到樁基承載力可靠度函數(shù)，從而得到單樁承載力設(shè)計(jì)值時(shí)的樁基承載力的可靠度，發(fā)現(xiàn)與實(shí)際情況相符。

（2）樁基承載力無失效數(shù)據(jù)指數(shù)模型，能夠很好的處理無失效情況下的特殊數(shù)據(jù)，為樁基可靠度的研究與應(yīng)用提供了一種不錯(cuò)的計(jì)算方法。

（3）文章中所建立的數(shù)學(xué)模型中并沒有考慮樣本空間極少的情況，由于樁基工程中，有時(shí)會(huì)因?yàn)闃颖具^少而使得文章計(jì)算方法較難得出誤差較小的值，此時(shí)，可采取自選法構(gòu)造較大的樣本空間進(jìn)行計(jì)算分析，也可采用修正R1的方式得出更為接近真值的結(jié)果。

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