基于COMSOL Multiphysics的有限元仿真模擬在《理論聲學(xué)》教學(xué)中的應(yīng)用：缺陷態(tài)的分析

摘 要：文章探討了計(jì)算機(jī)仿真模擬在《理論聲學(xué)》教學(xué)中的應(yīng)用。以缺陷態(tài)的分析為例，基于COMSOL Multiphysics有限元軟件的仿真模擬，我們提出了色散計(jì)算與本征模態(tài)分析相結(jié)合的教學(xué)模式。這種基于仿真模擬的教學(xué)模式有利于抽象概念的形象化，具有較好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：計(jì)算機(jī)仿真教學(xué)；多物理有限元模擬；缺陷態(tài)

1 概述

聲子晶體是物理類專業(yè)研究生課程《理論聲學(xué)》中非常重要的一塊教學(xué)內(nèi)容。在聲子晶體中引入缺陷將導(dǎo)致缺陷態(tài)、波導(dǎo)態(tài)以及界面態(tài)等本征模態(tài)的出現(xiàn)。如何有效計(jì)算缺陷聲子晶體的色散關(guān)系并對這些模態(tài)進(jìn)行本征分析是教學(xué)中的一大難點(diǎn)。比如，學(xué)生通常很難從一般的色散計(jì)算結(jié)果中有效地區(qū)分波導(dǎo)態(tài)以及界面態(tài)。文章提出在教學(xué)中引入計(jì)算機(jī)仿真模擬[1-3]，利用基于COMSOL Multiphysics軟件的有限元方法數(shù)值計(jì)算缺陷聲子晶體的色散關(guān)系。在這種全矢量的色散計(jì)算方式中，學(xué)生能很方便的調(diào)取所有模態(tài)的本征信息，從而能全面而精準(zhǔn)地掌握缺陷聲子晶體豐富多彩的色散性質(zhì)，具有較好的教學(xué)效果。

2 有限元仿真教學(xué)模式的設(shè)計(jì)

以鐵柱四方排列在空氣中形成的二維聲子晶體為例。聲子晶體的填充率被設(shè)定為0.577。通過在晶體中沿著X方向移除一排鐵柱，從而引入一條沿X方向的線缺陷。利用基于COMSOL Multiphysics軟件的有限元方法，我們數(shù)值計(jì)算了該缺陷聲子晶體結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系。

圖1給出了計(jì)算所得歸一化頻率介于0到1之間的帶結(jié)構(gòu)，其中陰影部分代表沒有缺陷的完美聲子晶體的X方向投影帶結(jié)構(gòu)。此處我們采用的是超胞算法，圖1中右下插圖給出了計(jì)算中所用的超胞結(jié)構(gòu)示意圖；在求解過程中選取的邊界條件為Floquet periodicity邊界條件。

計(jì)算中所用材料參數(shù)為：

鐵的密度=7.67×103kg/m3

縱波波速Cl=6.01×103m/s

橫波波速Ct=3.32×103m/s

空氣的密度=1.29×10-3kg/m3

縱波波速C=0.34×103m/s

從圖1中我們可以很清晰的看到，在聲子晶體的完全帶隙中（頻率大約介于0.4和0.7之間）出現(xiàn)了三條導(dǎo)帶，分別被標(biāo)記為帶1、帶2以及帶3。很明顯，這三條位導(dǎo)帶位于完整聲子晶體的帶隙頻率范圍內(nèi)，其產(chǎn)生的機(jī)理一定與晶體中線缺陷結(jié)構(gòu)的引入有關(guān)。根據(jù)作者多年教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，大多數(shù)學(xué)生此時(shí)很容易先入為主地做出判斷，認(rèn)為帶1、帶2以及帶3均為由缺陷引入的波導(dǎo)態(tài)。事實(shí)上，在這三條帶中，帶2和帶3是波導(dǎo)態(tài)，而帶1則是與缺陷結(jié)構(gòu)引入的表面所對應(yīng)的表面態(tài)。在傳統(tǒng)的教學(xué)中，聲子晶體的帶結(jié)構(gòu)通常由多重散射或者時(shí)域有限差分法計(jì)算得出，而這兩種方法一般很難在最終計(jì)算結(jié)果中保留所有模式的本征信息，于是進(jìn)一步向?qū)W生分析這三條導(dǎo)帶的本征性質(zhì)變得比較困難。

文章中圖1的色散關(guān)系由基于COMSOL Multiphysics軟件的有限元方法，這款軟件在計(jì)算中保留了所有模式的本征信息并且能夠非常方面的調(diào)出分析，從而進(jìn)一步確定每種模式對應(yīng)的物理圖像。

在此我們提出如下教學(xué)思路：首先，通過計(jì)算具有不同缺陷尺寸聲子晶體帶結(jié)構(gòu)的方式向?qū)W生展示圖1中帶1、帶2以及帶3隨缺陷尺寸的變化趨勢，所計(jì)算結(jié)果由圖2（a）表示。

圖2（a）中不同形狀的數(shù)據(jù)點(diǎn)代表具有不同缺陷尺寸的聲子晶體結(jié)構(gòu)，從該圖可以看出，隨著缺陷尺寸的改變，帶2和帶3的位置變化非常明顯，而帶1的位置幾乎不變。

這說明帶2和帶3與缺陷性質(zhì)密切相關(guān)（由此我們推斷帶2和帶3是線缺陷中的波導(dǎo)態(tài)），但帶1和缺陷的關(guān)系并不大；其次，通過在圖1中引入水線（此處即為空氣中的聲速線，由圖中直線表示）不難發(fā)現(xiàn)，帶1始終位于體系水線以外，這說明帶1中的模式在空氣中始終是衰逝的，考慮到這些模式同時(shí)也在晶體內(nèi)衰逝（因?yàn)閹?位于晶體的帶隙范圍內(nèi)），我們不難推斷出帶1其實(shí)是與缺陷兩側(cè)晶體表面所對應(yīng)的表面態(tài)。

根據(jù)作者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通常分析到這一步時(shí)，學(xué)生已經(jīng)對這三條導(dǎo)帶的性質(zhì)有了一個(gè)較為清楚的認(rèn)識(shí)；接著，我們調(diào)出COMSOL Multiphysics中保存的本征模式形態(tài)以便于學(xué)生對以上分析結(jié)果形成感性認(rèn)識(shí)。

圖2（b）和（c）分別給出了帶3和帶2上任意一點(diǎn)在缺陷中的本征聲壓分布，至此我們不難看出，帶3和帶2分別對應(yīng)著波導(dǎo)模式中的對稱以及反對稱模式[4]；最后，為了進(jìn)一步形象化以上討論結(jié)果，我們從帶1、帶2以及帶3中各自選取一個(gè)頻率，將工作在這三個(gè)頻率下的點(diǎn)源分別放置在由圖3（a）、（b）、（c）所示的體系中，我們利用COMSOL Multiphysics仿真模擬了這些體系在點(diǎn)源激勵(lì)下的聲壓場圖。

圖3（a）給出的是帶1中的一個(gè)模式被點(diǎn)源激發(fā)出的表面波，圖中點(diǎn)源被放置在晶體上表面的中央位置，我們可以看到帶1上的模式只能沿著晶體表面?zhèn)鞑?，在垂直晶體表面方向聲場能量迅速衰減，表現(xiàn)出很明顯的表面波形態(tài)[5，6]。

圖3（b）給出的是帶2中一個(gè)模式被點(diǎn)源激勵(lì)的情形，圖中點(diǎn)源被放置在波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的左端口，由于帶2對應(yīng)的是反對稱模式無法被外部點(diǎn)源激發(fā)，我們看到波導(dǎo)內(nèi)部幾乎沒有激發(fā)出任何波動(dòng)。

圖3（c）給出的是帶3中一個(gè)模式被點(diǎn)源激勵(lì)的情形，同樣圖中點(diǎn)源被放置在波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的左端口，由于帶3對應(yīng)的是對稱模式可以被外部點(diǎn)源很好的激發(fā)，我們看到波導(dǎo)內(nèi)部激發(fā)產(chǎn)生了非常好的傳播模式。

以上的數(shù)值模擬聲場分布和我們前面的分析完全吻合，能夠使學(xué)生對本節(jié)教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生非常形象的認(rèn)識(shí)，從而加深他們對聲子晶體缺陷態(tài)這一知識(shí)難點(diǎn)的理解和掌握。

3 結(jié)束語

計(jì)算機(jī)仿真教學(xué)是一項(xiàng)面向未來的現(xiàn)代化教學(xué)方式，在培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的興趣方面起著非常重要的作用。文章基于COMSOL Multiphysics有限元物理仿真軟件，以《理論聲學(xué)》課程中聲子晶體缺陷態(tài)這一教學(xué)難點(diǎn)為例，探討了仿真模擬教學(xué)在缺陷態(tài)色散關(guān)系計(jì)算以及本征態(tài)模式分析等方面的應(yīng)用。通過將原本難于理解的概念化為仿真結(jié)果生動(dòng)形象的展現(xiàn)，得到了較好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

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[6]H. Jia， M. Ke， Z. J. He， S. S. Peng， G. Q. Liu， X. F. Mei， and Z.Liu， Experimental demonstration of surface acoustic waves in two-dimensional phononic crystals with fluid background， J. Appl. Phys，2009，106.

作者簡介：鄧科（1978-），男，湖南湘潭人，博士，副教授，從事凝聚態(tài)物理研究工作。