基于時域有限差分法的廣義傳輸矩陣的研究

蔣祺　朱燦萍　田學哲　肖高標上海交通大學電子信息與電氣工程學院

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基于時域有限差分法的廣義傳輸矩陣的研究

蔣祺朱燦萍田學哲肖高標
上海交通大學電子信息與電氣工程學院

摘要：文章研究了基于時域有限差分法的時域廣義傳輸矩陣方法，時域廣義傳輸矩陣在包含散射體的惠更斯等效面上計算和提取，通過時域積分方程和時域有限差分法的混合應用計算得出。本文同樣給出了一個在等效面上RWG基函數(shù)和FDTD網(wǎng)格上的變換算法?；跁r域有限差分法的時域廣義傳輸矩陣方法比基于時域步進法（MOT）和積分方程的廣義傳輸矩陣方法更加穩(wěn)定。

關鍵字：時域廣義傳輸矩陣 時域積分方程 時域有限差分法 惠更斯等效面 散射場

隨著電子技術的發(fā)展，計算電磁學已經(jīng)發(fā)展出多種新型的算法解決實際中的電磁散射問題。時域積分方程能夠高效地計算瞬態(tài)響應和大尺寸復雜問題的散射場，時域積分方程與廣義傳輸矩陣的結合使計算更加高效，這只能在等效面上提取和計算。另外一種更廣泛使用和發(fā)展的時域算法是時域有限差分法，和時域步進法［5］不同的是時域有限差分法是基于對麥克斯韋方程的時間和空間微分的迭代方程組，使用時域有限差分法可以準確計算內部的電磁場關系這是積分方程不可能得到的，而這也是本文利用時域有限差分法進行廣義傳輸矩陣應用 研究的關鍵。時域有限差分法與時域廣義傳輸矩陣的結合將使時域有限差分法計算更加高效簡便，應用更加廣泛，在保證計算精度的同時減少了時域有限差分法計算大尺度復雜問題的時間消耗。本文將時域廣義傳輸矩陣建立在時域有限差分法的網(wǎng)格邊界面，以邊界面作為惠更斯等效面，通過等效面建立了輸入電磁場切向分量與輸出散射電磁場系數(shù)的關系。時域廣義傳輸矩陣通過輸入輸出等效面切向電磁場的基函數(shù)系數(shù)之間的關系得到。等效面電磁流通過時域基函數(shù)和空間RWG基函數(shù)展開得到電磁流表面系數(shù)。時域廣義傳輸矩陣原理在第一部分給出，數(shù)值計算在第二部分給出，最后給出了結論以及總結。

1　時域廣義傳輸矩陣原理

時域廣義傳輸矩陣最初提出是應用在頻域算法上建立在惠更斯等效面上表示輸入和輸出等效面電磁流展開系數(shù)卷積關系的一種矩陣。通過對傳輸矩陣的計算和提取，可以得到內部散射體的散射系數(shù)關系，當我們再次需要計算類似結構目標物體時，只需要運用傳輸矩陣就可以得出內部散射關系，這在一定程度上簡化了計算和CPU消耗，提高計算效率。提取廣義傳輸矩陣首先要考慮建立一個介質體模型。

內部區(qū)域代表的是介質體，F(xiàn)DTD區(qū)域表示是由時域有限差分法計算的區(qū)域，惠更斯等效面 建立在FDTD的網(wǎng)格邊界上，在惠更斯等效面外部表示的是一個散射場區(qū)域，最外層加入PML吸收邊界條件。

源與輻射區(qū)域的距離，代表的是介質的導磁率和介電常數(shù)，根據(jù)計算區(qū)域介質參數(shù)的不同而不同。這里需要注意的是當我們計算的區(qū)域與單位法向量的方向不一致時，方程前面需要加一個負號。通過上式就得到介質體區(qū)域的FDTD網(wǎng)格的每個網(wǎng)格點的輸入電磁場數(shù)值，然后通過FDTD的散射差分方程組迭代就可以得到計算空間散射場的數(shù)值，同樣可以得到等效面上散射電磁場的數(shù)值。得到邊界面上的散射場數(shù)值如果要建立起輸入系數(shù)和輸出系數(shù)的矩陣關系，則需要將FDTD邊界面上電磁流用RWG基函數(shù)展開求得展開系數(shù)矩陣。

在FDTD邊界面上采用的直角型RWG 基函數(shù)與FDTD網(wǎng)格的位置關系，將正方形網(wǎng)格分 成兩個直角三角形基函數(shù)的構建方式有利于基函數(shù)的展開以及RWG內部電磁流函數(shù)值的差值計算。由于FDTD的計算元胞特殊的位置關系使其自然滿足電磁場空間的位置關系，并且在時間上也滿足迭代關系，但是在邊界面上的切向電磁場的插值計算中卻需要特殊處理，一般我們認為FDTD網(wǎng)格上代表的是電場值，而根據(jù)FDTD網(wǎng)格的位置關系可以知道磁場值并不在邊界面上，這時就需要通過計算相鄰兩個磁場邊界面的差值得到邊界面上切向磁 場的數(shù)值，因為有限差分法方程在計算過程中電場和磁場是相差半個時間步長的，所以還要在時間步長有一個插值計算，換算到同一時間步上。

利用輸入沖擊函數(shù)得到的輸出散射場數(shù)值展開系數(shù)就是廣義傳輸矩陣的元素。廣義傳輸矩陣可以直接用到類似線性結構的激勵系統(tǒng)的散射場系數(shù)計算。

2　數(shù)值計算結果

2.1模型建立

為了驗證廣義傳輸矩陣的正確性，本文計算了一個立方體介質體，內部介質體相對介電常數(shù)為4.0，磁導率也為4.0，其中FDTD網(wǎng)格的尺寸為0.05m，內部介質網(wǎng)格為3X3X3的立方體區(qū)域，惠更斯等效面包裹區(qū)域為5X5X5的區(qū)域，惠更斯等效面與外部PML邊界距離為5個網(wǎng)格尺寸， 輸入電磁場方向為z軸方向，極化角為0度。計算立方介質體的遠區(qū)RCS作為對比。時間基函數(shù)采用的是三角基函數(shù)，空間基函數(shù)采用的是直角RWG 三 角基函數(shù)。

2.2結果分析

惠更斯等效面上等效面電流產(chǎn)生內部入射場與直接入射場的數(shù)值結果，而散射介質的遠區(qū)RCS與FEKO仿真計算結果對比。計算結果基本吻合，從而驗證了由Huygens等效面源計算的入射場的正確性，證明了利用FDTD算法提取的時域廣義傳輸矩陣的準確性和時域廣義傳輸矩陣方法的正確性。

3　結論

本文通過將時域有限差分法用于提取模塊的時域廣義傳輸矩陣，成功將傳輸矩陣與時域有限差分法進行了結合并且驗證了結果的正確性。采用 FDTD算法提取的廣義傳輸矩陣避免了內諧振的影響，提高了算法的穩(wěn)定性、計算效率并拓展了廣義傳輸矩陣的應用范圍。

參考文獻

［1］S.M.Rao and D.R.Wilton，” Transient scattering by conducting surfaces of arbitrary shape，” IEEE Trans. Antennas Propag.，vol.39，no.1，pp.56-61，1991.

［2］T.K.Sarkar，W.Lee，andS.M.Rao，”Analysis of transient scattering from composite arbitrarily shaped complex structures，” IEEE Trans. Antennas Propag.，vol.48，pp.1625-1634，2000.

［3］G. Xiao， J. Mao， and B. Yuan， “A generalized surface integral equation formulation for analysis of complex electromagnetic systems，” IEEE Trans. Antennas Propag.， vol. 57， no. 3， pp. 701-710， Mar.2009.

［4］S. Xiang， G. B. Xiao， X. Z. Tian， and J. F. Mao， “Analysis of large-scale phased antenna array Transaction On Antenna and Propagation， Vol. 61， 1622-1622， Apr. 2013.