不動點定理在微分方程中的應用

譚東杰

【摘 要】文章在論述不動點定理這一結(jié)論的基礎(chǔ)之上，著重研究了運用Banach壓縮映射的原理去證明Picard以及Schauder不動點兩個定理，同時再進一步證明Peano解的存在性，繼而再運用Banach壓縮映射原理與Schauder定理一起綜合去研究不動點定理在微分方程內(nèi)的應用方法。

【關(guān)鍵詞】不動點定理;Banach壓縮映射原理;微分方程

引言

不動點定理在泛函分析中是一個非常重要的部分，在數(shù)學中能夠用到很多不同類型的不動點定理，它們在自然科學研究中的應用十分的廣泛。文獻[1]內(nèi)作者通過Picard的逐次迭代法去證明微分方程中初值解及其唯一性的定理;文獻[2]內(nèi)作者通過Schauder不動點定理以及不等式去證明積分方程的解及其唯一性;文獻[3]內(nèi)運用Banach不動點定理去簡化Picard定理的證明過程，同時通過Leray?—Schauder不動點定理去說明不動點定理在微分方程的運用;文獻[7]通過分析方法去討論Banach壓縮映像原理以及Schauder不動點定理二者在Picard解的唯一性以及Peano解的存在性定理在進行證明時的運用。

1不動點定理結(jié)論

所謂的不動點，其實是個函數(shù)的術(shù)語，其在數(shù)學里主要指被該函數(shù)映射到自身一個點。我們定義1為T：（X，ρ）（X，ρ）是一壓縮映射，若是有0<α<1會使ρ（Tx，Ty）≤αρ（x，y），（?x，y∈X）.

定理1.1：壓縮映射原理，假設(shè)X為某一完善的度量空間，映射?：Χ→Χ 將每兩個點之間的距離壓縮λ倍，也就是d（?（x），?（y））≤λd（x，y），該處的λ為小于1的常數(shù)，則?肯定有且只有一個不動點，同時從Χ的任一點x0出發(fā)做出序列x1=f（x0），x2=f（x1），…，xn=f（xn-1），…，那么該序列必然會收斂到該不動點。此定理為證明很多種方程解的存在性以及惟一性、迭代解法的基礎(chǔ)原理。

定理1.2：布勞威爾不動點定理：假設(shè)Χ為歐氏空間里的一個緊凸集，則Χ至自己的每一連續(xù)映射都會存在最少一個的不動點。運用該定理能夠證明代數(shù)的基本原理，即復系數(shù)的代數(shù)方程必然會存在復數(shù)解。將布勞威爾定理內(nèi)的歐氏空間變?yōu)榘湍煤湛臻g，即為紹德爾不動點定理，這一定理通常在偏微分方程理論中。以上的定理都能從單值的映射擴展至集值映射，在微分方程理論以外還經(jīng)常在對策論以及數(shù)理經(jīng)濟學的研究中應用。

定理1.3：萊夫謝茨不動點定理，假設(shè)Χ為一個緊多面體，?：Χ→Χ為映射，則?不動點的代數(shù)數(shù)量等于?的萊夫謝茨數(shù)L（?），其為一很方便計算的同倫不變量。當L（?）≠0的時候，和?同倫的每一映射均最少存在一個不動點，該定理對布勞威爾定理的基礎(chǔ)上進行了發(fā)展。

定理1.4：假設(shè)為Banach空間X的一個非空緊凸集，T：M→M為一個連續(xù)映射，那么在中存在不動點。

2不動點定理的運用

這里主要研究的是2個原理，即 Banach壓縮映射原理以及Schauder不動點定理。

2.1對Banach壓縮映射原理的運用

針對一階微分方程內(nèi)的初值

（1）

有關(guān)其解的存在和唯一性，有以下Picard定理：

假設(shè)二元函數(shù)f（x，y）在矩形D={（x，y）||x-x0|≤a，|y-y0|≤b}中是連續(xù)的，同時y能夠滿足Lipschitz的條件，也就是有常數(shù)L>0，?（x，y），（x，y）∈D，有

那么問題（1）在區(qū)間中存在唯一的解，其中

證明：問題（1）等價于積分方程

（2）

令

那么為Banach空間的閉子空間，因此亦為完備的，同時映射所以， 為中的連續(xù)函數(shù)，也就是并且

因此另外，

由于因此T為重的壓縮映射。故而，根據(jù)壓縮映射原理，有唯一的使得也就是積分方程（2）存在唯一的解即為問題（1）在區(qū)間中存在唯一的解。

2.2 Schauder不動點定理的運用

主要是運用J Schauder在上世紀30年代給定的一個應用非常廣的不動點定理，也就是Schauder不動點定理去證明Peano解的存在性， 其一直到現(xiàn)在仍然為研究非線性微分方程的解的存在性的主要工具。首先看常微分方程：

（3）

其中f：G→Rn，G?R×Rn如果設(shè)定（τ，ξ）∈G，（τ∈R，ξ∈Rn）那么方程求一個函數(shù)Φ（t）可以滿足：

（4）

的問題可以叫做方程（3） 的Cauchy 問題， 而 Φ（ t ） 可以叫做Cauchy問題（4）的解。

定理3.1：Peano的解的存在性定理，假設(shè)函數(shù)f（x，t） 處于R×Rn內(nèi)的閉區(qū)域G：|t-τ|≤a， 中是連續(xù)的， 那么Cauchy初值在區(qū)間I：|t-τ|≤h中至少會有解的存在，而此處

證明：（6）等價于積分方程的求解。

使 F： 具體可表示為：

很容易看出F為連續(xù)映象，令，當x∈C[τ-h，τ+h]

≤Mh

又

<ε

F（c）相對比較緊，因此F為全連續(xù)映象，且F（ ） ，按照Schauder定理， F在 Ω存在不動點，也就是說Cauchy問題（4）有解。

看非線性積分方程 此為一特殊的Hammerstein積分方程， 接下來證明其存在連續(xù)的解。

證明：定義映像為：

任意取ε>0存在σ>0，當||x1-x2||<σ時，有|cos（λx1（s）-cos（λx2（s））|<ε

因此

<ε

故而F為連續(xù)的。同時， 當x∈C[0，1]，有

.

并且

<ε

根據(jù)Arzela- Asco li定理，F(xiàn)為全連續(xù)映象。如果讓，那么很明顯F（） 。根據(jù)Schauder不動點定理，F(xiàn)在 中存在不動點，也就是說積分方程有連續(xù)解。

四、結(jié)論

不動點定理不但可以在微分方程以及積分方程內(nèi)進行應用，還在代數(shù)方程解的存在以及唯一性證明中也起著發(fā)揮著非常重要的作用?？偠灾?，運用不動點原理去證明微分方程解的存在性十分簡便，非常巧妙。

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