強(qiáng)振動(dòng)環(huán)境下液壓管道主動(dòng)減振建模

潘文龍，張懷亮1,，彭 玲

(1.中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410083；2.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長沙 410083）

強(qiáng)振動(dòng)環(huán)境下液壓管道主動(dòng)減振建模

潘文龍2，張懷亮1,2，彭 玲2

(1.中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410083；2.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長沙 410083）

針對在強(qiáng)振動(dòng)環(huán)境下工作的液壓管道，建立振動(dòng)液壓管道梁模型，并結(jié)合管道流固耦合橫向振動(dòng)模型建立管道的主動(dòng)減振模型。運(yùn)用特征線和差分計(jì)算方法求解該數(shù)學(xué)模型，并且研究主動(dòng)振動(dòng)相位差、頻率、作用位置和幅值對管道振動(dòng)的影響規(guī)律，得到各減振參數(shù)對管道最大幅值和最大應(yīng)力的影響曲線。發(fā)現(xiàn)當(dāng)振動(dòng)相位差為π時(shí)能使管道的最大幅值和最大應(yīng)力分別降低44.55%和39.69%，并且適當(dāng)調(diào)整其他三個(gè)參數(shù)有更佳的減振效果。研究結(jié)果表明，使用主動(dòng)減振方法能夠有效減小管道的振動(dòng)，為管道主動(dòng)減振提供一定的理論參考。

振動(dòng)與波；主動(dòng)減振；特征線；流固耦合

液壓管道在工作過程中由于外部支撐的振動(dòng)與內(nèi)部流體的流固耦合雙重作用，會(huì)引起強(qiáng)烈振動(dòng)，從而導(dǎo)致管內(nèi)流體壓力和流量的波動(dòng)，波動(dòng)的流體會(huì)對液壓系統(tǒng)造成大的沖擊，影響下游工作元件的正常工作，同時(shí)管道的劇烈振動(dòng)會(huì)引起固定支撐的松動(dòng)、管道的疲勞破壞等，嚴(yán)重時(shí)可能導(dǎo)致管道的變形破壞，引起事故，造成重大損失[1-2]。因此，研究液壓管道的減振方法顯得尤為重要。

目前就減振方法來說可以分為被動(dòng)減振和主動(dòng)減振。被動(dòng)減振是利用隔振器件與被動(dòng)式液壓系統(tǒng)等被動(dòng)阻尼元件或裝置來消耗振動(dòng)能量，達(dá)到振動(dòng)抑制效果，裝置結(jié)構(gòu)一般比較簡單，但有較大的局限性，減振系統(tǒng)參數(shù)無法跟隨被控系統(tǒng)變化[3-4]。主動(dòng)減振是近些年發(fā)展起來的，而且在土木工程、航空航天、機(jī)械工程、車輛運(yùn)輸?shù)戎T多領(lǐng)域獲得了廣泛的重視，它正好能夠填充被動(dòng)減振的空白，有較強(qiáng)的適應(yīng)能力和發(fā)展空間。

主動(dòng)減振通過向系統(tǒng)施加外力抵消系統(tǒng)中的振動(dòng)，理論上可根據(jù)需要達(dá)到最佳的控制水平，其性能明顯優(yōu)于被動(dòng)減振方法。

近年來，國內(nèi)外有較多學(xué)者圍繞主動(dòng)減振問題進(jìn)行了一些研究，Maillard Julien等人通過在管道外壁采用環(huán)狀壓電換能器做成的激振器來減小管內(nèi)流體的振動(dòng)[5]。Brennan M J設(shè)計(jì)非嵌入式激振器和傳感器去主動(dòng)控制管道流體的波動(dòng)，實(shí)驗(yàn)表明該激振器能夠有效抑制流體波動(dòng)的傳遞[6]。焦宗夏等在液壓能源管路系統(tǒng)振動(dòng)主動(dòng)控制的理論研究中提出對飛機(jī)液壓能源管路系統(tǒng)進(jìn)行消振的方法，采用壓電陶瓷和參數(shù)尋優(yōu)控制策略，通過理論分析和仿真驗(yàn)證該方法有良好的消振效果[7-9]。李廣對風(fēng)洞試驗(yàn)中懸臂的振動(dòng)采用主動(dòng)減振方法進(jìn)行控制，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該主動(dòng)控制方法的有效性與可行性[10]。彭歡建立基礎(chǔ)振動(dòng)下液壓管道流固耦合模型，并對模型進(jìn)行數(shù)值求解和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，證明了模型的正確性[11]。

現(xiàn)有主動(dòng)減振的研究單獨(dú)考慮減振參數(shù)對減振效果影響的文獻(xiàn)并不多見，并且在研究主動(dòng)減振的過程中都沒有考慮基礎(chǔ)振動(dòng)對管道系統(tǒng)的影響。

針對橫向基礎(chǔ)振動(dòng)對液壓管道的影響，將液壓管道簡化為兩端固支輸流管道，對主動(dòng)減振參數(shù)進(jìn)行研究，以減小管道最大整體變形和應(yīng)力為目標(biāo)。

1 數(shù)學(xué)模型

與基礎(chǔ)振動(dòng)對管道應(yīng)力的影響相比，流體脈動(dòng)的作用要小得多，故不考慮流體脈動(dòng)對管道應(yīng)力的影響。為了減小管道的振動(dòng)，在管道兩個(gè)支撐之間外加一個(gè)振動(dòng)作用于管道上，減小管道的振動(dòng)。外加的振動(dòng)即為主動(dòng)減振，主動(dòng)減振通過向系統(tǒng)施加外力抵消系統(tǒng)中的振動(dòng)，理論上可根據(jù)需要達(dá)到最佳的控制水平。

彭歡建立了基礎(chǔ)振動(dòng)下管道流固耦合模型，通過改變管道的位移參數(shù)和邊界條件加入了基礎(chǔ)振動(dòng)[11]?？紤]主動(dòng)減振下的基礎(chǔ)振動(dòng)和流固耦合模型，先建立基礎(chǔ)振動(dòng)下管道的主動(dòng)減振連續(xù)振動(dòng)梁模型，在此基礎(chǔ)上再建立基礎(chǔ)振動(dòng)下流固耦合減振模型。

1.1 基礎(chǔ)振動(dòng)下管道主動(dòng)減振連續(xù)振動(dòng)梁模型的數(shù)學(xué)模型

液壓管道是通過多個(gè)支撐件固定在主梁上的，主梁上的振動(dòng)通過支撐件傳遞到液壓管道上，以管道某一段兩端固定支撐來說，可以將其看作一個(gè)連續(xù)振動(dòng)的梁模型[12-13]。

圖1所示為該連續(xù)振動(dòng)模型的簡化圖，A-B為一段液壓直管道，管道長為L。它在工作過程中會(huì)有強(qiáng)烈的振動(dòng)，這個(gè)振動(dòng)是通過支撐A、B傳遞給管道的，且假設(shè)支撐在外界橫向激勵(lì)作用下做簡諧運(yùn)動(dòng)，基礎(chǔ)振動(dòng)的表達(dá)式為

圖1 基礎(chǔ)振動(dòng)下管道主動(dòng)減振連續(xù)振動(dòng)梁模型

其中N為橫向基礎(chǔ)振動(dòng)幅值，ω1為基礎(chǔ)振動(dòng)頻率。

為了減小管道的振動(dòng)，在離A端距離為a的位置加主動(dòng)減振振動(dòng)，用以抵消管道中的振動(dòng)，主動(dòng)減振振動(dòng)的表達(dá)式為

其中F為主動(dòng)減振振動(dòng)幅值，ω2為主動(dòng)減振振動(dòng)頻率，φ為主動(dòng)減振振動(dòng)相位。

根據(jù)參考文獻(xiàn)［12］中連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)，可得梁的彎曲振動(dòng)微元的運(yùn)動(dòng)方程。

在圖2（a）的坐標(biāo)系中，此撓曲線為y=y(z,t)，為了得到梁振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，在梁上截取長度為dx的一小段來分析，如圖2（b），以此小段為脫離體，分別列出其在y方向及繞其左截面中點(diǎn)o′的平衡方程，有

其中f(z,t)為作用在管道上的載荷密度，y(z,t)為管道位移與振動(dòng)的撓曲線，M(z,t)為管道微元截面彎矩，Q(z,t)為管道微元截面剪力，m(z)為單位長度的管質(zhì)量。

圖2 梁的彎曲振動(dòng)微元

1.2 基礎(chǔ)振動(dòng)下流固耦合減振模型

目前，描述輸流管道系統(tǒng)流固耦合振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型有4-方程模型、8-方程模型、12-方程模型以及14-方程模型等，但應(yīng)用最為廣泛的就是4-方程模型[14-15]。

在軸向運(yùn)動(dòng)4-方程模型的建立過程中，分別以流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程、動(dòng)量方程和管道的振動(dòng)方程為基礎(chǔ)，通過流體和固體結(jié)構(gòu)在邊界上的接觸相容條件來實(shí)現(xiàn)兩種介質(zhì)之間的耦合。忽略管道的徑向慣性作用力的影響，并且不考慮管道徑向變形的情況，認(rèn)為整個(gè)管道是處于同一水平面上，得到以下流固耦合經(jīng)典4-方程數(shù)學(xué)模型。

在流固耦合橫向4-方程數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上考慮基礎(chǔ)振動(dòng)Nsin(ω1t)和主動(dòng)減振振動(dòng)Fsin(ω2t+φ)的雙重作用對管道系統(tǒng)的影響，需要對原有的橫向4-方程模型稍作改動(dòng)，在式（5）和式（8）中的橫向運(yùn)動(dòng)位移項(xiàng)wy加入連續(xù)梁撓曲線y，即變換為變換為并在后續(xù)的分析過程中加入管道兩端固定支撐和基礎(chǔ)振動(dòng)的邊界條件，得到在任意t時(shí)刻任意z位置時(shí)管道的狀態(tài)方程

其中y=y(z,t)為基礎(chǔ)振動(dòng)下管道主動(dòng)減振連續(xù)振動(dòng)梁撓曲線方程，為連續(xù)梁撓曲線對時(shí)間t的二次求導(dǎo)為連續(xù)梁撓曲線對位置z的二次求導(dǎo)。

2 模型求解

2.1 梁的彎曲振動(dòng)求解

根據(jù)式（3）和式（4）得到梁的彎曲振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為

式中l(wèi)為管道的長度，y(z,t)對于空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)是4階。

自由振動(dòng)情況下f(z,t)=0，設(shè)同步運(yùn)動(dòng)為

2002年，我“鳥槍換炮”，用我3個(gè)月的工資1680元購買了一輛嘉陵彎杠摩托車。我駕駛著嶄新的摩托車，戴上頭盔，敞開外衣，加油提速，衣襟在身后飄舞，身上涼颼颼的，心里美滋滋的，那是一種騎士的灑脫。偶爾有輛小汽車絕塵而過，心里又有一種莫名的失落感。

其中Y(z)確定整條弦線在空間的形狀，η(t)確定弦上各點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化規(guī)律。

基礎(chǔ)振動(dòng)下兩端固支梁的邊界條件為

左端邊界條件

右端邊界條件

得到

2.2 主動(dòng)減振模型求解

對于式（9）-式（12）的求解方法目前已有幾種方法可供選用，傳遞矩陣法和行波法已被廣泛用于預(yù)測無摩擦系統(tǒng)和黏性阻尼系統(tǒng)的共振和振蕩；特征線法以及特征線法和快速傅立葉變換相結(jié)合也已成功地用于頻譜分析，有限元法以及特征線有限元法也得到廣泛應(yīng)用；此外，Laplace變換也常常應(yīng)用于此類問題并已得到不錯(cuò)的發(fā)展[16-18]。

在時(shí)域分析中最為成功、使用最為廣泛的方法之一是基于數(shù)值積分的特征線法。特征線是以偏微分方程的特征理論為基礎(chǔ)，求解雙曲型偏微分方程的一種近似計(jì)算方法，可以將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，對于簡單的問題可以得到解析解或近似解，復(fù)雜問題也可以得到準(zhǔn)確度很高的數(shù)值解，而且它具有結(jié)構(gòu)性強(qiáng)、程序編制容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。在此，使用特征線法來求解方程。

為便于方程的求解，將式（9）-式（12）寫成統(tǒng)一矩陣形式為

圖3 特征線差分網(wǎng)格

圖3即為有限差分網(wǎng)格圖，特征線方程變成斜率為±λ1和±λ2的直線，將管道等分成N段，各段長度為Δz，時(shí)間步長取Δt，將平面t-z分成圖3所示的矩形網(wǎng)格，將式（23）、式（25）代入式（24）并沿特征線積分以差分形式展開并整理得到

2.3 邊界條件

2.3.1 進(jìn)口邊界條件

2.3.2 出口邊界條件

3 結(jié)果與分析

在固定支撐的管道兩端施加頻率為100 Hz、振幅為1 mm的基礎(chǔ)振動(dòng)，管內(nèi)進(jìn)口壓力為10 MPa，出口液壓油流速為5 m/s。分別研究主動(dòng)減振振動(dòng)頻率、與基礎(chǔ)振動(dòng)相位差、幅值和作用位置對管道減振的影響。減振的目標(biāo)值是管道總變形的最大值和最大應(yīng)力，當(dāng)這兩個(gè)值都減小或者一個(gè)值減小另外一個(gè)值沒有明顯增大時(shí)，表明該主動(dòng)減振振動(dòng)能夠起到減小管道振動(dòng)的效果。

進(jìn)行Matlab差分計(jì)算[19]，參數(shù)見表1。

表1 液壓管道工作參數(shù)

管道單元長度取Δz=2×10-4，積分時(shí)間步長取Δt=2×10-5。

在沒有主動(dòng)減振作用時(shí)，管道在基礎(chǔ)振動(dòng)作用下的最大總變形為1.851 8 mm，最大應(yīng)力為129.56 MPa。

3.1 主動(dòng)減振振動(dòng)與基礎(chǔ)振動(dòng)相位角差值對管道振

動(dòng)的影響

主動(dòng)減振作用幅值為1 mm，頻率為100 Hz，作用位置為管道中點(diǎn)。當(dāng)相位差從0變到2π時(shí)，得到主動(dòng)減振振動(dòng)與基礎(chǔ)振動(dòng)相位角差值與管道總變形的最大值和最大應(yīng)力的關(guān)系，見圖4（a）、圖4（b）。

由圖4（a）、圖4（b）可以看出，相位差與管道減振有密切的關(guān)系，當(dāng)相位差為π時(shí)，主動(dòng)振動(dòng)與基礎(chǔ)振動(dòng)正好相反，有最佳的減振，最大變形為1.026 8 mm，最大應(yīng)力為78.133 MPa，與無基礎(chǔ)振動(dòng)時(shí)的變形和應(yīng)力相比較，最大變形減小了0.825 0 mm，達(dá)到44.55%；最大應(yīng)力減小了 51.427 MPa，達(dá)到39.69%。說明適當(dāng)調(diào)整主動(dòng)減振振動(dòng)與基礎(chǔ)振動(dòng)相位角差值可以起到較好的減振效果，并且當(dāng)相位差為π時(shí)有最佳的減振效果。

圖4 相位差與管道最大位移和最大應(yīng)力的關(guān)系

3.2 主動(dòng)減振振動(dòng)頻率ω2對管道振動(dòng)的影響

主動(dòng)減振作用幅值為1 mm，相位差為π，作用位置為管道中點(diǎn)。當(dāng)振動(dòng)頻率從10 Hz變到500 Hz時(shí)，得到ω2與管道總變形的最大值和最大應(yīng)力的關(guān)系，如圖5（a）、圖5（b）所示。

由圖5（a）、圖5（b）可以看出，主動(dòng)減振頻率對管道減振效果有較大的影響，從整體來看，主動(dòng)減振頻率從10 Hz到500 Hz時(shí)，在100 Hz和240 Hz附近有相對較好的減振效果，這與管道系統(tǒng)的固有頻率相關(guān)，當(dāng)主動(dòng)振動(dòng)遠(yuǎn)離固有頻率時(shí)減振效果更好。當(dāng)主動(dòng)減振頻率為100 Hz時(shí)，有最佳減振效果，管道最大變形為1.026 8 mm，管道最大應(yīng)力為78.133 MPa在選取主動(dòng)減振頻率時(shí)低頻減振效果更加顯著。

3.3 主動(dòng)減振振動(dòng)作用位置a對管道振動(dòng)的影響

主動(dòng)減振作用幅值為1 mm，頻率為100 Hz，相位差為π，由于管道基礎(chǔ)振動(dòng)和形狀是兩端對稱的，在考慮作用位置與減振的關(guān)系時(shí)只分析一半就可以了，當(dāng)作用位置a從距離管道一端100 mm到1 000 mm時(shí)，得到a與管道總變形的最大值和最大應(yīng)力的關(guān)系，如圖6（a）、圖6（b）所示。圖中作用位置到管道一端的距離為a。

圖5 頻率與管道最大位移和最大應(yīng)力的關(guān)系

圖6 作用位置與管道最大位移和最大應(yīng)力的關(guān)系

由圖6（a）、圖6（b）可以看出，主動(dòng)減振作用位置與管道減振效果有密切的關(guān)系，當(dāng)作用位置越接近中間時(shí)減振效果越好，當(dāng)a=1 000 mm時(shí)有最佳減振。因此，主動(dòng)減振的作用位置應(yīng)該盡量在管道中間。

3.4 主動(dòng)減振振動(dòng)幅值對管道振動(dòng)的影響

主動(dòng)減振頻率為100 Hz，相位角差為π，作用位置為管道中點(diǎn)。當(dāng)幅值從0.1 mm變到4 mm時(shí)，得到主動(dòng)減振振動(dòng)幅值與管道總變形的最大值和最大應(yīng)力的關(guān)系，如圖7（a）、圖7（b）所示。

圖7 幅值與管道最大位移和最大應(yīng)力的關(guān)系

由圖7（a）、圖7（b）可以看出，當(dāng)主動(dòng)減振幅值在0.9 mm附近時(shí)，有最佳的減振效果，當(dāng)幅值超過1.5 mm時(shí)管道的振動(dòng)隨幅值而線性增大。這是因?yàn)檫^大的主動(dòng)減振在削弱管道本身振動(dòng)后會(huì)進(jìn)而增強(qiáng)管道的振動(dòng)。主動(dòng)減振的幅值應(yīng)該與基礎(chǔ)振動(dòng)幅值接近。

綜上所述，主動(dòng)減振振動(dòng)參數(shù)與管道的減振效果密切相關(guān)。因此，可以通過改變主動(dòng)減振參數(shù)來減小管道的振動(dòng)，適當(dāng)調(diào)整各個(gè)參數(shù)可以得到良好的減振效果。

4 結(jié)語

（1）通過調(diào)整主動(dòng)減振參數(shù)可以有效減小管道的振動(dòng)，是一種有效的減振方法；

（2）當(dāng)主動(dòng)減振與管道振動(dòng)相位差為π時(shí)有最佳的減振效果；

（3）低頻的主動(dòng)減振比高頻的主動(dòng)減振有更佳的減振效果；

（4）主動(dòng)減振的作用位置應(yīng)該盡量靠近管道中間。

[1]楊超.非橫定充液管系統(tǒng)耦合振動(dòng)特性及振動(dòng)抑制[D].武漢：華中科技大學(xué)，2007.

[2]張立翔，黃文虎.輸流管道流固耦合振動(dòng)研究進(jìn)展[J].水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展，2000，15(3)：366-379.

[3]胡宗武.機(jī)械結(jié)構(gòu)振動(dòng)主動(dòng)控制發(fā)展綜述[J].機(jī)械強(qiáng)度，1995，17（2）：55-60.

[4]王加春.機(jī)械振動(dòng)主動(dòng)控制技術(shù)的研究現(xiàn)狀和發(fā)展綜述[J].機(jī)械強(qiáng)度，2001，23(2)：156-160.

[5]MAILLARD JULIEN P,LAGO THOMAS L.Fluid wave actuator for the active control of hydraulic pulsations in piping systems[C].MAC-Proceedings of the 17 th International Modal Analysis Conference.1999.3727: 1806-1812.

[6]BRENNAN M J,ELLIOTT S J,PINNINGTON R J.A non-intrusive fluid-wave actuator and sensor pair for the active control of fluid-borne vibrations in a pipe[J].Smart Materials and Structures,1996.5:281-296.

[7]焦宗夏.基于旁路溢流原理的流體脈動(dòng)主動(dòng)控制[J].航空學(xué)報(bào)，2007，28(6)：1302-1306.

[8]焦宗夏.分布式液壓流體脈動(dòng)主動(dòng)控制方法[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，33(9)：1060-1063.

[9]焦宗夏.液壓流體脈動(dòng)主動(dòng)控制研究現(xiàn)狀與展望[J].液壓與機(jī)床，2006(9)：243-246.

[10]李廣.基于模糊PID復(fù)合控制的振動(dòng)主動(dòng)控制研究[D].南京：南京航空航天大學(xué)，2008.

[11]彭歡.TBM液壓直管道抗振結(jié)構(gòu)策略研究[D].長沙：中南大學(xué)，2014.

[12]師漢民.機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)（下冊）第3版[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2014：1-50.

[13]王蘊(yùn)弢.基于Euler-Bernoulli梁模型輸流管道流固耦合振動(dòng)分析的快速算法[J].南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，11(4)：14-17.

[14]WILKINSON D H.Acoustic,mechanical vibration in liquid-filled pipe work systems[C].Proceedings BNES International Conference on Vibration in Nuclear Plant. Keswick,May 1978,Paper 8.5:863-878.

[15]WIGGERT D C.Fluid transients in flexible piping systems(a perspective on recent developments)[C]. Proceedings of the 18 th IAHR Symposium on Hydraulic Machinery and Cavitation.Valencia,Spain,September 1996 58-67.

[16]曹亮.輸流管道流固耦合振動(dòng)特性分析[D].昆明：昆明理工大學(xué)，2004.

[17]呂海燕.輸流管道流固耦合振動(dòng)的頻域分析[D].南京：河海大學(xué)，2006.

[18]朱建兵.軸向耦合水擊振動(dòng)方程的改進(jìn)研究[D].昆明：昆明理工大學(xué)，2014.

[19]張志涌.精通Matlab R2012a[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2012：103-130.

Active Damping Modeling of Hydraulic Pipes under Strong Vibration Environment

PAN Wen-long2,ZHANG Huai-liang1,2,PENG Ling2
(1.State Key Laboratory of High Performance and Complex Manufacturing,Central South University, Changsha 410083,China; 2.College of Mechanical and Electrical Engineering,Central South University, Changsha 410083,China)

A beam model of vibrating hydraulic pipes is established for analyzing the vibration performance of the hydraulic pipes under strong vibration environments.Combining with the pipe’s fluid-structure coupling transverse vibration mode,the model for active vibration control of the pipes is established.Using characteristic line and the finite difference method,the mathematical model is solved.The influence of phase difference,frequency,location and amplitude of the active vibration on the vibration of the pipe is studied.The influence curves of the damping parameters on the pipe’s maximum amplitude and maximum stress are obtained.It is found that when the vibration phase difference isπ,the pipe’s maximum amplitude and maximum stress are reduced by 44.55%and 39.69%respectively.And the appropriate adjustments of the other three parameters can yield even better damping effects.This research indicates that using active damping method can effectively reduce the vibration of the pipes.It provides a theoretical reference for the pipe-active damping.

vibration and wave;active damping;characteristic line;fluid-structure coupling

TH113.1

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.008

1006-1355(2016)06-0038-07

2016-06-23

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(973計(jì)劃，2013CB035400）

潘文龍（1992-），男，湖北省天門市人，碩士研究生，研究方向?yàn)橐簤涸?dòng)力學(xué)。

張懷亮，男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:zhl2001@mail.csu.edu.cn