電磁開關(guān)強(qiáng)非線性系統(tǒng)主共振分析

楊志安，趙利沙

（1.唐山學(xué)院 唐山市結(jié)構(gòu)與振動(dòng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 唐山 063000；2.華北理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 唐山063000）

電磁開關(guān)強(qiáng)非線性系統(tǒng)主共振分析

楊志安1，趙利沙2

（1.唐山學(xué)院 唐山市結(jié)構(gòu)與振動(dòng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 唐山 063000；2.華北理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 唐山063000）

以電磁開關(guān)系統(tǒng)為研究對象，根據(jù)拉格朗日麥克斯韋方程建立三階非線性動(dòng)力學(xué)模型，應(yīng)用MLP法得到電磁開關(guān)強(qiáng)非線性系統(tǒng)主共振的幅頻響應(yīng)方程及位移和電流分別隨時(shí)間變化的振動(dòng)規(guī)律，分析系統(tǒng)各參數(shù)對系統(tǒng)主共振幅頻響應(yīng)曲線的影響。結(jié)果表明，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線存在跳躍現(xiàn)象；隨著阻尼系數(shù)的增大，系統(tǒng)的振幅減??；隨著激勵(lì)電壓幅值增大，系統(tǒng)的振幅和共振區(qū)域增大；隨著電阻增大，系統(tǒng)的振幅和共振區(qū)域減小。

振動(dòng)與波；電磁開關(guān)；拉格朗日麥克斯韋方程；MLP法；主共振；強(qiáng)非線性

近年來，隨著現(xiàn)代汽車對起動(dòng)機(jī)提出了體積小、重量輕、性能可靠、功率大、壽命長的要求，汽車起動(dòng)機(jī)電磁開關(guān)的設(shè)計(jì)與制造不斷向前發(fā)展[1]。起動(dòng)機(jī)是啟動(dòng)系統(tǒng)的重要組成部分，由電磁式控制裝置、傳動(dòng)機(jī)構(gòu)和直流電動(dòng)機(jī)構(gòu)成[2]。電磁式控制裝置是一種電磁式控制開關(guān)，即電磁開關(guān)[3]。電磁開關(guān)是汽車起動(dòng)機(jī)中的一種重要的控制元件，也是最容易出現(xiàn)故障的元件，它的主要作用就是使驅(qū)動(dòng)齒輪與飛輪能夠快速嚙合和退出，并將起動(dòng)機(jī)的電樞主電路與蓄電池接通，使起動(dòng)機(jī)電樞在磁場中旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而起動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)[4]。電磁開關(guān)性能的好壞直接關(guān)系到起動(dòng)機(jī)能否正常工作，因此對電磁開關(guān)的研究具有十分重要的意義，應(yīng)予以足夠的重視。電磁開關(guān)在工程中有廣泛的應(yīng)用，在機(jī)動(dòng)車及內(nèi)燃機(jī)起動(dòng)機(jī)中都可以看到電磁開關(guān)的存在。電磁開關(guān)可以抽象為RLC電路與彈簧耦合系統(tǒng)，是典型的機(jī)電耦合系統(tǒng)。以往學(xué)者們已經(jīng)提供一些相關(guān)經(jīng)驗(yàn)可供參考。文獻(xiàn)［5-6］研究了RLC電路彈簧耦合系統(tǒng)的非線性振動(dòng)，得到了受簡諧激勵(lì)的Mathieu方程的級數(shù)形式解，并用數(shù)值解法驗(yàn)證級數(shù)形式解的正確性。文獻(xiàn)[7-8]以RLC串聯(lián)電路與微梁耦合系統(tǒng)為例，應(yīng)用Lagrange-Maxwell方程建立靜電驅(qū)動(dòng)微梁的耦合數(shù)學(xué)模型。分析了吸合電壓和電震蕩兩種動(dòng)力學(xué)問題。繼而又研究了RLC串聯(lián)電路與微梁耦合系統(tǒng)1∶2型內(nèi)共振問題。

上述關(guān)于RLC電路耦合系統(tǒng)研究多數(shù)是基于弱非線性。目前未見對電磁開關(guān)系統(tǒng)建立動(dòng)力學(xué)模型的文獻(xiàn)，關(guān)于RLC電路耦合系統(tǒng)強(qiáng)非線性系統(tǒng)主振動(dòng)的研究也不多。針對簡諧激勵(lì)作用下的電磁開關(guān)強(qiáng)非線性[9]系統(tǒng)進(jìn)行研究。應(yīng)用Lagrange-Maxwell方程建立動(dòng)力學(xué)模型，運(yùn)用MLP法對系統(tǒng)的非線性振動(dòng)方程[10-11]進(jìn)行分析，得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程及位移和電流分別隨時(shí)間變化的振動(dòng)規(guī)律，并分析系統(tǒng)各參數(shù)對振幅和共振區(qū)域的影響。

1 電磁開關(guān)系統(tǒng)強(qiáng)非線性動(dòng)力學(xué)方程

圖1是DK114型汽車起動(dòng)機(jī)電磁開關(guān)工作原理設(shè)計(jì)圖。從圖中可以看出，電磁開關(guān)的基本組成部分包括觸片回復(fù)彈簧、開關(guān)觸片、觸片壓簧、靜鐵芯、維持線圈、吸引線圈、動(dòng)鐵芯、頂齒彈簧、閥芯回復(fù)彈簧等[12]。線圈通電后產(chǎn)生電磁吸力，使活動(dòng)鐵芯移動(dòng)，接通勵(lì)磁繞組電路，產(chǎn)生勵(lì)磁，電樞工作，從而帶動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)起動(dòng)。斷電后，活動(dòng)鐵芯在彈簧力下復(fù)位，等待下次啟動(dòng)[3]。

圖1 電磁開關(guān)結(jié)構(gòu)示意圖

汽車起動(dòng)機(jī)電磁開關(guān)的簡化模型如圖2所示，電源的電動(dòng)勢為U(t)，電阻為r，電路電流為i，線圈的自感為L(x)，電源、電阻及電感組成回路。電磁鐵的質(zhì)量為m，彈簧剛度為k，電磁鐵線圈的自感為Lm(x)，x為自彈簧平衡位置算起的水平位移，電磁鐵上線圈激勵(lì)電壓為Um，電磁鐵上線圈電阻為R，電磁鐵上線圈電流為im，M(x)為電路與電磁鐵的互感，rv為線圈與磁鐵之間的摩擦阻力系數(shù)。

圖2 電磁開關(guān)結(jié)構(gòu)簡圖

選位移x、電路電流i、電磁鐵上線圈電流為im廣義坐標(biāo)。

拉格朗日函數(shù)L=T+Wm-V為

根據(jù)拉格朗日麥克斯韋方程[13]，可以建立其非線性動(dòng)力學(xué)方程

電磁開關(guān)的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式（5）是以位移為廣義坐標(biāo)的2階振動(dòng)微分方程和以電流為廣義坐標(biāo)的1階振動(dòng)微分方程組成的非線性振動(dòng)方程組。式（5）是典型的機(jī)電耦合系統(tǒng)。

2 運(yùn)用MLP方法分析電磁開關(guān)強(qiáng)非線性系統(tǒng)主共振[14-15]

所謂主共振是指外激勵(lì)頻率Ω接近派生系統(tǒng)固有頻率ω0時(shí)的共振。根據(jù)式（5）中ω02x項(xiàng)與η2x3項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行比較可知η2相對較大，是強(qiáng)非線性問題。將式（5）的第二式代入第一式，并引入非小參量ε

式中a為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解振幅，ω1為調(diào)諧值。

在電磁開關(guān)強(qiáng)非線性系統(tǒng)的主共振研究中，將式（5）的第二式代入第一式，對x采用攝動(dòng)法展開，進(jìn)行求解，得出系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程，但是得不到系統(tǒng)中位移和電流隨時(shí)間變化的振動(dòng)規(guī)律。因此，需要進(jìn)一步對電磁開關(guān)強(qiáng)非線性系統(tǒng)主共振的時(shí)間歷程進(jìn)行分析。

選擇DK114型汽車起動(dòng)機(jī)電磁開關(guān)參數(shù)：r=12 Ω，k=18 N/m，k1=8×105N/m，rv=0.01 kg ·s/m3，m=2 kg，U0=12 V ，L=0.1 H ，M0=0.15 H ，

圖3至圖7為電磁開關(guān)系統(tǒng)表達(dá)式（5）主共振的幅頻響應(yīng)曲線。

圖3 不同阻尼值情況下的幅頻響應(yīng)曲線

圖4 不同電壓值情況下的幅頻響應(yīng)曲線

圖5 不同電壓值情況下的幅頻響應(yīng)曲線

圖7 不同電阻值情況下的幅頻響應(yīng)曲線

圖3為電磁開關(guān)系統(tǒng)主共振隨阻尼系數(shù)rv變化的幅頻響應(yīng)曲線，由圖3可知，當(dāng)調(diào)諧值由低向高或由高向低連續(xù)變化時(shí),位移的振幅會出現(xiàn)“跳躍”現(xiàn)象。當(dāng)增大線圈與磁鐵之間的摩擦阻力系數(shù)時(shí)，系統(tǒng)受到的阻力增大，振幅減小，對共振區(qū)域的影響不明顯。

圖4是電磁開關(guān)系統(tǒng)主共振隨激勵(lì)電壓幅值U0變化的幅頻響應(yīng)曲線。由圖4可知，激勵(lì)電壓幅值U0的改變對系統(tǒng)振幅影響比較大，隨著激勵(lì)電壓幅值U0的增大，“跳躍”現(xiàn)象越明顯，振幅和共振區(qū)域增大，由式（15）可知振幅與激勵(lì)電壓幅值U0是正比關(guān)系。

圖5是電磁開關(guān)系統(tǒng)主共振隨電磁鐵上線圈電壓Um變化的幅頻響應(yīng)曲線。由圖5可知，隨著電磁鐵上線圈激勵(lì)電壓Um的增大，“跳躍”現(xiàn)象越明顯，振幅和共振區(qū)域增大。

圖6是電磁開關(guān)系統(tǒng)主共振隨電阻r變化的幅頻響應(yīng)曲線。由圖6可知，隨著電阻r的增大，“跳躍”現(xiàn)象越不明顯，振幅和共振區(qū)域減小。

圖7是電磁開關(guān)系統(tǒng)主共振隨電磁鐵上線圈電阻R變化的幅頻響應(yīng)曲線。由圖7可知，隨著電磁鐵上線圈電阻R的增大，“跳躍”現(xiàn)象越不明顯，振幅和共振區(qū)域減小。

3 電磁開關(guān)強(qiáng)非線性系統(tǒng)主共振時(shí)間歷程

由電磁開關(guān)的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式（5）引入非小量參數(shù)ε，整理為

對系統(tǒng)進(jìn)行變換，同時(shí)考慮共振響應(yīng)頻率和相位的變化，令H=η6cosθ，K=η6sinθ，則系統(tǒng)重新寫為

對x、i采用攝動(dòng)法展開

將式（9）、式（10）、式（11）、式（12）、式（18）代入式（17），同時(shí)比較方程兩邊α的冪次得

考慮式（19）第一個(gè)式子的邊界條件可設(shè)：x(0)=p，(0)=0

則式（21）轉(zhuǎn)化為

由初始條件可知

可得微分方程的一次近似解為

在對電磁開關(guān)強(qiáng)非線性系統(tǒng)主共振的時(shí)間歷程進(jìn)行分析時(shí)，同時(shí)對x、i采用攝動(dòng)法展開，進(jìn)行求解，得到了系統(tǒng)中位移和電流分別隨時(shí)間變化的振動(dòng)規(guī)律。

將振幅設(shè)定在約束范圍之內(nèi)時(shí)，選取ω1=0.1 rad/s，p=α(0)=0.004 m，電流初始值為i(0)=0.05 A。由式（25）可得系統(tǒng)解析解的時(shí)間響應(yīng)曲線。

圖8為電磁開關(guān)系統(tǒng)位移時(shí)間響應(yīng)曲線。由圖8可知，系統(tǒng)的一次近似解與零次近似解曲線相比，一次近似解的精度較高，振幅稍變大，一次近似解存在多頻成分。

圖8 時(shí)間響應(yīng)曲線

圖9、圖10為電磁開關(guān)系統(tǒng)電流時(shí)間響應(yīng)曲線。由圖9可知，隨著時(shí)間的增大，電流越來越小，直到衰減為零。

圖9 時(shí)間響應(yīng)曲線

由圖10可知，隨著時(shí)間的增大，電流迅速衰減為零，時(shí)間繼續(xù)增大，電流開始做簡諧振動(dòng)。

圖10 時(shí)間響應(yīng)曲線

4 結(jié)語

根據(jù)拉格朗日麥克斯韋方程建立電磁開關(guān)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，由線性項(xiàng)系數(shù)和非線性項(xiàng)系數(shù)對比可知為強(qiáng)非線性系統(tǒng)。應(yīng)用MLP法研究電磁開關(guān)強(qiáng)非線性系統(tǒng)主共振問題，得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程及其位移和電流分別隨時(shí)間變化的振動(dòng)規(guī)律，并分析了系統(tǒng)振幅和共振區(qū)域隨各參數(shù)的變化。結(jié)果表明增大磁鐵的摩擦阻力系數(shù)可以減小振幅，對共振區(qū)域的影響不明顯；增大激勵(lì)電壓幅值和電磁鐵上線圈電壓可以使振幅和共振區(qū)域增大；增大電阻和電磁鐵上線圈電阻能夠減小共振的振幅和共振區(qū)域。

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Analysis of Primary Resonance of Strong Nonlinear Solenoid Switch Systems

YANG Zhi-an1,ZHAO Li-sha2
(1.Key Laboratory of Structure and Vibration Engineering of Tangshan,Tangshan College, Tangshan 063000,Hebei China; 2.College of Mechanical Engineering,North China University of Technology, Tangshan 063000,Hebei China)

A solenoid switch system is studied.Its nonlinear dynamic model of order three is established based on Lagrange-Maxwell equation.The amplitude frequency response equation and the vibration laws of displacement and current changes with time of the strong nonlinear system are obtained by means of the MLP method.The influence of the parameters of the solenoid switch system on the primary resonance response curves is analyzed.Results indicate that the amplitude of the primary resonance of the system reduces with the increasing of the damping coefficient.The amplitude and resonance region of the primary resonance of the system increase with the increasing of the excitation voltage amplitude and decrease with the increasing of the resistance.

vibration and wave;solenoid switch;Lagrange-Maxwell equation;MLP method;primary resonance; strong nonlinearity

O322

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.005

1006-1355(2016)06-0021-05+44

2016-04-05

河北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（A200900097）

楊志安（1963-），男，河北省秦皇島市人，博士，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)學(xué)與機(jī)械動(dòng)力學(xué)。E-mail:yangzhi_an@163.com

趙利沙（1988-）女，河北省邯鄲市人，碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)學(xué)與機(jī)械動(dòng)力學(xué)。E-mail:948281620@qq.com