混合傳遞路徑分析方法

楊立娟，羅新杰，苗慧慧，陳雪峰

（1.西安交通大學 機械工程學院，西安 710049；2.西安交通大學 青島研究院，山東 青島 266300）

混合傳遞路徑分析方法

楊立娟1，羅新杰1，苗慧慧2，陳雪峰1

（1.西安交通大學 機械工程學院，西安 710049；2.西安交通大學 青島研究院，山東 青島 266300）

根據(jù)懸臂殼實驗臺結構建立有限元模型，并結合實驗模態(tài)分析對其進行修正，建立高精度有限元模型。利用實驗模態(tài)分析結果計算結構阻尼參數(shù)，確立混合傳遞路徑分析（TPA）中頻率響應函數(shù)(FRF)的有限元計算方法，并且與實驗結果對比，驗證其有效性和可行性。利用Tikhonov正則化方法進行載荷識別，對懸臂殼實驗臺進行混合TPA實驗研究，獲得不同頻率下各路徑對目標點振動的貢獻量，并將各路徑對目標點的振動貢獻量進行矢量疊加，與實驗測試值進行對比。結果表明，各路徑貢獻量疊加結果與實驗測試值吻合較好，可確定該結構的主要振動傳遞路徑，從而為結構優(yōu)化奠定基礎。

振動與波；混合傳遞路徑分析；頻率響應函數(shù)；有限元分析；Tikhonov正則化方法

對于復雜振動系統(tǒng)來說，尋找一種既能表征系統(tǒng)振動特性又較為簡便快速的方法一直是振動研究中亟待解決的問題。近年來，基于系統(tǒng)頻率響應函數(shù)（frequency response function，F(xiàn)RF）的傳遞路徑分析（transfer path analysis，TPA）方法已成為復雜系統(tǒng)振動研究中的主要研究方法之一。TPA的研究主要涉及到FRF的獲取方法與載荷識別算法的研究兩個重要方面[1]。傳統(tǒng)TPA中，采用基于模態(tài)分析的實驗模態(tài)方法進行系統(tǒng)FRF的獲取。模態(tài)分析方法是針對多自由度或連續(xù)體系統(tǒng)進行振動分析和識別動力學參數(shù)的比較有效的動態(tài)分析方法。但在TPA中為了獲取所需要的系統(tǒng)FRF，要對分析對象進行拆卸測試[2]，而多數(shù)復雜系統(tǒng)在工程實際中無法進行拆卸測試，這就對實驗模態(tài)方法的應用構成了障礙。隨著有限元理論與計算機計算能力的發(fā)展，將有限元方法引入TPA分析中，產(chǎn)生了混合TPA分析[3-4]，應用有限元方法計算獲取系統(tǒng)頻響函數(shù)，為FRF的獲得提供了新思路。載荷識別是個反問題，在實際工程中載荷識別誤差往往會比較大，而Tikhonov正則化方法可以有效提高計算精度。

1 頻響函數(shù)的獲取

1.1 有限元模型的建立

利用高質(zhì)量的有限元模型計算頻響函數(shù)矩陣不單可以克服復雜系統(tǒng)無法測試的弱點，還可以避免實際測量誤差、噪聲等的影響。在有限元計算之前，需要得到準確的有限元模型，模型的準確性直接決定計算結果的準確性，這就涉及到邊界條件、接觸條件等模型修正問題。為了確定在實際工程中可以運用的有限元頻率響應函數(shù)計算方法，文中進行了實驗研究。實驗對象是一個懸臂殼結構，如圖1所示。

圖1 實驗平臺

該殼結構長500 mm，厚5 mm，弧長為290 mm，直徑為40 mm，材料為45鋼，彈性模量為E=2.09×1011N/m2，泊松比μ=0.269，密度為7 890 kg/m3，結構阻尼未知。該結構通過螺栓與基座固定在一起。

首先完成有限元建模，由于該殼的厚度相對長度與寬度非常小，在有限元分析中將其弱化為平面問題，選用厚度5 mm的殼單元，有限元模型如圖2所示。

圖2 實驗對象有限元模型

在完成有限元建模后，對實驗對象進行錘擊模態(tài)測試，見圖3(a)，并通過對比有限元模態(tài)分析結果與實驗測試結果，對有限元模型進行修正。實驗測試采用LMS數(shù)據(jù)采集與模態(tài)測試設備，見圖3（b），使用PCB公司的模態(tài)力錘對結構施加沖擊激勵，其型號為086C03，采用3個PCB公司333B32型加速度傳感器采集響應信號。

圖3 錘擊模態(tài)實驗

通過對比有限元模態(tài)分析結果與模態(tài)測試結果，修正有限元模型的邊界條件，將殼體的邊界條件設置為螺栓接觸點約束時，有限元分析結果與模態(tài)測試結果相匹配，修正后的模型見圖4。修正后的模型分析結果與模態(tài)測試結果對比見表1。

圖4 修正后的有限元模型

由表1可看出，修正后的模型分析結果與模態(tài)測試結果最大誤差為5.3%，結果匹配較好，這表明獲得了高質(zhì)量的有限元模型。

表1 模態(tài)結果對比

1.2 獲取結構阻尼參數(shù)

在工程實際中，結構的阻尼是未知的，運用有限元方法計算系統(tǒng)FRF需要計算系統(tǒng)阻尼。文中使用比例阻尼計算結構阻尼，其阻尼矩陣為

式中[C]為阻尼矩陣；[M]為質(zhì)量矩陣；[K]為剛度矩陣；α為質(zhì)量阻尼系數(shù)；β為剛度阻尼系數(shù)。

有限元分析中需要的阻尼參數(shù)α與β通常是不能直接得到的，而是用振型阻尼比x計算出來的[5-6]。如果ωi是第i階模態(tài)的固有角頻率，ξi是第i階振型阻尼比，根據(jù)振型正交條件，α和β滿足下列關系

在給定固有頻率范圍ω1和ω2以及對應的阻尼比ξ1和ξ2后，解兩個并列方程組便可求得α和β

式（3）與式（4）中固有角頻率ω1和ω2，以及對應的ξ1和ξ2均可通過實驗模態(tài)分析得到。模態(tài)實驗的前兩階模態(tài)參數(shù)見表2。

表2 模態(tài)結果參數(shù)

將表2中參數(shù)代入式（3）與式（4）中，可計算得到該實驗臺的阻尼參數(shù)α=0.65，β=2.6110-5。

1.3 確立混合TPA的FRF獲取方法

為得到系統(tǒng)的FRF，需要對系統(tǒng)的有限元模型進行諧響應計算。諧響應分析可以計算出結構在受迫振動時不同頻率下的響應，當外載荷是單位激勵時，即可得到頻率響應函數(shù)[7-8]。

將計算得到的阻尼參數(shù)α和β賦于修正后的有限元模型中，在與錘擊模態(tài)實驗中對應激勵點位置處分別施加單位正弦力，并進行諧響應分析，便可得到與錘擊模態(tài)實驗相同位置的頻響函數(shù)。有限元分析結果和實驗模態(tài)分析結果對比見圖5。

由圖5可看到，根據(jù)有限元方法計算得到的頻響函數(shù)與實驗模態(tài)測試得到的結果吻合很好，而且在某些范圍內(nèi)，有限元分析得到的曲線更加平滑，這充分說明了該方法在實際中的可行性。

圖5 有限元分析與實驗模態(tài)分析頻響函數(shù)對比

2 利用Tikhonov正則化方法進行載荷識別

Tikhonov正則化方法可以提高載荷識別的精度。設測量響應為X，頻率響應函數(shù)為H，X和H都存在誤差，為控制及度量誤差，設整體絕對誤差為e，滿足

式中F為系統(tǒng)所受外載荷。

為使誤差e盡量小，Tikhonov引入罰函數(shù)

在式（6）中，當J對F的1階導數(shù)為零時，誤差e存在最小值，則可得到F。

式中I為單位矩陣；λ為正則化參數(shù)。

實驗對象采用前面的懸臂殼，實驗系統(tǒng)見圖6。

圖6 實驗系統(tǒng)

利用激振器施加兩個160 Hz正弦激振力，并利用兩個安裝在激振器與殼結構之間的阻抗頭采集激振力。在殼上布置7個加速度傳感器，其中，載荷識別時使用其中6個，這6個作為系統(tǒng)振動響應的采集點，稱為計算參考點。在載荷識別中為保證計算有解，響應測點數(shù)目必須大于激勵力數(shù)目。在本次試驗中，有兩個利用激振器施加的激勵力，響應點至少需要兩個。為保證載荷識別的準確性及傳感器采集數(shù)據(jù)正確性所需的冗余傳感器，綜合考慮選擇6個點作為載荷識別的參考點。載荷識別的結果見圖7。

3 混合TPA的實驗研究

利用有限元模型獲取FRF，采用Tikhonov正則化方法進行載荷識別，對懸臂殼結構進行混合TPA研究。實驗系統(tǒng)仍采用圖6所示懸臂殼結構，激振器作為振源和兩條路徑，激振器與殼接觸的位置即為兩個路徑點。在殼上布置7個加速度傳感器，其中6個作為系統(tǒng)響應的采集點，一個作為傳遞路徑分析的目標點（圖6中方框所示），采集目標響應信號。對懸臂殼進行混合TPA分析，路徑點與參考點之間、路徑點與目標點之間的頻響函數(shù)矩陣由之前修正好的有限元模型（如圖4所示）通過計算獲??；采用Tikhonov正則化方法進行載荷識別，結果見圖7；之后由式（8）計算得到由各路徑傳遞到目標點處的振動信號

圖7 載荷識別結果

式中Ti(ω)為路徑點i對目標點T振動的貢獻量；Hi(ω)為路徑點i到目標點的頻響函數(shù)；Fi(ω)為路徑點i上所受到的路徑載荷。

根據(jù)目標點處實測振動響應信號、由載荷辨識得到的載荷與采用有限元分析獲得的FRF進行計算得到的目標點響應結果的對比見圖8。

圖8 混合TPA分析結果

目標點處實測振動信號與TPA計算得到的兩路徑響應結果疊加值對比如圖9。

圖9 目標點測試響應與兩路徑疊加結果

由圖8可看到，在90 Hz附近，即殼的1階固有頻率處，兩路徑傳遞到目標點的振動均很大；在100 Hz～150 Hz范圍內(nèi)，路徑2傳遞到目標點的振動明顯高于路徑1；在200 Hz～300 Hz范圍內(nèi)，路徑1傳遞到目標點的振動明顯高于路徑2；在400 Hz～450 Hz范圍內(nèi)，路徑2傳遞到目標點的振動明顯高于路徑1。根據(jù)有限元模態(tài)計算得到懸臂殼的1至5階固有頻率為89.51 Hz、155.19 Hz、349.57 Hz、381.24 Hz、455.72 Hz，由此可以看出，1階至2階、4階至5階固有頻率近似范圍內(nèi)，路徑2貢獻量大，2階至3階近似頻率范圍內(nèi)路徑1貢獻量大。這跟結構的振動振型有關，在特定頻率范圍內(nèi)，結構的某些部位振動大，某些部位振動小。

從圖9中可以看出，目標點處振動響應與兩條路徑疊加結果吻合較好，可以得出該目標點響應為這兩條路徑傳遞而來，進而確定了目標點處振動的傳遞路徑。

4 結語

建立了懸臂梁殼結構的有限元模型，確定了混合傳遞路徑分析中頻響函數(shù)的有限元計算方法，并通過模態(tài)實驗驗證了該方法的有效性。針對懸臂殼實驗臺進行了混合傳遞路徑分析實驗，通過分析得到不同頻率下各傳遞路徑對目標點振動的貢獻量，確定目標點處的主要振動傳遞路徑，找出振動源及產(chǎn)生原因。根據(jù)混合TPA分析結果，可以對結構進行優(yōu)化調(diào)正，避免目標點處在所關注特定頻段內(nèi)出現(xiàn)振動問題。有限元分析在傳遞路徑分析中的應用，解決了復雜結構頻響函數(shù)難以獲取的問題，有利傳遞路徑分析的發(fā)展。

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The Method for Mixed Transfer PathAnalysis

YANG Li-juan1,LUO Xin-jie1,MIAO Hui-hui2,CHEN Xue-feng1
(1.School of Mechanical Engineering,Xi’an Jiaotong University,Xi’an 710049,China; 2.Qingdao R&D Institute,Xi’an Jiaotong University,Qingdao 266300,Shangdong China)

The finite element model of the structure of a cantilever-shell test bench is established and modified through the modal test to obtain a high-precision model.The structural damping parameters are calculated using the results of the modal test.Then,the method of acquiring frequency response functions(FRF)based on the finite element model is established,and the effectiveness and the feasibility of this method are verified by the modal test.By means of load identification using Tikhonov regularization method,the transfer path analysis(TPA)of the cantilever-shell is finished by the mixed transfer path analysis method,and the contribution of each transfer path to the vibration of the target points is obtained for different frequencies.Then the contributions of all transfer path are superimposed,and the result is compared with the measured signals.The results show that the superimposed results are in good agreement with the measured signals and the principal transfer paths of vibration of the structure can be determined with this method.This study has provided the basis for the structural optimization.

vibration and wave;mixed TPA;FRF;finite element analysis;Tikhonov regularization method

O241.82；O329

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.003

1006-1355(2016)06-0012-04+20

2015-12-29

國家杰出青年科學基金資助項目（51225501）

楊立娟（1989-），女，山東省泰安市人，工程師，主要致力于結構有限元分析、信號測試與分析等相關研究工作。E-mail:yang_lijuan@mail.xjtu.edu.cn