臺灣數(shù)學(xué)研究現(xiàn)況（中）

于昕濤++張濤

數(shù)學(xué)分析

目前島內(nèi)數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域的研究活動，大致可分為四大類，即古典分析、泛函分析、調(diào)和分析、非線性分析與凸分析。臺灣學(xué)者在古典分析領(lǐng)域主要研究方向有：不等式理論、可和性理論、逼近論、特殊函數(shù)論和復(fù)變數(shù)函數(shù)論等。

其中，對不等式理論方面涵蓋各種不等式的研究，包括Hardy不等式、Carleman不等式、Hilbert不等式、Holder不等式、Young不等式、Minkowski不等式、Jensen不等式、Tchebychef不等式及其它形式不等式的探討已有很長一段的研究歷史。目前沿可和性理論方向發(fā)展的研究包括：各式的求和方法探討，包括單維度或多維度的各種Tauberian型定理及其在富氏級數(shù)及泛函分析方面的應(yīng)用；矩陣方法的引入及應(yīng)用，包括無限維矩陣范數(shù)的探討、級數(shù)型或積分型哈地不等式及寇布申不等式的推廣及其在復(fù)變方面的延伸等；泛函分析觀點(diǎn)（例如FK-空間、Saks-空間、包含定理）的探討。

在函數(shù)空間上的逼近方面，臺灣學(xué)者正在探討以正線性算子或積分算子序列作用于函數(shù)所得函數(shù)序列逼近到原函數(shù)的點(diǎn)收斂、Lp-收斂，以及其收斂速度的估計。特殊函數(shù)論的研究在島內(nèi)目前以探討伯努利多項式、歐拉多項式、Zeta函數(shù)以及相關(guān)函數(shù)為主。復(fù)變數(shù)函數(shù)論的研究在臺灣大致分為Hardy空間相關(guān)的研究及Nevalinna理論的探討。另外，在多復(fù)變函數(shù)和復(fù)流形上的研究，也廣泛使用古典分析的方法。

泛函分析近年在臺灣正在蓬勃發(fā)展。通過一系列定期在島內(nèi)各校輪流舉辦的大小型研討會，從事泛函分析的學(xué)者和研究生有一個固定的平臺參與合作，其中比較活躍的方向有：矩陣分析、算子理論、演化方程及算子和函數(shù)代數(shù)等。目前島內(nèi)矩陣分析的研究學(xué)者大多集中于矩陣數(shù)值域和矩陣保錐函數(shù)兩個題材，前者主要考慮矩陣的酉不變性質(zhì)和數(shù)值域的幾何性質(zhì)二者之間的相互關(guān)系，后者則推廣古典的有關(guān)正矩陣的Perron-Frobenius定理，就保錐函數(shù)的譜理論與錐體幾何性質(zhì)二者的關(guān)聯(lián)性作深入的探討。此兩類題材的研究都超越了單純的矩陣?yán)碚?，而采用了其他領(lǐng)域的方法和技巧。

算子理論源起于20世紀(jì)初泛函分析中有關(guān)積分算子、自伴算子與緊致算子的研究，系近代分析學(xué)中重要的一環(huán)。近年來，國際上的發(fā)展?jié)u漸由抽象的算子結(jié)構(gòu)的探討（如不變子空間問題）轉(zhuǎn)往具體的函數(shù)空間算子及算子在控制理論上的應(yīng)用等方向。在這兩方面，目前島內(nèi)都有學(xué)者作深入持續(xù)的研究。由稠定算子所定義的演化方程式和與其解有密切關(guān)系的C0-半群和解析半群的理論在上世紀(jì)80年代時就相當(dāng)完備，島內(nèi)學(xué)者主要探討非稠定算子所定義的非齊性演化方程式和Volterra積分方程式的可解性，以及與其解有密切關(guān)系的算子函數(shù)（包括積分C-半群、積分C-余弦函數(shù)、K-正則豫解算子函數(shù)）的生成、微擾和漸近行為。函數(shù)代數(shù)作為算子代數(shù)的特例，更是成果豐碩。在島內(nèi)的研究重點(diǎn)包括算子代數(shù)的約當(dāng)結(jié)構(gòu)理論，并且也討論作用在其間或者函數(shù)代數(shù)的緊致算子、等距算子、保斥算子、位移算子和Hankel算子，以及它們的譜分解的問題。

臺灣學(xué)者對調(diào)和分析的研究主要集中在歐氏空間上的富氏分析和小波理論。在經(jīng)典的富氏分析方面，島內(nèi)研究重點(diǎn)包括級數(shù)的收斂性與奇異積分算子的有界性，前者主要考慮多維度的三角級數(shù)及由不同的特殊函數(shù)所衍生的三角級數(shù)之收斂性，后者則考慮歐氏空間上的乘算子、Marcinkiewicz積分算子、分?jǐn)?shù)次積分算子、Riesz變換等在Lp、Hp空間上的有界性及其加權(quán)有界性，同時也考慮Besov空間、Triebel空間上的T1定理與Tb定理。在小波轉(zhuǎn)換方面，島內(nèi)研究重點(diǎn)包括其在數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制理論等應(yīng)用領(lǐng)域，如在信號分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等，在圖像處理方面的圖像壓縮、分類、識別與診斷、去污等，在醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時間及提高分辨率等，以及在地震勘探的數(shù)據(jù)處理與大型機(jī)械的故障診斷等方面的應(yīng)用等。

為了解決物理、工程、管理、經(jīng)濟(jì)及自然界的很多非線性問題，數(shù)學(xué)家利用泛函分析與極值分析為主要研究工具，發(fā)展出一套非線性分析及凸性分析數(shù)學(xué)理論，其涵蓋領(lǐng)域非常廣，包括定點(diǎn)理論、最佳化理論、KKM理論、控制理論與變異分析等。目前臺灣島內(nèi)仍有不少人從事定點(diǎn)理論方面研究，包括證明定點(diǎn)的存在性、應(yīng)用及推廣和各種定點(diǎn)解法。在最佳化理論方面的研究工作有一部分從事解存在性，探討有解的充分及必要條件，也有不少人從事求解方法的研究；在半無線數(shù)學(xué)規(guī)劃、雙層規(guī)劃、有平衡制控數(shù)學(xué)規(guī)劃方面，很多學(xué)者均著重于求解的方法及有解的必要條件。KKM理論研究主要集中在KKM定理的推廣、相容定理、mini-max不等式及其應(yīng)用方面，并拿來作為處理其他問題的工具。

以往島內(nèi)控制理論研究主要集中在微分包含解的存在性、受控制體、控制器在內(nèi)全控制系統(tǒng)的可控制性、可觀測性、穩(wěn)定性、性能強(qiáng)健及成本函數(shù)最佳化等的數(shù)學(xué)理論方面。上世紀(jì)90年代以來，非線性系統(tǒng)研究成為發(fā)展重點(diǎn)，包括偏微分方程數(shù)值解、非線性分解等方面。變異分析研究主要集中在Ekelands variational原理、平衡制控多目標(biāo)優(yōu)化問題、平衡點(diǎn)問題、變分不等式、變分包含、劣微分變分理論、平滑變分原理、微分包含、補(bǔ)余問題研究及其應(yīng)用、多值映射微分及其應(yīng)用、最優(yōu)控制的最大原理、最優(yōu)控制的必要條件、劣微分、極值原理等領(lǐng)域。

幾何

幾何拓樸在臺灣一直保持量小而質(zhì)精的穩(wěn)定發(fā)展。在每年平均不到40項臺灣科技主管部門此類研究計劃申請項目中，卻有超過1/3的計劃主持人曾獲得杰出獎。其原因在于島內(nèi)相關(guān)研究人員大多畢業(yè)于外國一流大學(xué)的數(shù)學(xué)研究中心，研究主題基本上與世界同步，難度雖然偏高，研究成果也因而多具有較高水平。

然而，精益求精背后卻也逐漸突顯了幾何拓樸在臺灣發(fā)展的瓶頸。由于相關(guān)期刊門檻較高，投稿不易，一些人便逐漸放棄幾何拓樸的研究，甚至許多大學(xué)數(shù)學(xué)系也逐漸停開幾何學(xué)課程。如今臺灣相關(guān)研究人員幾乎全部集中在島內(nèi)約10所大學(xué)里，重點(diǎn)聚焦在非線性分析中方程式解的奇異點(diǎn)與空間的奇異點(diǎn)研究，以及雙有理幾何的極小模型理論方面。

微分方程

微分方程長久以來被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、工程及各種數(shù)學(xué)問題中。近年來，有更多的生物科學(xué)領(lǐng)域（如系統(tǒng)生物學(xué)、生理學(xué)）、經(jīng)濟(jì)學(xué)及金融學(xué)等也開始大量使用微分方程或其相關(guān)的離散形式，當(dāng)作描述現(xiàn)象動態(tài)行為的利器。在臺灣，微分方程有許多重要的活躍領(lǐng)域，包括幾何分析、拋物型及反應(yīng)擴(kuò)散方程、橢圓偏微分方程、金茲堡-朗道（Ginzburg-Landau）方程、非線性薛定諤（Schr?dinger）方程、守恒律方程、納維葉-斯托克斯（Navier-Stokes）方程、動力學(xué)及波茲曼方程、常微分方程、動態(tài)系統(tǒng)、微分方程的反問題等。

在幾何分析相關(guān)領(lǐng)域，島內(nèi)學(xué)者研究方向主要集中在曲率流相關(guān)主題，如平均曲率流、膨脹流、預(yù)定曲率問題、里奇（Ricci）流、調(diào)和映射、最小子流形、流形函數(shù)論等，近幾年來取得很大的進(jìn)步，特別是在高余維平均曲率流方面獲得重大突破，已吸引了島內(nèi)一些優(yōu)秀年輕學(xué)者從事這方面的研究。

在拋物型方程的研究中，反應(yīng)-擴(kuò)散方程是非?；钴S的領(lǐng)域。這類方程被用來描述燃燒、各種化學(xué)反應(yīng)、材料的相變、神經(jīng)傳導(dǎo)、心臟跳動、生態(tài)模型等，其特色是包含許多樣式豐富的解。在雙曲型偏微分方程的研究方面，主要研究解的存在性、多重性、及穩(wěn)定性。其模型主要來自于空氣動力學(xué)、天體力學(xué)及彈性力學(xué)等。研究成果將有助于對流體運(yùn)動的了解及應(yīng)用。然而，上述各類模型在實(shí)際狀況下將無可避免地必須考慮信息傳遞的時間遲滯性及外界環(huán)境與系統(tǒng)彼此間的隨機(jī)干擾因素，因此目前正將研究方向擴(kuò)展至遲滯型微分方程及隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)。

最近幾年，島內(nèi)有相當(dāng)多的學(xué)者從事與橢圓方程相關(guān)的研究，主題大都與半線性型的方程有關(guān)，其進(jìn)展包括：輻射對稱解的存在性，多重性及分岐行為，解所定義區(qū)域的幾何結(jié)構(gòu)（如有界無界、凸性、拓樸復(fù)雜程度等）和解的存在性、多重性間的關(guān)系，臨界非線性指數(shù)情形下解爆破行為的研究，構(gòu)造哈密頓（Hamiltonian）系統(tǒng)中多凹凸解及不同非線性項下的多峰值解，完全非線性橢圓差分算子及相關(guān)離散方程所具有的極大值原理，與物理、生物數(shù)學(xué)相關(guān)的橢圓偏微分方程式，如薛定諤方程的孤立解、金茲堡-朗道方程、Liouville方程、陳-賽門（Chern-Simons）方程、Toda系統(tǒng)，保角幾何中的完全非線性方程等。這些研究的特色之一，是除了傳統(tǒng)的存在性唯一性外，更探討解其他多樣的相關(guān)問題，如復(fù)雜的圖形、解的整體構(gòu)造、幾何性質(zhì)等，同時也使用了許多重要的非線性分析工具。

近10年來，島內(nèi)學(xué)者在金茲堡-朗道方程方面有一些成果，其數(shù)學(xué)工具為利用變分法所發(fā)展的能量估計，通常用于凝聚態(tài)物理學(xué)中描述超導(dǎo)和超流體。另外，一些關(guān)于漩渦動態(tài)的數(shù)值計算也有進(jìn)展，如漩渦解的結(jié)構(gòu)、穩(wěn)定性分析、漩渦動態(tài)等。2014年起，臺灣“理論科學(xué)研究中心”的數(shù)學(xué)組與物理組研究人員已經(jīng)建立起合作團(tuán)隊，雙方正在共同開展有關(guān)金茲堡-朗道方程應(yīng)用在理論物理方面的科學(xué)計算研究。

非線性薛定諤方程是目前偏微分方程領(lǐng)域最重要的主題之一，無論在理論或應(yīng)用方面，臺灣都有學(xué)者投入研究，取得一些計算的成果。臺灣科技主管部門下屬“數(shù)學(xué)研究推動中心”發(fā)表的報告認(rèn)為，研究薛定諤方程，對臺灣數(shù)學(xué)界而言仍然需要加強(qiáng)物理方面的知識，并與物理學(xué)界有更進(jìn)一步的互動，否則只是純粹的“分析”或計算，或者只停留在有文章發(fā)表層面，是“閉門造車”。其次在分析方面，近20年來，由于調(diào)和分析的引進(jìn)，使得薛定諤方程及其相關(guān)的色散波方程的研究有極快速的發(fā)展，但目前臺灣在這方面仍然非常缺乏，甚至是脫節(jié)。

守恒律方程所涵蓋的物理模型十分廣泛，其中包括氣體、液體、彈性體、等離子體、星云等幾乎所有連續(xù)體力學(xué)的模型方程。上世紀(jì)90年代，臺灣著名數(shù)學(xué)家劉太平等人對解的唯一性研究有很大的貢獻(xiàn)，近幾年的研究則延伸到有源項的守恒律、非線性波方程及波茲曼方程、愛因斯坦場方程的震波解以及守恒律在多維度的數(shù)值方法。目前熱門的研究課題有：非線性波理論（如有源項、粘性項行進(jìn)波的穩(wěn)定性問題，解的長時間漸近行為問題等），計算方法的設(shè)計與其數(shù)學(xué)理論，波茲曼方程解的定性研究，混合型方程及跨音速流體中可壓縮流歐拉方程大域解的存在及唯一性問題，大初值柯西問題的大域解存在及唯一性問題等。這些課題均有十分廣泛的應(yīng)用性，對臺灣島內(nèi)力學(xué)和偏微分方程的發(fā)展影響尤深。

而在常微分方程領(lǐng)域，近20年來，島內(nèi)學(xué)者研究領(lǐng)域大都著重于應(yīng)用科學(xué)數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)分析，如生態(tài)數(shù)學(xué)模型、類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、流行病數(shù)值模型、天體力學(xué)等。網(wǎng)格型動態(tài)系統(tǒng)研究模型主要來自于細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其目的在于模仿人腦的結(jié)構(gòu)及運(yùn)作，在工程上可用來處理指紋辨識、圖像處理、生物視覺及模擬人腦之用。這類大型甚至于是無窮維的系統(tǒng)，可產(chǎn)生非常復(fù)雜的行為，研究上極具挑戰(zhàn)性。