活用圓錐曲線定義妙解題

王暉

求三角形周長

例1 雙曲線[x2a2-y2b2]= 1 （a > 0， b > 0），過焦點F1的弦AB的長為m，另一焦點為F2，則△ABF2的周長為________.

解析 如圖所示，因為A，B是雙曲線上的兩點，

則|AF2|-|AF1|=2a.

∴|AF2|=2a+|AF1|.

同理|BF2|=2a+|BF1|.

∴|AF2|+|BF2|=4a+（|AF1|+|BF1|）=4a+|AB|.

∴△ABF2的周長為

[l=]|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.

答案 [4a+2m]

求三角形面積

例2 橢圓[x2a2+y2b2]=1（a>0， b>0）上一點M與兩焦點F1，F(xiàn)2所成的角∠F1MF2=[θ]，如圖，求△F1MF2的面積.

解析 根據(jù)橢圓定義有，|MF1|+|MF2|=2a.

將上式兩邊平方得，

|MF1|2+|MF2|2+2|MF1|·|MF2|=（2a）2.

根據(jù)余弦定理有，

|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|·|MF2|cos[θ]=（2c）2.

以上兩式相減得，2|MF1|·|MF2|（1+cos[θ]）=4b2.

∴|MF1|·|MF2|=[2b21+cosθ].

∴[SΔF1MF2]=[12]|MF1|·|MF2|sin[θ]

=[12]·[2b21+cosθ·sinθ=]b2·[sinθ1+cosθ]

= b2tan[θ2].

求距離

例3 如果雙曲線[x264-y236]= 1上一點P到它的右焦點的距離為8，那么P到它的左準線的距離是______.

解析 設(shè)雙曲線的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，P到左準線的距離為d.

則由雙曲線方程可知，a=8， b=6. 這樣就不難判定P點在雙曲線的右支上.

由雙曲線的第一定義有，|PF1|-|PF2|=2a=16，

∴|PF1|=16+|PF2|=16+8=24.

由雙曲線的第二定義有，[|PF1|d]= e.

∴d =[|PF1|e]=[2454]=[965].

答案 [965]

有關(guān)軌跡問題

例4 如圖，已知圓的方程為x2+y2=4，點A，B的坐標分別為（-1， 0），（1， 0），動拋物線過A，B兩點，且以圓的切線為準線，求拋物線的焦點F的軌跡.

解析 設(shè)拋物線焦點F （x， y），過A，O，B作圓的切線的垂線，垂足分別為C，P，D，

則由拋物線的定義得，|FA|=|AC|，|FB|=|BD|.

從而|FA|+|FB|=|AC|+|BD|=2|OP|=2R=4.

由橢圓定義可知，點F的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，且a=2， c=1.

故所求焦點[F]的軌跡方程為[x24+y23]=1.

求定值

例5 已知拋物線y2=4x，如圖，過焦點F的弦AB被焦點分成FA，F(xiàn)B兩部分，求[1|FB|]+[1|FA|]的值.

解析 由題意得，p=2.

設(shè)A，B兩點的橫坐標分別為x1，x2，過A，B分別作準線的垂線，垂足分別為N，M.

根據(jù)定義可知，|FA|=|AM|，|FB|=|BN|.

∴[1|FB|]+[1|FA|]=[1|AM|+1|BN|]=[1x1+p2]+[1x2+p2]

=[x1+x2+px1x2+p2（x1+x2）+p24].

∵AB是過拋物線y2=4x焦點的弦，

∴x1x2 =[p24].

∴[1|FB|]+ [1|FA|]=[x1+x2+pp22+p2（x1+x2）]

=[x1+x2+pp2（x1+x2+p）]=[2p]= 1.

求最值

例6 給定點A （-2， 2），已知點B是橢圓[x225+y216]=1上的動點，F(xiàn)為橢圓的左焦點，求[|AB|+53|BF|]的最小值，并求點B的坐標.

解析 如圖，橢圓的左準線l：x=[-253]. 作BN⊥l，垂足為N.

由橢圓第二定義可知，[|BF||BN|]=e=[35].

則[53]|BF|=|BN|.

∴|AB|+[53]|BF|=|AB|+|BN|≥|AN|，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，N三點共線時，|AB|+[53]|BF|取得最小值|AN|，易得，|AN|=[253]-2=[193].

此時B（x0， 2），且x0<0. 將點B的坐標代入橢圓方程得，x0=[-532].

所以當(dāng)點B的坐標為（[-532]， 2）時，|AB|+[53]|BF|取得最小值[193].

求離心率

例7 如圖，已知F1，F(xiàn)2為橢圓C1的左、右焦點，拋物線C2以F1為頂點、F2為焦點. 設(shè)P是橢圓與拋物線的一個交點，橢圓C1的離心率為e，且|PF1|=e|PF2|，求離心率e的值.

解析 設(shè)拋物線的準線為l，易得l：x=-3c，其中F1（-c， 0），F(xiàn)2（c， 0）. 作PN⊥l，垂足為N. 點P在拋物線上，F(xiàn)2為拋物線的焦點，由拋物線定義可知，|PF2|=|PN|.

又[|PF1||PF2|]= e，所以[|PF1||PN|]= e.

又點P在橢圓C1上，由橢圓第二定義可知，|PN|為點P到左準線的距離，即橢圓的左準線與拋物線的準線重合，橢圓的左準線方程為x=–[a2c]，

則–[a2c]= -3c，所以e =[ca]=[33].

所以橢圓C1的離心率e =[33].

求軌跡方程

例8 已知圓O的方程為x2+y2=100，點A的坐標為（-6， 0），M為圓O上任意一點，AM的垂直平分線交OM于點P，求P的軌跡方程.

解析 如圖，設(shè)P點的坐標是 （x， y），連結(jié)AP.

∵P在AM的垂直平分線上，

∴|AP|=|PM|.

∵|OP|+|PM|=|OM|=10，

∴|AP|+|PO|=10.

根據(jù)橢圓的定義可知，P點的軌跡是以A，O為焦點的橢圓.

∵A（-6， 0），O（0， 0），

∴橢圓中心為（-3， 0）.

由2a=10得，a=5.

又c=3，所以b2=a2-c2=16.

故P點的軌跡方程是[（x+3）225+y216]= 1.

正確地運用圓錐曲線定義求解數(shù)學(xué)問題，給人一種返璞歸真之感. “回到定義上去”這一解題策略要求我們，要懂得數(shù)學(xué)概念發(fā)生作用的那些問題和數(shù)學(xué)概念在研究這些問題中的特殊用處. 利用此法解題，不僅可以優(yōu)化解題過程，并且對培養(yǎng)思維的敏捷性，促進解題能力的提高，都是非常有益的.