地月L2中繼星或月球軌道器對月球背面著陸器多普勒定位精度分析

雷文英，蒙艷松，雷文華，邊 朗，王 瑛

（1.中國空間技術研究院西安分院，西安710100；2.西藏大學理學院，拉薩850000）

地月L2中繼星或月球軌道器對月球背面著陸器多普勒定位精度分析

雷文英1，蒙艷松1，雷文華2，邊 朗1，王 瑛1

（1.中國空間技術研究院西安分院，西安710100；2.西藏大學理學院，拉薩850000）

針對地面站無法對月球背面著陸器定位的問題，分別對月球背面著陸器利用月球軌道器上行信號和地月L2中繼星上行信號的多普勒對其定位的兩種模式進行了研究。在月固坐標系下，理論分析了兩種模式下軌道器的多普勒定位精度，以及幾何精度因子及頻率穩(wěn)定度對定位精度的影響。在STK軟件中對兩種定位模式建模，利用其導出的星歷數(shù)據(jù)定量評估了兩種定位模式下著陸器的定位精度，討論了應用兩種定位模式應滿足的時間約束和空間約束條件，同時定量分析給出了不同載頻、不同觀測時間長度下，著陸器時鐘應該滿足的頻率穩(wěn)定度。

地月L2點；月球軌道器；月球著陸器；多普勒定位；精度分析

1 引言

月球探測和載人登月不但有利于開發(fā)利用月球和太空資源，而且可促進航天技術的創(chuàng)新和發(fā)展，推動科技進步［1?3］。對于月球正面著陸的月球探測器，如嫦娥三號，其月面軟著陸后著陸器和巡視器的定位可利用地面跟蹤站通過測距、測速和甚長基線干涉測量（Very Long Baseline Interfer?ence，VLBI）來實現(xiàn)［4］。由于月球對無線電信號的遮擋，地面跟蹤站很難對月球背面著陸的著陸器和巡視器進行觀測，不能直接定位［5］。然而，月球背面的資源同樣具有重大的探測價值，載人月球探測器在對地不可見的月球背面開展空間科學領域觀測具有重要意義［6］。對月球背面軌道器和巡視器的導航定位是順利完成月球對地不可見區(qū)域月面探測任務的基本保障，而月球背面著陸器和巡視器的月面導航定位是開展探月任務亟待解決的關鍵問題之一。

對月球背面著陸器和巡視器的定位問題，以往依靠地面支持的地基測量定位法無法直接使用［6］。從國內(nèi)外研究進展來看，目前適用于月球背面的著陸器和巡視器的導航定位方法主要包括三種：天文導航定位、慣性導航定位和光學導航定位。天文導航基于天體位置已知的前提條件，通過測量天體相對于導航用戶參考基準面的方位角和仰角計算導航用戶的方位和位置［7］，局限性在于其位置解算復雜費時、定位精度較差［6?8］。慣性導航定位是結合外界提供的初始姿態(tài)、位置和速度信息，通過對陀螺儀進行角速度積分解算導航用戶的當前姿態(tài)，通過當前姿態(tài)和加速度信息獲得導航用戶的慣性加速度，對其進行一次和二次積分解算出導航用戶的速度和位置信息［9］。局限性在于陀螺儀的漂移誤差和加速度計的零偏誤差會隨著時間的增長而放大，在沒有外界提供的周期定位校正的情況下，不適合長時間導航定位［10］。光學導航利用導航相機獲得月球表面參考特征點的圖像，利用激光測距儀測得導航用戶與參考特征點的距離，采用“圖像+距離”的工作方式得到導航用戶相對于參考特征點的姿態(tài)、相對位置和速度［11］。局限性在于其信息處理速度慢，作用距離短且不能提供導航用戶的絕對位置信息［6，11］。

本文針對月球背面著陸器和巡視器無法利用地面測距和VLBI測時延的方式對其進行導航定位的問題，提出測量月球導航用戶與地月L2中繼星或月球軌道器上行信號多普勒信息，結合在月固坐標系下L2中繼星或月球軌道器的位置和速度信息實現(xiàn)對月球背面軌道器和著陸器的導航定位，對該定位方法的定位精度進行理論推導和數(shù)值仿真計算，在STK中對兩種應用場景進行建模，定量分析了兩種定位方案下對著陸器的多普勒定位精度，以及要達到優(yōu)于100 m定位精度需要滿足的前提條件。

2 月球背面著陸器多普勒定位模式

月球背面著陸器的定位在原理上可通過環(huán)月星座采用類似于GPS的定位模式實現(xiàn)［5］。但環(huán)月星座的成本較高、測控復雜，且目前處于研究階段［5］，不能滿足當前階段月球背面軌道器的定位需求。因此，本文研究一種利用月球軌道器或地月L2點中繼衛(wèi)星，實現(xiàn)對月球背面的著陸器進行導航定位的多普勒定位模式。

月球背面巡視器的月面定位和著陸器距離一般比較近，因此對其定位的方式比較類似。以下以著陸器的定位為例進行分析，其結果同樣適用于巡視器的月面定位。

2.1 環(huán)月軌道模式

從目前國內(nèi)外研究進展來看，月球背面著陸器的導航定位主要可采用環(huán)月軌道和地月L2點軌道兩種模式［6］。環(huán)月軌道飛行器距離月面較近，運行速度快，但波束覆蓋區(qū)域較小。圖1給出了環(huán)月模式下，距月面100 km的環(huán)月軌道器對月面的覆蓋示意圖。

圖1 環(huán)月軌道器的軌道和回歸周期內(nèi)的覆蓋區(qū)域Fig.1 Circumlunar orbiter and its coverage over a regression period

圖1表明環(huán)月軌道器在一個回歸周期內(nèi)可對月球背面的大面積區(qū)域進行有效覆蓋。如果著陸器的著陸位置選在圖1中軌道器在一個回歸周期內(nèi)沒有覆蓋到的區(qū)域，可通過調整軌道的升交點赤經(jīng)，將覆蓋區(qū)域移動到月球背面合適的位置。

2.2 地月L2軌道模式

地月L2點的中繼星可實現(xiàn)對地不可見的月球背面和極地區(qū)域的長時間覆蓋、觀測和通信，其距月面的軌道高度較高，運行速度較慢，波束覆蓋區(qū)域較大。圖2展示了地月質心旋轉坐標系［12］下的地月L1點和地月L2點，以及L2點附近的一條Halo軌道。從圖2中可看出，L2點位于地月質心連線上，且位于月球背面，在地月L2點Halo軌道上運行的中繼星可對月球背面進行覆蓋，且不受月球的遮擋，與地球保持可視。

圖2 地月L2點的Halo軌道Fig.2 Halo orbit around the Earth?Moon L2 point

圖3給出了地月L2點中繼星軌道和地、月之間相對位置的三維圖，并給出了地月L2點中繼星對月球背面的覆蓋區(qū)域。

圖3中，中繼星的3 dB波束寬度設為10°，從圖中可看出其可對月球背面和月球南極的大部分區(qū)域進行覆蓋。因此，月球背面的著陸器可與地月L2中繼星保持實時通信。

3 月球背面著陸器多普勒定位模型

對于月球背面著陸器的定位，在月固坐標系［13］中對其進行分析描述。地月L2中繼星對月面的上行信號載頻已知。著陸器在月球背面著陸后，設其在月固坐標系下的未知坐標為（x，y，z）T。在地月L2中繼星的波束覆蓋范圍內(nèi)，對上行信號的多普勒進行N次等間隔采樣，采樣間隔為Ts。以中繼星為例，測量方程可表示為式（1）：

其中：fi表示第i次測量到的多普勒，vi是衛(wèi)星速度，f是載頻，c是光速，εi是多普勒測量噪聲。著陸器與中繼星之間的徑向距離如式（2）：

圖3 中繼星對月球背面的覆蓋示意圖Fig.3 Coverage area of the relay satellite

中繼星和著陸器視線方向的單位矢量如式（3）：

中繼星在月固坐標系下的位置 （xi，yi，zi）T及速度vi＝（vxi，vyi，vzi）T是已知的。未知量是著陸器的坐標（x，y，z）T。

考慮到月球的偏心率為零，著陸器天線架高h為已知量，著陸器位于月球表面的高程約束條件可表示為式（4）：

上式中月球半徑Rm＝1737.4 km［13］。

在式（1）中，選三個多普勒觀測值和式（4）聯(lián)立，即可實現(xiàn)對著陸器位置坐標（x，y，z）T的求解。然而，軌道器和著陸器之間的空間位置關系、接收機的頻率穩(wěn)定度、播發(fā)信號載頻等因素均對定位誤差有影響，因此需對這些誤差源對定位精度的影響進行定量分析。

4 月球背面著陸器定位精度分析

4.1 幾何精度因子對定位誤差的影響

取式（1）中三個多普勒測量值，結合式（4），并對其取微分得到式（5）：

上式中J為雅可比矩陣，其中的各個元素取值分別可表示為式（6）～（12）：

式中i＝1，2，3。令dx＝（dx，dy，dz）T，dy＝（df1，df2，df3，dh）T，則存在關系如式（13）：

式（10）～式（12）中?g/?x、?g/?y、?g/?z分別是式（4）關于著陸器三個坐標分量x，y，z的偏導數(shù)。

定位誤差的協(xié)方差矩陣Pdx＝E［dxdxT］可表示為式（14）：

在高度z＝h已知的條件下，dh＝0。由于f1、f2、f3測量相互獨立，令dy′＝（df1，df2，df3）T，則代入式（14）可得式（15）：

4.2 頻率穩(wěn)定度對定位誤差的影響

式（16）～式（18）與多普勒測量無關，僅僅與軌道器的軌道六根數(shù)和著陸器的幾何構形有關。結合式（15）的主對角線元素，可得著陸器頻率穩(wěn)定度對定位精度的影響如式（19）～（21）：

其中σP是空間位置定位標準差，σH是水平定位標準差，σV是垂直定位標準差。由上式可看出要提高著陸器的定位精度，一方面要選擇合適的軌道器和著陸器之間的幾何構形，以降低定位精度因子；另一方面要提高軌道器的頻率穩(wěn)定度以降低多普勒頻率測量標準差。在軌道器發(fā)射載頻已知的條件下，在整個觀測時間段內(nèi)，著陸器多普勒頻率測量標準差σf和著陸器時鐘的頻率穩(wěn)定度［15］有式（22）所示對應關系［16］：

上式中ζ表示觀測時間τ內(nèi)的頻率穩(wěn)定度。

5 仿真分析

STK中對著陸器和地月L2軌道中繼星進行建模，將中繼星的星歷導出為月固坐標系下的三維位置和速度。針對不同的仿真條件，以不同的采樣間隔得到三個時刻的衛(wèi)星星歷。將第二個星歷數(shù)據(jù)轉換為月球地理坐標系［13］，將其星下點作為原點，對其周圍經(jīng)度和緯度在［－1.5°，1.5°］的區(qū)域進行離散化，并將其轉為月固坐標系下的點計算DOP值。月球半徑約為1 734.4 km，選取經(jīng)緯度范圍［－1.5°，1.5°］對應經(jīng)度和緯度方向的［－45.48 km，45.48 km］的區(qū)域，著陸器位于該區(qū)域時與中繼星距離較近，便于中繼星的天線主波束進行照射。

仿真1：載頻2 GHz，對應S頻段。軌道器高度100 km、傾角90°，著陸器以10 s的采樣間隔獲得3個多普勒測量值，天線架高5 m，著陸器定位的DOP值如圖4所示。軌道器三個位置采樣的星下點也一并給出，在圖中以洋紅色的原點表示。

圖4 仿真1的DOP值分布Fig.4 DOP in Simulation 1

圖4（c）是PDOP減去HDOP后的差值。由圖4可看出，在軌道器星下點附近的區(qū)域內(nèi)，著陸器定位的PDOP、HDOP、VDOP值較大，這些區(qū)域為定位盲區(qū)。DOP值以軌道器在月面上的投影為中心對稱分布，其中PDOP和HDOP沿著星下點軌跡的兩側逐漸減小。除了軌道器運行星下點的區(qū)域外，VDOP在定位區(qū)域內(nèi)的變化不大，且比PDOP和 HDOP小一個數(shù)量級。定位區(qū)域內(nèi)的PDOP主要由HDOP決定。根據(jù)式（19）和式（22），在圖4中PDOP在小于1000的區(qū)域內(nèi)，若σf＜0.01 Hz，則理論上可獲得優(yōu)于10 m的定位精度，此時要求著陸器時鐘在30s內(nèi)頻率穩(wěn)定度優(yōu)于5×10－12（τ＝30 s）。

仿真2：載頻8 GHz，對應X頻段。其他仿真參數(shù)保持與仿真1一致，著陸器定位的DOP值如圖5所示。

從圖5可看出，適當提高載頻可降低DOP，改善定位精度。圖5中PDOP在小于100的區(qū)域內(nèi)，若σf＜0.1 Hz，則理論上可獲得優(yōu)于10 m的定位精度，此時要求著陸器在30 s內(nèi)頻率穩(wěn)定度優(yōu)于1.25×10－11（τ＝30 s）。

仿真3：載頻27 GHz，其對應Ka頻段。著陸器測量地月L2軌道中繼星的上行信號。以6 h的采樣間隔得到3個多普勒稀疏采樣測量值，天線架高5 m。以第二個采樣數(shù)據(jù)的星下點作為原點，對其周圍經(jīng)度和緯度在［－2.5°，2.5°］的區(qū)域進行離散化，并將其轉為月固坐標系下的點計算DOP值，著陸器定位的DOP值如圖6所示。

從圖6可看出，采用地月L2軌道中繼星對著陸器的月面多普勒定位中，定位區(qū)域內(nèi)的PDOP由HDOP和VDOP共同決定，且VDOP小HDOP一個數(shù)量級。在整個定位區(qū)域內(nèi)，DOP值的分布較平緩，且星下點附近無不可定位的區(qū)域。這是由于地月L2軌道中繼星運動速度較慢，著陸器與L2中繼星之間的幾何構形較小所導致。圖6中PDOP值在30 600到31 100之間。若σf＜0.001 Hz，則理論上可獲得優(yōu)于100 m的定位精度，此時要求著陸器的時鐘在18h內(nèi)頻率穩(wěn)定度優(yōu)于3.7×10－14（τ＝18 h）。

圖5 仿真2的DOP值分布Fig.5 DOP in simulation 2

6 結論

1）本文討論地月L2中繼星或月球軌道器對月球背面著陸器多普勒定位，可用于由于月球的遮擋無法用地面跟蹤站對其進行月面導航定位的情況下，實現(xiàn)對著陸器的月面導航定位。

2）月球軌道器對著陸器多普勒定位時，星下點沿軌道器運動方向的區(qū)域內(nèi)DOP值較大，存在定位盲區(qū)。著陸器位于軌道器星下點兩側的區(qū)域時，定位精度較高。

3）提高上行播發(fā)信號的載頻可提高多普勒定位精度。稀疏多普勒采樣點之間的多普勒變化越快，越利于提高定位精度。

4）當著陸器不在軌道器的定位盲區(qū)內(nèi)時，要得到優(yōu)于10 m的定位精度，使用500 MHz載頻需要著陸器時鐘頻率穩(wěn)定度優(yōu)于 2×10－12（τ＝30 s）；使用2 GHz載頻需要著陸器時鐘頻率穩(wěn)定度優(yōu)于5×10－12（τ＝30 s）。

5）地月L2軌道中繼星對著陸器多普勒定位時，整個定位區(qū)域不存在定位盲區(qū)，但 PDOP較大，需要較高的載頻、較長的觀測時間間隔、較高的時鐘穩(wěn)定度才可實現(xiàn)定位。要達到優(yōu)于100 m的月面定位精度，在12 GHz的載頻下，需要著陸器時鐘頻率穩(wěn)定度優(yōu)于8.3×10－14（τ＝18 h）。

6）著陸器的多普勒定位模式中，采用環(huán)月軌道器的模式可實現(xiàn)較高的定位精度，但可定位范圍較??；采用地月L2軌道中繼星模式的定位精度較差，但可定位范圍廣。

7）本文假設載頻等于標稱值，實際中載頻隨著時間的變化與標稱值存在誤差，載頻誤差對定位精度的影響有待以后的深入研究。

圖6 仿真3的DOP值分布Fig.6 DOP in simulation 3

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Precision Analysis of Doppler Positioning for Lunar Lander onFar Side of Moon Using Earth?Moon L2 Relay Satellite or Lunar Orbiter

LEI Wenying1，MENG Yansong1，LEI Wenhua2，BIAN Lang1，WANG Ying1
（1.China Academy of Space Technology（Xi'an），Xi'an 710100，China；2.School of Sciences，Tibet University，Lhasa 850000，China）

To overcome the drawback that the ground station on the earth could not position the lunar lander on the far side of the moon，two solutions were investigated.One solution is to position the lu?nar lander by measuring the Doppler frequency of downlink signal transmitted by the lunar orbiter and the other is by measuring the Doppler frequency of the signal from an earth?moon L2 relay satellite.In the lunar fixed coordinate system，the Doppler positioning precisions of the two solutions were analyzed respectively for the lunar lander.The influences of the dilution of precision and frequency stability on the positioning precision were analyzed.These two Doppler lunar lander positioning scenarios were modeled in STK（Satellite Tool Kit），and the exported ephemerides were used to evaluate the positio?ning precision quantitatively.Meanwhile，the time constraints and spatial constraints of the two solu?tions were discussed.The frequency stability requirements for the clock of the lunar lander were given quantitatively with respect to different carrier frequencies and different observing time.

Earth?Moon L2 point；lunar orbiter；lunar lander；Doppler positioning；precision analy?sis

V448

A

1674?5825（2016）06?0774?07

2016?05?12；

2016?11?09

國家自然科學基金（91438107）

雷文英（1985－），男，博士，工程師，研究方向為導航信號處理和定位跟蹤技術。E?mail：lordleid＠163.com